8 Equações de Estado

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1 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8 Equaçõe de Etado 8. Repreentação por Variávei de Etado Exemplo 4 Exemplo 8. 4 Exemplo 8. 6 Exemplo 8. 6 Exemplo Matriz na forma companheira Exemplo Exemplo 8.5 Exemplo A equação caracterítica e o polo do itema 4 Exemplo 4 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Repreentaçõe Equivalente 6 Exemplo 7 Exemplo 8. 7 Exemplo 8. 9 Exemplo 8. Exemplo 8.4 Exemplo 8.5 4

2 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8.4 Tranformação Função de Tranferência para Equaçõe de Etado 6 Exemplo 6 Exemplo Exemplo Exemplo Simulação Analógica 9 Exemplo Exemplo 8.9 Exemplo 8. Exemplo 8. Exemplo 8. Exemplo 8. Exemplo Converão de Equação de Etado para Função de Tranferência 4 Obervação 5 Exemplo 6 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Múltipla entrada e múltipla aída 4 Exemplo 8. 4

3 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Equaçõe de Etado 8. Repreentação por Variávei de Etado Já vimo no capítulo Repreentação de Sitema uma forma de repreentar itema lineare e invariante no tempo atravé de uma função de tranferência que relaciona diretamente a entrada input com a aída output. Aqui veremo uma outra forma de repreentar itema com o uo de variávei interna ao itema variávei de etado. Com a variávei de etado e contrói um itema de equaçõe diferenciai de ª ordem que ão chamada de equaçõe de etado. u entrada S variávei de etado y aída A repreentação de um itema em equaçõe de etado conidera variávei interna o etado. Normalmente terá componente, endo a ordem do itema. A dimenão do vetor poderá eventualmente er maior que ordem do itema, ma nete cao haverá equaçõe redundante.

4 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Para itema lineare e invariante no tempo de ordem a forma a equaçõe de etado têm, eq. 7. onde A é uma matriz B é uma matriz C é uma matriz D é uma matriz p número de entrada q número de aída No cao de itema com apena uma entrada ut, i.e., p e uma aída yt i.e., q, temo que,! " #! ou eja, nete cao B é um vetor coluna, C é um vetor linha e D é uma contante d ou eja, D é uma matriz x. Exemplo 8.: Sitema carro-maa-mola A equação diferencial ordinária EDO que decreve ete itema, conforme já vito no capítulo Modelização de Sitema é dada por: 4

5 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado $ # #% &# #% '%% Nete exemplo, e definirmo a variável de etado onde %%*,çã* #* /* *, %/ %" %, %%"*,#/#" #* /* *, %/ %" %. então o par %4 % % 5 repreenta o etado interno do itema. Por exemplo, e, então io ignifica que no intante t o etado do itema é o carro paando pela origem com velocidade m/, ou eja m/ para trá. Com a definição de 8 9 : 9 ; < acima temo ' $ & $ $ e, como e, então ' $ & $ $ 5

6 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado logo, A B '/$ &/$ /$! C que é a repreentação dete itema em equaçõe de etado na forma eq. 8.. Note que nete cao D. Exemplo 8.: Agora, coniderando o itema carro-maa-mola do exemplo anterior com $ &5 '4 então A B <8 <!! C D Exemplo 8.: Conidere um itema decrito pela equação diferencial ordinária EDO y 4 y 5y u cuja a função de tranferência é dada por: Y U

7 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 7 Nete cao define-e a variávei de etado como: 5 4 Y Y U Y o que implica que: 5 4 U Ma, e logo, 5 4 U e como e, temo que: 4 5 Y U e portanto,

8 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Y U e deta forma obtemo a equaçõe de etado do itema: [ ] x y u x x 4 5 & Note que a matrize A, B, C e D ão nete cao: 4 5 A B [ ] C e D Exemplo 8.4: Conidere um itema decrito pela equação diferencial ordinária EDO # #% / # B #% B / B # #% / % % É fácil de e notar que a função de tranferência dete itema é dada por D E / B / B /

