I- CONTROLE AUTOMÁTICO DE GANHO ( CAG )

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1 I- CONTROLE AUTOÁTICO DE ANHO ( CA ) ALICAÇÕES É aplicado em receptore que recebem inai de envoltória variável tai como o receptor A (amplitude modulada) ou receptore do aparelho de comunicação celular. Sinai dea natureza não toleram aturação ou limitação de eu nívei durante a recepção. A fig. I- motra como e comporta um receptor A típico, com CA, para inal modulado com áudio. Quando ele recebe inal de rádio, com 5 µ v de amplitude, ele produz uma amplitude de,5 v, de áudio, na aída. ortanto o ganho total de amplitude fica:,5 v 6 5 v. Quando ele recebe um inal de rádio com mv de amplitude, ua amplitude de áudio, na aída, fica v. ortanto o ganho equivalente, nete cao, reulta: v, v 5 µv. RECETOR,5 v mv RECETOR v Fig, I- Comportamento de um receptor típico, com CA, para inal modulado em áudio Se no egundo cao o ganho total permanecee igual a., deveríamo ter, na aída, um inal de. volt. Entretanto ito não é poível acontecer em aparelho tranitorizado. O que realmente aconteceria é que ee inal de mv ofreria limitação de nível logo no primeiro etágio de amplificação do receptor, acarretando ditorção total na aída. ara fazer o ganho diminuir, quando o inal é forte, ua-e o controle automático de ganho. Quando o inal de entrada aumenta, o ganho do amplificadore diminui automaticamente. rincípio de funcionamento do CA. A fig. I- motra o diagrama báico.

2 entrada e Amplificador controlado C e e Amplificador controlador aída e E cc Fig, I- Diagrama báico do CA. Sejam e e e a amplitude do inal de entrada e de aída, repectivamente. Sendo o ganho do amplificador controlado, tem-e: e e I- O ganho do amplificador controlado é proporcional à tenão DC de polarização C : ortanto C I- e I-3 Ce O amplificador controlador conite em um retificador de pico e um amplificador DC de tal modo que em ua aída tem-e uma tenão contínua, negativa, proporcional à amplitude do inal e. e elo diagrama podemo ver que a tenão DC de controle fica: C ECC + ou E e C CC I-4 Subtituindo I-4 em I-3, reulta e ( ECC e ) e ou e ECCe ee I-5 Reolvendo a equação I-5, fica

3 ( + e ) ECC e e ou e E e + e CC I-6 Dividindo numerador e denominador por, fica: e E CC I-7 e + e Determinação da curva de repota do CA. Obervando a expreão I-7 podemo ver que: Se e << então e ECCe Neta ituação, a amplitude do inal de aída crece, aproximadamente, proporcionalmente à amplitude do inal de entrada. A fig. I-3.a motra eta ituação. or outro lado, e e >> então e E CC ( e ) A Ito ignifica que, neta ituação, a amplitude do inal e, de aída, fica aproximadamente contante, ito é, praticamente não depende da variação da amplitude do inal de entrada. A fig. I-3.b motra eta ituação. e E CC e (a) e Fig. I-3 (b) e A fig. I-4 motra a curva do CA calculada pela expreão I-7. emo que, quando e, então reulta o valor exato : 3

4 e E CC + E CC ( e )A ( e ) A E CC e ( e ) A e Fig. I Exercício I- a) rojetar um CA em que, à medida que a amplitude e, do inal de entrada, aumenta, a amplitude do inal de aída crece até um valor máximo dado por e ( e ) v A. Quando tivermo e,5 µ v, então deveremo ter na aída e ( e ), 5 v. A b) Calcular a amplitude de aída quando e tem a amplitude e mv Dado: E CC v Solução: a) E ( e ) CC A portanto ( e ) E CC A 6 5 v portanto 4, v 5 4,67 v 4

5 b) e E e, CC, v 6 + e 5 +, e, v ráfico da amplitude do inal de aída para o dado dete exercício. A amplitude do inal de entrada etá variando de µ v a mv: Amplitude de e lot Amplitude de e Diagrama funcional do CA É comum a realização de um diagrama matemático que decreve o controle. Eta repreentação e chama Diagrama funcional do controle. Em noo exemplo, o diagrama dete CA etá motrado na fig. I-5. e x e C y E cc Fig. I-5 5

6 artindo dete diagrama etabelecemo o itema de equaçõe dete controle: x Ce e x y e C ECC + y A variávei e, x, e, y, e C ão chamada de ariávei de etado do itema. Determinação de e por meio da reolução do itema de equaçõe: e ( E + y) e e ( E ) x Ce CC CC e e CC E e ee ( + e ) E CC e e e ECCe + e Chegou-e ao memo reultado expreo pela equação I-6. alha de realimentação. Negativa e realimentação poitiva Na fig. I-5 temo uma malha fechada que reproduzimo na fig. I-6. Ito faz com que ete tipo de controle eja claificado como controle de malha fechada. Amplificador controlado Amplificador controlador Fig. I-6 Eta malha é chamada, em inglê, de feed back loop. Na literatura técnica, em língua portuguea, cotuma er chamada de malha de realimentação. Un pouco autore traduzem como malha de retroação. Eta malha é a reponável pelo controle deejado. anho de malha de realimentação È o produto de todo o ganho que aparecem ao longo da malha fechada. Em noo exemplo tem-e: 6