9 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Agora, definindo-e a variável de etado de maneira emelhante ao exemplo 8., 8. e 8. acima, temo I J D G J D H G FJ B D J J I G J J L H J G B J F / B / B / J E I G H G F J J J J J J J / J / J / J E D J A B I G H G F P O O O N / / / S R / Q RR!! P S O R O O NQ RR C D 9

10 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Matriz na forma companheira A matriz A dete exemplo 8.4 acima é dita etar na forma companheira. Note que ela tem a o elemento acima da diagonal principal têm todo o valor um; b a última linha é contituída do coeficiente do polinómio caracterítico de A / B / B / com o inai trocado e na ordem invera; além dio, c o demai elemento ão todo igual a zero. Uma matriz quadrada n x n A que atifaz a propriedade a, b e c acima é dita etar na forma companheira. Oberve que a matrize A do exemplo 8., 8. e 8., também etão amba na forma companheira. Se o polinómio caracterítico de uma matriz quadrada n x n A tem o coeficiente de eu termo de mai alto grau um valor a o, ou eja, / T / B / B / então a matriz A na forma companheira terá a forma mai geral: o o n o n o n o n a a a a a a a a a a A L L M M M M M M L L L

11 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado No cao particular, ma batante comum, de a o, a matriz A na forma companheira tem o eguinte apeto: A M a n M a M a a a n n n M L L L M L L M onde, a,, a n-, a n, ão o coeficiente da equação caracterítica p p n n n a a L a n a n Exemplo 8.5: Se a equação diferencial ordinária EDO também tivee derivada de u, a ecolha acima não eria apropriada. Conidere o itema decrito por: ut S yt A função de tranferência do itema é: D E Define-e nete cao: E IJ G H G F J E J J U J J J E

12 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado A B V J J J J J E D J J W 8 < 8 <!! e portanto: 8 <, B 8 <, C! e! C D e oberve que aqui novamente a matriz A dete exemplo etá na forma companheira, poi a equação caracterítica do itema é: Exemplo 8.6: Conidere o itema cuja função de tranferência é dada por: D 7 E 4 Nete cao o itema é de egunda ordem, logo tem polo, ma como o numerador da função de tranferência tem o memo grau que o denominador, o itema também tem zero. Primeiramente, dividindo-e o numerador pelo denominador: Obtemo o quociente de e reto 7. Logo, D 7 7 E 4 4

13 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado ou eja, D 7E 4 E eq. 7. Agora definindo a variávei de etado temo que E J 4 J E 4 J E 4 J J 4J J E e logo, 4 Portanto, A B 8 4 <8 < 7!! C D Oberve que a matriz A aqui nete exemplo também etá na forma companheira.

14 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8. A equação caracterítica e o polo do itema Um itema decrito na forma de equação de etado [eq. 8.]: ut S yt tem o eu polinómio caracterítico dado por: det ] Já o polo do itema ão o autovalore ou valore próprio de A, podendo er repetido, i.e., duplo, triplo, etc. Como é abido, o autovalore de A ão a raíze do polinómio caracterítico det ]. Exemplo 8.7: Oberve que para o itema do exemplo 8. acima, o polinómio caracterítico é dado por: det] #"% ^ ` a b & $ ' $ e, no cao de m, &5 e k 4 $ &' 54 Logo, a equação caracterítica pode er ecrita como: 54 e para encontrar o polo, calcula-e a raíze de p, ou eja, o autovalore de A c e c 4 Oberve que a polinómio caracterítico p e o polo c " c obtido aqui ão o memo que o obtido atravé da função de tranferência. 4

15 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.8: Para o itema do exemplo 8.4 acima, o polinómio caracterítico é: det] P O #"% O O N/ / B / B S R R R / Q / B / B / B / T e o polo do itema autovalore de A ão a n raíze de p, podendo er repetida, i.e., dupla, tripla, etc. Exemplo 8.9: Para o itema do exemplo 8.5 acima, o polinómio caracterítico é: det e o polo do itema autovalore de A ão: c d c d Exemplo 8.: Para o itema do exemplo 8.6 acima, o polinómio caracterítico é: det 4 4 e o polo do itema autovalore de A ão: c 4,45 c,45 5

16 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8. Repreentaçõe Equivalente Conidere o itema:, eq. 7. ut S yt cuja variável de etado é xt. Definindo-e agora uma nova variável de etado como endo: f endo P inverível. Logo, como: f temo que: W fb f B e ubtituindo na eq. 8. obtém-e: g W fb f B f B W ff B f f B h Portanto, a repreentação em Equaçõe de Etado não é única. O itema da equaçõe da eq. 8. acima pode er repreentado na forma equivalente. g, h 6

17 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado onde: ff B g f eq. 7.4 f B h Note que a entrada u e a aída y não e alteraram. Somente a repreentação interna do itema variávei de etado. Exemplo 8.: Conidere um itema de ª ordem do exemplo 8.5, cuja equaçõe de etado ão: Portanto, a variável de etado original é: W 8 < 8 <!! Agora, ecolhendo-e, temo que f8 < f Ou eja, a nova variável de etado é a antiga variável de etado x com a ordem da componente trocada. Calculando,g, " h pela eq. 8.5 obtemo A PAP 7

18 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8 PB B, [ ] [ ] CP C, e D D e deta forma, a equaçõe de etado abaixo [ ] x y u x x & ão uma repreentação diferente do memo itema. Oberve que a matriz P dete exemplo é igual a própria invera: P P Note também que: P P P P P P P ma P P - I, logo, P I Eta matrize ão chamada de idem potente. g h

19 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 9 Exemplo 8.: Conidere agora um itema de itema de ª ordem do exemplo 8.4. [ ] x y u x 4 5 x& Para que a nova variável de etado er igual à antiga x apena trocando a terceira componente L pelo dobro: L L, P deve er: fi j e deta forma temo que,5 4 5,5 PAP A PB B [ ] [ ],5,5 CP C e D D logo, a equaçõe abaixo ão uma repreentação diferente do memo itema em equaçõe de etado. A B C

20 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado x& y [ ] x x 4 g u 6 h Exemplo 8.: Conidere novamente o itema do exemplo 8., A B <8 <! C onde %poição do carro %velocidade do carro Vamo definir uma nova variável de etado de tal forma que a ua primeira componente é igual à primeira componente da variável de etado original ; entretanto, a ua egunda componente é uma combinação linear da dua componente da variável de etado original, Por exemplo: é igual a primeira componente de mai a veze a egunda componente de i.e.,.

21 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Logo, a nova variável de etado: erá dada por: % % % % % então, f com a matriz P endo: f8 < Eta matriz P é claramente inverível com a invera f B dada por: f B 8,5,5 < e portanto podemo calcular,g " pela relaçõe em eq. 8.5 obtendo-e: ff B,5,5,5 4,5 g f8 < f B! h e o itema pode er reecrito de forma equivalente como: g V,5,5,5 4,5 8 <!

22 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.4: Para o itema do exemplo anterior, vamo calcular a matriz P que tranforma A em l dado por: l8 4 < que é a forma diagonalizada de A, uma vez que o elemento da diagonal, ou eja e 4, ão o autovalore de A. Portanto, pela eq. 8.4, que equivale a, lff B lff ou eja, 8 4 <8/ # <8/ # <8 4 5 < l P P A Note que aqui nó definimo P como f8 / # <. Reolvendo eta equação matricial obtemo um itema de 4 equaçõe com 4 incógnita: a, b, c e d. I / 4 G 4 4# H / 5 G F 4# 5# W /4 # Oberve que ete itema não tem uma única olução poi a 4 equaçõe e reduzem, por redundância, a apena dua. Uma da forma que podemo ecrever a olução é / #!/ //4!, /,.