7 mr Realimentação negativa e realimentação poitiva. O fato de e ter o parâmetro <, claifica ea realimentação como endo mr negativa. Se tivéemo >, teríamo realimentação poitiva. mr Efeito da realimentação poitiva Um controle ó funciona quando a realimentação é negativa. odemo verificar eta afirmação modificando noo itema para um controle onde e tem realimentação poitiva. ara ito, bata trocar o parâmetro, por +. A fig. I-7 motra eta ituação entrada e Amplificador controlado C e Amplificador controlador aída e + e + O itema de equaçõe fica: E cc Fig. I-7 x Ce e x y + e C ECC + y Reolvendo ete itema de equaçõe, reulta: e ECCe e ou e E CC e e Oberve-e que quando e, então e 7

8 A fig. I-8 motra eta ituação teórica e Fig. I-8 e Na realidade, em aparelho tranitorizado, não é poível uma tenão crecer indefinidamente. O que realmente acontece é que o efeito dete decontrole levaria o amplificadore, do receptor, a e aturarem. Com ito ee receptor deixaria de funcionar. CONTROLE OERNADO OR U SISTEA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O itema de controle mai importante ão aquele que ão decrito, matematicamente, por um itema de equaçõe diferenciai. O exemplo mai típico ão o ervomecanimo. O ervomecanimo ão dipoitivo que repetem o comando de um operador ou de um computador programado. O poicionamento rápido de um canhão de artilharia é um exemplo de ervomecanimo. O robô indutriai ão dipoitivo avançado de ervomecanimo. Um do principai componente de um ervomecanimo é motor elétrico. Caracterítica de um motor elétrico, ideal, de corrente contínua (DC), acionando uma carga com eforço deprezível. Quando um motor elétrico DC tiver uma inércia deprezível e acionar uma carga extremamente pequena, de maneira a reultar um eforço, também, deprezível, podemo dizer que e aplicarmo, intantaneamente, uma tenão em ua armadura, então ele adquire, intantaneamente, uma freqüência de rotação. Eta freqüência é, aproximadamente, proporcional à tenão, ou eja: onde deve er dado em rd/ e é uma contante de proporcionalidade. É cotume deignar pelo nome de velocidade angular do motor. É comum exprear-e a velocidade angular em R ( rotação por minuto). Nete cao é neceário converter, ea unidade, para rd/: 8

9 R Exemplo: π rd min. π rd 6,47 rd / R,47,5 rd / Exercício I- Quando e aplica uma tenão de v em um determinado motor, ele gira com velocidade de R. Determinar a contante. Solução: imo que R correponde a,5 rd /. ortanto,5 rd, 875 v Ângulo percorrido pela rotação Quando o motor gira, o ângulo percorrido é dado pela expreão matemática: θ t dt or exemplo, e contante, então: t θ dt t Exercício I-3 Determinar o ângulo percorrido durante t pelo rotor de um motor que gira com contante, 9 rd/ Solução: θ t,9 4,8 rd Exercício I-4 Um motor gira com uma velocidade angular dada pela expreão βt, onde β rd é uma aceleração angular contante igual a 3. Determinar o ângulo percorrido durante t. 9

10 Solução: θ βtdt βt 3 6 rd 343,7 otenciômetro uado em ervomecanimo Outro componente uado, muita veze, em ervomecanimo, é o potenciômetro linear rotativo. A fig. I-9 motra o equema em que o curor pode percorrer um ângulo máximo de 8 grau. + E CC Fig. I-9 A tenão fornecida é proporcional ao ângulo : Exercício I-5 Um potenciômetro linear rotativo, quando excuriona de a 8 grau, produz uma tenão variando de a 6 volt. Determinar a contante. Solução: ou Tomemo a ituação em que e tem π rd e 6 v. Reulta: 6 v,9 v / rd π rd

11 EELO DIDÁTICO DE U SEROECANISO ELEENTAR, UTILIZANDO COONENTES IDEAIS: oicionamento remoto de um capacitor variável. Um receptor de comunicação utilizado em aeronave é razoavelmente volumoo e peado para caber diretamente no painel da cabine do piloto. Ete aparelho fica colocado em outro compartimento do avião. No painel fica apena uma pequena caixa que comanda, remotamente, o divero dipoitivo do receptor. Um dee dipoitivo pode er um capacitor variável reponável pela intonia do receptor em uma etação deejada. No painel do piloto tem-e apena um potenciômetro linear como acionador do comando. Ao e ajutar um ângulo nee potenciômetro, o ervomecanimo deve reproduzir o memo ângulo no o capacitor variável remoto. A fig. I- motra o equema do itema. + E CC otenciômetro de entrada Amplificador DC otor DC Objeto a er poicionado D + ECC C otenciômetro de aída - Fig. I- Sitema de equaçõe no domínio do tempo (toda a variávei ão funçõe de t). v D v v C v + v v D v t dt v v C v

12 Devido ao fato de que uma da equaçõe correponde a uma integração, tem-e um itema de equaçõe diferenciai. amo utilizar o método da tranformada de Laplace para a reolução dete itema de equaçõe. Começamo por repetir a mema equaçõe no domínio da tranformada de Laplace (a variávei paam a er funçõe de ): + D C D C Reolução do itema de equaçõe para a determinação de D ( + ) ( ) ( ) C ortanto ( ) ( ) ( + ) + Ou ( ) ( ) +

13 Determinação de ( t) upondo que a excitação ( t) amplitude A radiano. er fig. I-.a. poui a forma de um degrau de Nete cao, ( ) A ortanto ( ) A ( + ) Anti-tranformando, reulta: t ( t) A ( e ) A fig. I-.b motra eta repota temporal. ( t) ( t) A A (a) t (b) t Fig. I- Duração do controle ela fig, I-.b, vemo que o ângulo de aída tende para o valor do ângulo da entrada quando o tempo crece indefinidamente. ortanto, matematicamente a igualdade entre o ângulo de entrada e de aída ó ocorreria em t. Entretanto, tal como acontece com a carga de um capacitor, a partir do intante em que a diferença e torna tão pequena que não for mai poível medi-la, conidera-e o proceo terminado. Além dito exitem alguma convençõe para caracterizar a duração do tempo de controle. Uma da convençõe mai uada é coniderar a duração como endo o tempo gato para atingir 9 % do valor final. Uaremo eta convenção e o nome que e cotuma dar a ee tempo caracterítico: tempo de duração do período tranitório do controle, ou implemente, duração do controle. A fig. I- indica ee tempo, que etá repreentado pelo ímbolo t C. 3

14 ( t) A,9 A Fig. I- t C t Ete tempo pode er calculado por meio da equação: Reulta:,9 A A ptc ( e ) t C,3 Repare-e que quanto maior o gano do amplificador, menor erá o tempo gato para efetivar o controle Exercício I-6 Um controle de poição de um capacitor variável poui o eguinte parâmetro: rd, 875 ;,9 v / rd ; 5 v Determinar a duração do controle. Solução: t C,3,3 rd,875 5,9 v v rd,75 t C,

15 Diagrama funcional do controle no domínio da tranformada de Laplace A fig. I-3 motra o diagrama funcional, do itema exemplificado, no domínio da tranformada de Laplace. Toda a variávei que etão ainalada ão tranformada de Laplace de ua repectiva funçõe temporai. D C C Equaçõe: Fig. I-3 D C + D B C emo que a equaçõe ão a mema já determinada anteriormente. ortanto, teremo o memo reultado, ou eja: ( ) ( ) + Função de tranferência decritiva do controle È a relação da variável de aída pela variável de entrada, exprea em tranformada de Laplace. Chamando ea função de F(), teríamo para o noo exemplo: F ( ) ( ) ( ) + 5

16 Claificação dete tipo de controle Ete tipo de controle é chamado de controle linear. Ele é chamado de linear porque toda a equaçõe algébrica. em tranformada de Laplace, que decrevem o controle, ão equaçõe lineare. Uma equação é linear quando ua variável dependente é proporcional a variável independente. Exemplo: D B O gráfico da variávei,, e, em função, repectivamente, de D,, reultam em linha reta. Daí a jutificativa para o nome de linear. Eta equaçõe eriam não lineare e, por exemplo tivéemo D B co B, e Nenhum gráfico deta funçõe reulta em linha reta.. O gráfico da primeira equação eria uma parábola. O gráfico da egunda eria uma hipérbole. O gráfico da terceira eria uma co-enoide. or ito, itema de controle que pouíem uma ou mai equaçõe dee tipo eriam claificado como itema de controle não linear. Na realidade o método de reolução por tranformada de Laplace fica inválido para itema não lineare. O itema de equaçõe diferenciai deve er reolvido por técnica de integração convencionai, ou então, por cálculo numérico via computação. O itema de controle de noo exemplo é deignado também por controle linear de primeira ordem. A razão para eta deignação etá na caracterítica da função de tranferência: ( ) ( ) F ( ) + Repare-e que o denominador de ( ) relativamente à variável. F é um polinômio do primeiro grau, alha de controle A fig. I-4 motra a malha de realimentação do itema de controle de noo exemplo. 6

17 Fig. I-4 O ganho de malha de realimentação é o produto do ganho de cada bloco. Reulta: mr Devido ao inal negativo de mr, podemo confirmar que e trata de uma realimentação negativa. ejamo o que acontece, para ete exemplo de controle e, por acao, a realimentação foe poitiva. Nete cao, o controle eguiria o equema da fig. I-5. D C C + O itema de equaçõe ficaria: Fig. I-5 + D C D B C + Reolvendo ete itema de equaçõe chega-e ao reultado: 7

18 ( ) ( ) ara a excitação degrau ( ) A, teremo: ( ) Anti-tranformando, reulta: A ( ) + t ( t) A ( e ) O expoente poitivo, do número neperiano, faz com que ( t) creça indefinidamente. A fig. I-6.a motra o gráfico teórico dee ângulo de aída em função do tempo. π A A (a) t (b) t Fig. I-6 Entretanto, em noo exemplo, e upuermo que a poição inicial de é central, o ângulo máximo que o potenciômetro de aída pode girar é ± 9. Quando o potenciômetro atinge ete valor, um interruptor deliga o itema e o ângulo permanece nee valor extremo. ortanto, e partirmo da poição central do potenciômetro, a repota que realmente acontece é aquela motrada na fig. I-6.b. or menor que eja a excitação de entrada, o ângulo de aída aume o valor máximo do potenciômetro. ortanto, com realimentação poitiva, o controle implemente não funciona Tecnicamente cotuma-e dizer que a realimentação poitiva tornou o itema intável. 8