23 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Logo, a ecolha de P não é única: f4 / //4 5, / ; Agora, e ecolhermo, por exemplo, a 4 e b temo, o que implica que, f4 4 5 / / fb 4 / 4/ 5 lff B 8 4 < o f l f B / /! p ou eja, l o 8 4 < 8 < / /! l No exemplo acima nó encontramo uma forma equivalente para o itema de tal forma que a matriz A é diagonal. Entretanto, nem empre é poível e obter uma repreentação equivalente: q lqo lq eq. 7.5 com l na forma diagonal. Quando io é poível diz-e que a matriz A é diagonalizável.

24 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Um reultado batante conhecido da Álgebra Linear é que e uma matriz A é diagonalizável, então o elemento da ua diagonal principal ão o eu próprio autovalore. Se A poui o eu n autovalore, c,c,,c ditinto, então ete é um cao em que a diagonalização de A é poível. Uma forma de e obter a repreentação dete itema na forma diagonalizada para A, é a eguinte: Define-e a matriz M mudança de bae como endo: r! onde autovector aociado com o autovalor c, i,, Note que eta matriz M não é única poi qualquer autovector pode er ubtituído por um múltiplo ', com '. Ecolhendo-e: fr B então a tranformação de variávei de etado, qf no levará à equaçõe de etado da eq. 8.4 acima com l na forma diagonal. Na verdade já abemo que l erá: c l ff B r B c r c e também abemo que p. Portanto nó ó preciamo da eq. 8.4 para calcular o e l. Exemplo 8.5: Conidere o itema do exemplo 8. acima, cujo autovalore de A calculado no exemplo 8.7 ão: c c 4 4

25 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado e o repetivo autovectore, 8 u u < v 4v Ecolhendo-e, por exemplo, uv/, temo que, / / r4 / 4/ 5fB que foi a matriz P encontrada no exemplo 8. acima. Se entretanto ecolhermo u e v, teremo, e portanto, rf B / / fr B 4 / / 5 lff B 8 4 < o f / / l f B! ou eja, q 8 / <q 4 /!q l l o que é uma outra repreentação do memo itema em equaçõe de etado com a matriz A na forma diagonal. 5

26 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8.4 Tranformação Função Tranferência para Equaçõe de Etado Não há uma regra única para e tranformar itema decrito pela ua equação diferencial ordinária EDO ou, equivalentemente, pela ua função de tranferência, em equaçõe de etado. Vamo motrar aqui o memo itema, de terceira ordem, decrito pela equação diferencial w 8 e portanto com função de tranferência dada por x 8 e vamo achar trê formulaçõe diferente dete itema em equaçõe de etado. Exemplo 8.6: Conidere o itema decrito pela equação diferencial ordinária EDO w 8 Facilmente podemo achar a função de tranferência do itema G Y/U x Definindo a variávei de etado: 8 L D E L L L L 8 A x i jxiju 8! B Oberve que a matriz A etá na forma companheira. C 6

27 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.7: Vamo coniderar o memo itema do exemplo anterior. Entretanto aqui vamo reecrever a função de tranferência G da eguinte forma: x D E Logo, definindo a variávei de etado da eguinte forma: temo que I G H G F J E J 5E J E J E J L x.e D J 5E J L E 5E J 4. 4.J E J 4. 4.J 8E } que no dá uma outra formulação em equaçõe de etado dete itema, diferente do exemplo anterior. Ecrevendo na forma matricial temo 5 i4 jij 4! 7

28 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.8: Vamo coniderar novamente o memo itema do exemplo anteriore. Entretanto aqui vamo reecrever a função de tranferência G da eguinte forma: Expandindo em fraçõe parciai e definindo a variávei de etado J, J e J L da forma indicada abaixo, x 4 5 D E J E J E J L E temo que J 4E J 5E J L E D J E J E J L E E J 4E J J 5E J L J L E DJ J J L logo, a equaçõe de etado ficam: 4 5 L L L 4 i ji 5j! C A B Portanto obtemo uma terceira repreentação em equaçõe de etado para o memo itema, diferente da anteriore. Note que neta repreentação a matriz A etá na forma diagonal e o polo do itema, e ão o elemento da diagonal principal. Obviamente que io ocorre poi: e a matriz é diagonal, então o elemento da ua diagonal principal ão o próprio autovalore do itema. 8

29 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8.5 Simulação Analógica Seja qual for a natureza de um itema linear e invariante no tempo mecânica, elétrica, eletromecânica, térmica, hidráulica, ou um proceo químico, etc. ele pode er imulado em laboratório atravé de componente eletrónico. Deta forma é poível imular uma entrada qualquer para o itema, como um degrau por exemplo, e obervarmo qual eria a repota ou eja, a aída do itema para aquela entrada. A io chamamo de imulação analógica. Apreentamo abaixo o componente com que fazemo a imulação analógica. o INTEGRADOR: Ete elemento, como e pode imaginar, tranforma um inal na ua entrada em na ua aída, ou eja, integra. A imulação analógica de um itema de ordem n preciará de n integradore. o SOMADOR: Ete elemento, obviamente, oma o inai que entram num único inal de aída. ~ ~ o MULTIPLICADOR: Ete elemento, por ua vez, multiplica por k o inal que entra, devolvendo ' na ua aída. ' ' 9

30 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.9: Só para exemplificar vamo ver, na figura a eguir, como e ecreveria a equação Exemplo 8.: Vamo agora ilutrar, na figura a eguir, como e ecreveria a equação Exemplo 8.: Na figura a eguir ilutramo como e ecreveria a equação

31 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.: Vamo agora fazer a imulação analógica do itema de egunda ordem dado abaixo. Note que preciamo de integradore, um para cada uma da equaçõe diferenciai de ª ordem do itema de equaçõe de etado. Agora, e colocarmo uma caixa abrangendo a imulação feita, podemo obervar que neta caixa entra apena a entrada u input do itema e ai apena a aída y output do itema. O que fica dentro da caixa é uma repreentação interna do itema, atravé da variávei de etado e.

32 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.: Vamo agora fazer a imulação analógica do itema de terceira ordem dado abaixo, já analiado no exemplo 8.6. Note que é precio de integradore, um para cada uma da equaçõe diferenciai de ª ordem do itema de equaçõe de etado. 5 4 L4 L L L L Novamente, vamo colocar uma caixa abrangendo a imulação feita e vamo obervar que neta caixa entra apena a entrada u input do itema e ai apena a aída y output do itema. O que fica dentro da caixa é uma repreentação interna do itema, atravé da variávei de etado, e L L L

33 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.4: Vamo agora fazer a imulação analógica do memo itema de terceira ordem do exemplo anterior, ma com uma repreentação diferente em equaçõe de etado, dada abaixo, obtida no exemplo L L Obervando agora a caixa que abrange a imulação, vemo mai uma vez que neta caixa entra apena a entrada u e ai apena a aída y. O que fica dentro i.e., a repreentação interna do itema é diferente do exemplo anterior, apear de imular o memo itema do exemplo anterior. Io porque a variávei de etado, e L ão diferente e a equaçõe de etado também não ão a mema. 4 5 L L L

34 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8.6 Converão de Equaçõe de Etado para Função de Tranferência A repreentação de um itema em equaçõe de etado que vimo aqui [na eq. 8.], não é única. Na realidade, como já vimo na ecção 8., definindo-e a nova variável de etado como, para alguma matriz inverível P, então onde [eq. 8.4]: g h ff B g f f B h f é uma outra repreentação do memo itema em equaçõe de etado. Em particular, e A for diagonalizável e ecolhermo fr B onde M é a matriz mudança de bae r! /%*-"%* /*,/#* *$ * /%*/* c,,,,, então ficará na forma diagonal, com o eu autovalore c, c,,c, endo o elemento da diagonal principal. Por outro lado a repreentação de um itema pela ua função de tranferência é única. Por exemplo, a função de tranferência 4