19 CONTROLE DE OSIÇÃO ENOS IDEAL DO QUE NO CASO ANTERIOR: A INÉRCIA DO OTOR E A CARA DO SISTEA NÃO ODE SER DESREZADAS. Um exemplo de uma ituação como eta, eria o poicionamento de um canhão de artilharia. Em um cao como ee, pode er neceário uma excurão angular maior do que no exemplo precedente. Nee cao, o potenciômetro de entrada e de aída deveriam er como o que etá motrado na fig. I-7. + E CC Fig. I-7 Devida à grande maa do dipoitivo que e deeja poicionar, deve-e uar um motor potente e peado. A força gerada, no motor, tem que vencer ua própria inércia e a inércia da carga. Nete cao, o motor, quando excitado por um degrau de tenão, leva um certo tempo para atingir a velocidade de regime. A fig. I-8.a motra uma excitação de tenão na armadura do motor. Eta tenão tem a forma de um degrau de amplitude. A fig. I-8.b motra como varia a freqüência angular de rotação do motor quando excitado com a tenão decrita. v ( t) ( t) (a) t (b) t Fig. I-8 Ea variável ( t) é decrita pela expreão matemática: γt ( t) ( e ) 9

20 . Determinação da tranformada de Laplace de ( t) A expreão de ( ) em função do tempo, fica: ( ), para excitação em degrau γ + γ ara uma excitação generalizada, cuja tranformada é ( ), que reulta ea variação de, reulta: ( ) ( ) γ + γ A fig. I-9 motra o diagrama funcional do controle, para eta nova ituação, em termo de tranformada de Laplace da divera variávei: D γ + γ C C Fig. I-9 O itema de equaçõe, no domínio da tranformada de Laplace, fica: D C + D γ + γ C

21 Reolução para a variável γ D ( + γ ) ( + γ ) γ ( + C ) γ ( + γ ) ( ) γ γ ( ) γ ( ) ( + γ ) ( + γ ) + γ ortanto γ ( ) + γ ou + γ γ γ ou ( + γ + γ ) γ p p ou + γ + p γ p γ Temo agora um itema de controle linear de egunda ordem. amo excitar, o potenciômetro de entrada, com um delocamento angular na forma de A um degrau de amplitude A, ou eja, ( ). Nete cao, teremo: A γ ( + γ + γ ) p p ara determinar ( t), bata anti-tranformar. Entretanto, ante dee procedimento, analiaremo alguma propriedade deta expreão. alor final de ( ) ( ) lim t lim t Reulta:

22 pγ pγ lim ( t) lim A A A + γ + pγ pγ t ortanto t ( ) lim t A Concluão: Também nete cao, o controle obrigará o potenciômetro da aída adquirir o memo ângulo do potenciômetro da entrada. Análie do período tranitório A expreão A γ ( + γ + γ ) p p pode er ecrita na forma: A n ( + ξ + ) n n onde n p γ e ξ γ p n é chamado de freqüência natural do controle. Sua unidade é rd/. ξ é chamado de fator de amortecimento. É uma grandeza adimenional. A anti-tranformada de ( ) pode reultar em trê expreõe matemática diferente conforme o valor de ξ eja menor, igual ou maior do que. Expreão de ( t) na ituação em que e tem ξ < ( t) A ξ en ξ t e ξ n nt + ψ

23 ξ onde ψ tg ξ Na fig. I- temo doi gráfico deta expreão coniderando o valore n rd / e A rd. Na fig. I-.a tem-e ξ, 5 e na fig. I-.b tem-e ξ,. Oberve-e que quanto menor for o ξ maior erá a amplitude da ondulação tranitória. A ituaçõe em que e tem ξ < ão coniderada como ub-amortecida lot ξ, lot ξ, Time (ec) Time (ec) Expreão de ( t) ( a ) ( b ) Fig. I- na ituação em que e tem ξ n [ e ] t ( t) A ( + t) n Na fig. I- temo o gráfico deta expreão coniderando o valore rd e A rd. Eta ituação correponde ao amortecimento crítico... lot n /.8.6 ξ Time (ec) Fig. I- 3

24 Expreão de ( t) na ituação em que e tem ξ > ( t) A e ξ ξ t enh ξ n nt + ψ onde ξ ψ tgh ξ Na fig. I- temo o gráfico deta expreão coniderando o valore rd e n / A rd Na fig. I-.a tem-e ξ e na fig. I-.b tem-e ξ 5. Oberve-e que quanto maior for o ξ maior erá a duração do período tranitório. A ituaçõe em que e tem ξ > ão coniderada como endo obre-amortecida. lot. lot ξ ξ Time (ec) 5 5 Time (ec) (a) (b) Situação preferencial de projeto Fig. I- A ituação preferencial de projeto conite, quando poível, no ajute do parâmetro para que e tenha o amortecimento crítico, ou eja, ξ. Duração do período tranitório do controle para excitação do ângulo na forma de um degrau para o cao em que e tem ξ. Chamando de t c ee tempo, ele deve atifazer a equação:,9a nt [ ( + t ) e C ] A n C 4

25 ,9 + t nt ou ( ) C C ou ( + t ) e nt, n C n C Reolvendo-e eta equação, chega-e ao reultado: nt C 3,89 e ou t C 3,89 n Exercício I-7 Um poicionador de canhão poui o eguinte parâmetro: v p, 9 ; rd rd, ; v γ 5 a) Determinar para que e tenha ξ. b) Determinar a duração do tranitório do controle para a excitação degrau. Solução: a) ξ γ p ortanto 4 ξ γ p Ou γ 5 6, 55 4ξ p 4,,9 6,55 b) γ, 6,55,9 5,5 rd / n p 3,89 3,89 t, 56 C,5 n t C,

26 CONTROLE DE OSIÇÃO ONDE SE CONSIDERA QUE O ALIFICADOR DC OSSUI FREQÜÊNCIA DE CORTE NAS ALTAS FREQÜÊNCIAS. O amplificadore de tenão contínua e comportam como filtro paa baixa. A repota em freqüência egue a expreão: v v D + onde j A repota de amplitude, em db, etá motrada na fig. I-3 log log 3 log db D Fig. I-3 A expreão v v D + que também pode er ecrita na forma v ( ) v ( ) D + pode repreentar a tranformada de Laplace da repota temporal, dede que o parâmetro repreente o operador daquela tranformada. Nete cao, o diagrama do controle, no domínio da tranformada de Laplace, fica como motrado na fig. I-4. 6

27 D + γ + γ C C Nete cao a equaçõe ficam: Fig. I-4 D C + + D γ + γ C Reolvendo, encontra-e: ( ) ( ) 3 + γ ( + γ ) + γ + γ ara a excitação na forma de degrau de amplitude A, teremo: ( ) alor final A γ 3 ( + ( + γ ) + γ + γ ) ( ) [ ( ) ] lim lim t A t 7

28 Entretanto, como veremo mai adiante, dependendo do ganho do amplificador, o controle pode er etável ou intável. O teorema do valor final ó é valido para controle etável. Exemplo de parâmetro que tornam o controle etável Sejam v p, 9 ; rd rd ; v γ 5 ; rd / A fig. I-5 motra a repota temporal dee controle quando a amplitude do degrau de excitação é rd. A repota motrada na fig. I-5.a acontece quando,5. A fig. I-5.b repreenta a mema repota quando e ua.. ( t) lot.5 ( t) lot ,5 5 5 Time (ec) Time (ec) (a) Fig. I-5 (b) O aumento do ganho do amplificador pode tornar o controle intável. amo manter o memo parâmetro do cao anterior, com exceção do ganho do amplificador. amo aumentar ee ganho para o valor 9. A fig. I-6.a motra como varia o ângulo do potenciômetro de aída para o memo degrau de excitação lot Ângulo Time (ec) lot Saída do amplificador Time (ec) (a) (b) Fig. C-6 8

29 A fig. I-6.b motra como varia a tenão na aída do amplificador interno do itema. Teoricamente o valor do ângulo de aída, aim como a amplitude do inal de aída do amplificador, aumentariam indefinidamente. Entretanto, abemo que a amplitude do inal de aída de um amplificador DC é limitada no valor de ua tenão de alimentação. Se coniderarmo que o amplificador DC, de ganho 9, etá alimentado por ± 5 v, então a repota dete itema intável fica aquela motrada na fig. I Ângulo lot de aída Com limitador de nível Time (ec) (a) lot Saída do amplificador limitado Time (ec) (b) Fig. I-7 A fig. I-7.b motra a aída de um amplificador DC, não ideal, quando é alimentado com tenõe de ± 5 v. A fig. I-7.a motra como varia o ângulo do potenciômetro de aída. Nete itema, o amplificador, não ideal, poui um ganho de tenão igual a 9, válido apena, para inai de aída com amplitude menore que o nívei de limitação. O próximo capítulo ão dedicado ao etudo de divero critério para a análie da etabilidade de itema de controle, aim como a otimização de eu parâmetro. 9

30 II - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE BASEADO NA LOCALIZAÇÃO DOS OLOS DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA. Raiz de um polinômio Raiz de um polinômio é o valor da variável que anula ee polinômio. Exemplo : () + Determinação da raiz: + ou Chamando eta raiz de, podemo dizer que erificação: ( ) + + Exemplo : Seja o polinômio ( ) Ete é um polinômio de egundo grau que, também, pode er chamado de polinômio de egunda ordem. Ele poui dua raíze. Determinação da dua raíze dete polinômio: ± ± erificação: 3 ( ) ( ) + 5 ( ) ( ) ( 3) + 5 ( 3) Conhecendo-e a raíze pode-e ecrever o polinômio na forma fatorada: 3

31 ( ) ( )( ) + Em noo exemplo fica: ( ) ( )( + ) Eta equivalência pode er verificada fazendo-e a multiplicação algébrica de ( + ) por ( + 3). Além dito, podemo verificar que, tanto para como para 3 expreão ( ) ( + )( 3) e anula. + Exemplo 3 Seja o polinômio de terceira ordem: ( ) Como ete polinômio é do terceiro grau, ele poui 3 raíze. Se determinarmo ea raíze encontraremo: 3 3 ortanto, ete polinômio pode, também, er ecrito na forma fatorada: ( ) ( + )( + 3)( ) 3 + Exemplo de polinômio com raíze complexa. Seja o polinômio: ( ) amo determinar ua dua raíze , a 6 ± Reulta: ± 6 6 ± j4 3 + j 3 j Oberve-e que ete par de raíze correponde a número complexo conjugado. Ito empre acontece para polinômio de egundo grau cuja raíze ão número complexo. Também, multiplicando algebricamente, podemo verificar a igualdade ( )( ) ( + 3 j)( + 3 j)