35 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado D E no cao de uma entrada ut e uma aída yt é única a meno, claro, de uma multiplicação por uma contante no coeficiente do numerador e do denominador. Obervação: A funçõe de tranferência e D E 4 5 D E 5 ão a mema. Nitidamente ela diferem apena de uma multiplicação por uma contante em ambo o numerador e o denominador. Eta função de tranferência é a única dete itema que tem polo e,5 e um zero ~. Para converter a repreentação de um itema [que tem entrada ut e aída yt] u S y de equaçõe de etado, eq. 7.6 para função de tranferência a fórmula é dada por, D E D E ] B eq. 7.7 Ete reultado erá motrado a eguir para um cao mai geral. 5

36 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.5: Conidere o itema de egunda ordem abaixo dado pela ua equação de etado 8 <8 <! C A B Para e obter a função de tranferência, primeiramente achamo a matriz ], ] 8 < e a ua invera, ] B e portanto, como D nete cao, D E! C ] B B logo, a função de tranferência do itema é dada por: D E 6

37 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.6: Conidere o itema de egunda ordem abaixo dado pela ua equação de etado A B <8 <! Novamente, para e obter a função de tranferência, primeiramente achamo a matriz ], e a ua invera, C ] < 5 ] B logo, como D, a função de tranferência fica 5 D E! C ] B B e portanto, a função de tranferência do itema é dada por: D E 54 7

38 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.7: Conidere agora o itema de terceira ordem abaixo, já vito no exemplo 8.5, dado pela ua equação de etado i jij 8! Mai uma vez, começamo calculando a matriz ], e a ua invera ] i j ] B P O O O O O N S R R R R R Q onde, det] L o polinómio caracterítico do itema. Agora, como D, D E!] B ij 8 e portanto, a função de tranferência do itema é dada por: D E 8 L Conforme já tínhamo vito no exemplo 8.5. C B 8

39 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.8: O itema abaixo é o memo que vimo no exemplo 8.4, com a repreentação na forma de equaçõe de etado tal que a matriz A etá na forma diagonalizada l. q 8 / <q 4 /!q Calculando a matriz ] l, temo: l l o ] l cuja invera é e portanto, ] l B 4 D E l] B o! que é a função de tranferência do itema. / /

40 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Exemplo 8.9: O itema abaixo é o memo do exemplo anterior. Entretanto, tomemo a repreentação na forma de equaçõe de etado com a matriz A na forma companheira, conforme já vita no exemplo 8.: A B <8 <!! C D Agora, calculando a matriz ] l, temo: ] l cuja invera é e portanto, 5 ] l B D E l] B o! ! < 54 que, obviamente, é a mema função de tranferência do itema já encontrada no exemplo anterior. 4

41 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Múltipla entrada e múltipla aída No cao de itema com p entrada e q aída ƒ ƒ p entrada q aída S temo então uma Matriz de Tranferência ao invé de função de tranferência, de dimenão q x p dada por, P D S P D D D S OD R O E E E O R OD D O R O D R P E S R E E E E R O R O R O R O R O O R O R ND O D D Q D R NE R Q NE E E Q Y matriz de tranferência do itema U Nete cao a relação da equaçõe de etado e a matriz de tranferência é emelhante ao cao anterior. D] B! E eq. 7.8 que é a generalização do reultado da eq

42 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado Para verificarmo o reultado eq. 8.7 acima conidere a Tranformada de Laplace da equaçõe de etado da eq. 8.6 quando a condiçõe iniciai ão nula i.e., : W JJE DJE ou eja, e portanto, W ] JE DJE W J] B E DJE que é equivalente à eq Portanto um itema pode ter mai de uma repreentação na forma de equaçõe de etado, ma apena uma repreentação na forma de função de tranferência. A relaçõe da eq. 8.7, que repetimo aqui: e da eq. 8.8, que também repetimo aqui: D E ] B D] B EE memo que aplicada a repreentaçõe diferente do memo itema em equaçõe de etado, conduzem empre à mema função de tranferência do itema, poi ela é única. Exemplo 8.: O itema abaixo 4

43 J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado L ˆ L ˆ t A xt 8 <8 < L ˆ yt C xt Exemplo 8.: O itema abaixo,5,5 8 < t A xt 8 <8,5 <8 < yt C xt 4