32 ropriedade da raíze complexa de polinômio de maiore grau a) O polinômio pode ter raíze reai, raíze complexa ou de ambo o tipo. b) A raíze complexa empre aparecem na forma de pare conjugado Exemplo de um polinômio de quinta ordem que poui doi pare de raíze complexa e uma raiz real ( ) Raíze: j j j j Nota-e que a raíze e 3 formam um par de número complexo conjugado. Da mema forma, a raíze 4 e 5 formam outro par de complexo conjugado. LUAR DAS RAÍZES A raíze podem er repreentada no plano. Ete plano vem a er um itema de coordenada carteiana onde o valore da raíze ão plotado. A abcia indica a parte real da raiz e a ordenada indica ua parte imaginária. A poiçõe da raíze, dete noo último exemplo, etão motrada na fig. II- jy x 3 3 Fig. II- 3

33 Toda a raíze dee exemplo pertencem ao emi-plano equerdo do gráfico. Exemplo de um cao em que a raíze etão localizada no emi-plano direito. Seja o polinômio: ( ) 5 + Determinação da raíze: + 5 ( ) ± ( ) 4 5 ± 6 ± j4 + j j A fig. II- motra a poição deta raíze. jy x Fig. II- OLOS E ZEROS DE UA FUNÇÃO Seja uma função de, dada pela expreão: ( ) ( ) F onde ( ) e Q ( ) ão polinômio. Q( ) Denominam-e zero de F ( ), a raíze do numerador ( ). Denominam-e pólo de F ( ), a raíze do denominador ( ) Q. Como veremo a eguir, quando F() repreenta a função de tranferência de um itema de controle, no domínio da tranformada de Laplace, a etabilidade dee controle etá diretamente ligada à poiçõe do pólo deta função. 33

34 RELAÇÃO ENTRE A LOCALIZAÇÃO DOS OLOS E A ESTABILIDADE DE U SISTEA DE CONTROLE. Um itema de controle é intável quando a função de tranferência tiver pelo meno um pólo no emi plano direito ou no eixo imaginário do itema de coordenada. oderemo utilizar o exemplo dado para confirmar a veracidade dee critério. amo rever o exemplo mai imple de poicionador. er fig. II-3. D C C Fig. II-3 Reultou a função de tranferência: F ( ) ( ) ( ) + ólo do denominador: + ou ortanto, tem-e o único pólo A poição dete único pólo etá motrada na fig. II-4.a emo que ele e encontra no emi-plano equerdo. ortanto, de acordo com o critério, da poição do pólo, ete itema é etável jy x ( t) A (a) (b) t Fig. II-4 34

35 De fato, vimo que tranformada do ângulo de aída para uma excitação degrau de amplitude A, é dada por: ( ) A A anti-tranformada fica: ( + ) t ( t) A ( e ) Eta repota temporal etá motrada na fig. II-4.b amo uar o memo exemplo modificado para realimentação poitiva. er fig. II-5. D C C + Reulta a função de tranferência: Fig. II-5 ( ) F ólo do denominador: ( ) ( ) ou ortanto, tem-e o único pólo A poição dete único pólo etá motrada na fig. II-6.a. emo que ele e encontra no emi-plano direito. ortanto, de acordo com o critério, da poição do pólo, ete itema é intável. jy x A (a) Fig. II-6 (b) t 35

36 De fato, vimo que tranformada do ângulo de aída, para uma excitação degrau de amplitude A, é dada por: ( ) A anti-tranformada fica: A ( ) + t ( t) A ( e ) O expoente poitivo do número neperiano faz com que ( t) Eta repota temporal etá motrada na fig. II-6.b creça indefinidamente. ALICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE A U CONTROLE DE SEUNDA ORDE amo aplicar ete critério ao itema de egunda ordem que analiamo anteriormente. er Fig. II-7. D γ + γ C C Fig. II-7 imo que quando o ângulo de entrada varia com a forma de um degrau de amplitude A, o ângulo de aída obedece a tranformada de Laplace: ( ) A n ( + ξ + ) n n Onde n γ e p ξ γ p ara qualquer tipo de excitação ( ) n ( ) ( ) + ξ + n n tem-e: ortanto a função de tranferência dee controle fica: 36

37 F ( ) ( ) n ( ) + ξ + n n Determinação do pólo (raíze do denominador) + ξ n + n ξ ± 4ξ n n n ξ n ± ( ξ ) n ortanto: 4 ξ + ξ n ( ) n ξ ξ n ( ) n A poição da raíze depende do valor de ξ Cao a) ξ > Nete cao a raíze ão empre reai e negativa. ortanto o itema é etável. A fig. II-8.a e II-8.b motra, repectivamente, a poiçõe dea raíze para ξ e ξ 5. Normalizamo o itema para rd/. A fig. II- 9 motra a repota temporai de para ete doi valore de ξ >, quando a excitação é um degrau de amplitude rd/. n ξ (a) jy 3,73, 7 x Fig. II-8 9,9 (b) ξ 5, jy x ξ lot ξ Time (ec) Fig. II-9 37

38 Cao b) ξ Nete cao a dua raíze aumem o memo valor:,. Como ee valor, também é real e negativo, o controle permanece etável. A fig. II-.a motra a poição dea dua raíze. A fig. II-.b motra a repota temporal de, para ξ, quando a excitação é um degrau de amplitude rd/ ξ, jy x ξ lot Time (ec) (a) (b) Fig. II- Cao c) < ξ < Nete cao a raíze ão número complexo com a parte real negativa. ortanto, ela empre e localizam no emi-plano equerdo. Ito faz com que o controle, também nete cao, eja etável. A fig. II-.a e II-.b motra, repectivamente, a poiçõe dea raíze para ξ, 7 e ξ, 3. A fig. II- motra a repota temporai de para ete doi valore de ξ, quando a excitação é um degrau de amplitude rd/ jy jy ξ,7 + j,95 + j,74 ξ,3,7 (a) j, x Fig. II- lot ξ,3,3 (b) j,95 x.75.5 ξ, Time (ec) Fig. II- 38

39 Cao d) ξ Nete cao a raíze ão puramente imaginária. Como ela e localizam no eixo imaginário, o controle é intável. ortanto, eta é a única ituação em que um controle linear de ordem doi e torna intável. A fig. II-3.a motr a poiçõe da raíze. A fig. II-3.b motra a repota temporal de para ξ, quando a excitação é um degrau de amplitude rd/. jy. lot ξ ξ + j, x.5. j, Time (ec) (a) Fig. II-3 (a) Sitema intável excitado com um pulo etreito. Quando o controle é intável, a ocilação perite memo quando termina a excitação. Se excitarmo o itema com um pulo etreito, teremo na aída uma ocilação permanente que continua memo depoi que o pulo acaba. Na fig. II-4.a temo o parâmetro cuja forma é um pulo etreito. Na Fig. II-4.b, vemo como varia o ângulo de aída com ea excitação..5 lot..5, A rd t Time (ec) (a) (b) Fig. II-4 39

40 Root Locu A análie que fizemo dete exemplo de controle é conhecida na língua inglea como Root Locu. Significa lugar geométrico da raíze. Eta análie, além de pequiar a etabilidade do controle, erve também para otimizar o amortecimento em itema de controle de maiore orden e até ua poível compenação por meio de intercalação de determinado circuito elétrico. O parâmetro variável de noo exemplo foi o ξ. Em itema de maiore orden é comum uar outro parâmetro variávei, tai como a variação da carga mecânica ou a mudança de ganho do amplificador interno do itema. O lugar geométrico da raíze deve er uma curva contínua. Em noo exemplo, deveríamo calcular a raíze para inúmero valore de ξ e traçar o gráfico do valore dea raíze. Na prática, ua-e uma quantidade de valore apena o uficiente para e ter traçar a curva aproximada do lugar geométrico da raíze. Une-e o ponto do gráfico de maneira a e ter uma curva contínua, aproximada, do lugar geométrico da raíze. A fig. II-5 motra o root locu de noo exemplo. A eta indicam o entido crecente de ξ. jy ξ ξ < ξ < ξ j ξ x ξ j < < ξ Fig. II-5 ANÁLISE DE U SISTEA DE TERCEIRA ORDE UTILIZANDO O ÉTODO DO LUAR EOÉTRICO DAS RAÍZES. amo utilizar o itema de terceira ordem que foi analiado anteriormente. er fig. II-6. D + γ + γ C C imo que: Fig. II-6 F ( ) ( ) γ 3 ( ) + ( + γ ) + γ + γ 4

41 Utilizando o parâmetro: v p, 9 ; rd rd ; v γ 5 ; rd / reulta: F( ) 3 95, ,5 O denominador poui trê raíze cujo valore dependem do ganho do amplificador. A tabela II- tem-e o valore dea raíze para o ganho variando de zero a 8. Tabela II- 3,, - 5, -,, -,9-4,96 -,, -,3-4,6 -,8, -,438-4, -,35,54 -, -, -,773, -,834 j,5 -,834 + j,5 -,35, -,49 j3,7 -,49 + j3,7 -,8 3, -,78 j4,6 -,78 + j4,6 -,84 4, -,8 j5,8 -,8 + j5,8-3,4 6, -,348 j6,3 -,348 + j6,3-4,3 7,85 - j7,7 + j7,7-5,, +,346 j 7,79 +,346 + j 7,79-5,69 4, +,886 j8,88 +,886 + j8,88-6,76 3, +,4 j,8 +,4 + j,8-9, , j4, + 7, + j4, - 469, 4

42 A fig. II-7 motra o gráfico da poiçõe dea raíze. jy j,8 7,85 j7, , ,54, x, 4 7,85 j7,7 j,8 3 Concluõe Fig. II-7 a) ara, 54 a raíze ão reai e negativa. ortanto, e localizam no emi-plano equerdo do gráfico reultando um controle etável.. ara ete valore de, a repota tranitória, ao degrau, não poui ondulaçõe. Entretanto, quanto menor for o valor de maior erá o tempo de ubida. Entende-e por tempo de ubida o tempo gato para que o ângulo de aída atinja 9 % de eu valor final. A fig. II-8 motra o período tranitório para,5 e,5.. lot ,5, Time (ec) Fig. II-8 4

43 b) ara,54 < < 7,85, tem-e uma raiz real negativa e um par de raíze complexa conjugada. Eta raíze complexa pouem a parte real negativa. ortanto, aqui, também, toda a raíze e localizam no emi-plano equerdo. Neta faixa de variação de, a repota tranitória, ao degrau, poui ondulaçõe. Quanto maior for o valor de maior erão a amplitude dea ondulaçõe. A fig. II-9.a compara a repota temporai para,5 e,. A fig. II-9.b compara a repota para o valore e lot.5, 3,.5 lot.8.6.4, , Time (ec) (a) Time (ec) (b) Fig. II-9 c) ara 7,85, tem-e uma raiz real negativa e um par de raíze imaginária pura e conjugada. Como eta dua raíze e localizam no eixo imaginário do gráfico, o controle é intável. O ângulo de aída fica permanentemente ocilando com amplitude contante. A fig. II- compara a repota temporai para 3 e 7, lot 7, Time (ec) Fig. II- 43

44 d) ara > 7,85, tem-e uma raiz real negativa e um par de raíze complexa conjugada. Eta raíze complexa pouem a parte real poitiva. ortanto, eta dua última raíze também, etão localizada no emi-plano direito. Ito faz com que o itema fique intável. A repota tranitória teórica conite de uma ocilação cuja amplitude aumenta exponencialmente no decorrer do tempo. A fig. II- motra eta repota teórica para 9. A parte a dea figura motra a ocilação crecente do ângulo de aída. A parte b da figura motra o inal de aída do amplificador interno do itema. Oberve-e que apó egundo a amplitude dee inal já atingiu 7 volt lot Ângulo Time (ec) lot Saída do amplificador Time (ec) (a) (b) Fig. II- Entretanto, abemo que não é poível a tenão de aída de um amplificador eletrônico aumentar indefinidamente. Na prática o que acontece é uma limitação de amplitude em valore próximo do valor da tenão de alimentação. O equema que mai e aproxima do controle real etá motrado na fig. II-. Como ete controle paou a er não linear, o itema de equaçõe diferenciai não mai pode er reolvido por tranformada de Laplace. A reolução emprega meio computacionai tai como um proceo conhecido com imulação do itema. D + Limitador ±5 v γ + γ C C Fig. II- A Fig. II-3 motra a repota com a preença do limitador da amplificação. A parte a dea figura motra a repota para 9. Na parte b tem-e. Repare-e que praticamente não faz diferença, na repota temporal, ee aumento do ganho do amplificador. 44

45 lot Com limitador Time (ec) Com lot limitador Time (ec) (a) (b) Fig. II-3 Sitema intável excitado com um pulo etreito. Quando o controle é intável, a ocilação perite memo quando a excitação deixa de exitir. Se, em lugar de um degrau, excitarmo o itema com um pulo etreito, teremo na aída uma ocilação que continua exitindo indefinidamente memo depoi que o pulo acaba. Na fig. II-4.a temo a forma de uma excitação ( t). Conite em um pulo muito etreito. Na Fig. II-4.b, vemo como varia o ângulo de aída ( t), com ea excitação de entrada, e upondo amplificador com ganho 9 em limitação de amplitude lot Forma de ( t) Forma de ( t) 5 5 Time (ec) lot 9 Excitação com pulo etreito Time (ec) (a) (b) Fig. II-4 Na fig. II-5.b vemo o memo comportamento do controle quando a amplitude de aída do amplificador, de ganho 9, é limitada em ± v. A fig. II-5.a motra a excitação de entrada que é a mema do cao anterior. 45

46 lo t Forma de ( t) 5 5 Time (ec) (a) Fig. II lot Forma de ( t) Time (ec) (b) Na realidade, qualquer excitação proviória e de amplitude infiniteimal, é uficiente para diparar a ocilação do controle. Normalmente quando e liga o itema, ele já entra em ocilação. Ajute preferencial imo que, no exemplo que analiamo, o ganho,5 é o que acarreta menor tempo de ubida em que ocorram ondulaçõe. Ete deveria er o ganho para o funcionamento otimizado do itema. Ele vem a er o maior ganho do amplificador que reulta, ainda, raíze reai. Entretanto, ete valor ótimo de ganho ó é valido quando e mantém o memo valore do demai parâmetro utilizado no exemplo analiado. Qualquer mudança de caracterítica do motor e da carga, aim como da repota em freqüência do amplificador, neceitaria um novo cálculo para a determinação da nova localizaçõe da raíze, e, coneqüente, determinação do ponto ótimo de ajute. LUAR DAS RAÍZES ARA OUTROS ARÂETROS ARIÁEIS. No exemplo que analiamo, mantivemo todo o parâmetro contante e determinamo o lugar da raíze em função de mudança de ganho do amplificador.. No cao de um poicionador de canhão, ito é aproximadamente correto, poi, a carga é contante. Ito faz com que o comportamento do motor também não mude. Um grande número de itema de controle trabalha com carga variável. Nete cao o root locu deve er calculado, principalmente, em função da variação da carga. odemo dar como exemplo de itema dete tipo, um guindate automático. Se o controle não for projetado com critério, pode acontecer intabilidade ou tranitório ocilante indeejávei para determinado valore de carga. Finalmente, exite uma técnica de otimização do controle onde e conideram múltiplo parâmetro que mudam de valore imultaneamente. Eta técnica é etudada em curo mai epecializado de otimização de controle. 46