1 Transformada de Laplace de u c (t)

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1 Tranformada de Laplace - Função de Heaviide Prof ETGalante Equaçõe diferenciai ob ação de funçõe decontínua aparecem com frequência na análie do uxo de corrente em circuito elétrico ou na vibraçõe de itema mecânico Portanto, preciamo tratar de maneira efetiva a funçõe com alto, em particular, preciamo de uma notação eciente para tai funçõe Io é coneguido com a introdução de uma função chamada função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviide, cuja denição egue abaixo Denição Para um valor contante de c e para t denimo a função degrau unitário ou função de Heaviide u c (t) da eguinte forma: {, t < c, u c (t) =, t c Figura : Eboço do gráco da função de Heviide u c(t) Figura : Eboço da função y(t) = u c(t) Tranformada de Laplace de u c (t) A tranformada de Laplace da função de Heaviide pode er calculada da eguinte forma: L{u c (t)} = e t u c (t)dt = c e t dt + c e t dt = c e t dt = e c, >

2 Exemplo (Checar exercício da pág 57 do Boyce) Expree a função abaixo em termo de u c (t): { t, t <, g(t) =, t Bom, devemo notar que para t a função e reume a f(t) = t Daí em diante, ito é, para t o termo t deve deaparecer e retar apena um termo Aplicando a denição de u c (t) para t = obtemo então a repota para ete exercício: f(t) = t u (t)[t ] Exemplo (Checar exercício 33 da pág 58 do Boyce) Expree uma onda quadrada em termo de u c (t) Figura 3: Eboço de uma onda quadrada Novamente, lembrando da denição de u c (t) vemo que a repota para o exercício é: f(t) = + ( ) n u n (t) Teorema de Delocamento (ou tranlação) n= Dada uma função f, denida para t, podemo coniderar o delocamento do gráco deta função para a direita Por exemplo, podemo imaginar uma outra função g que vale para t < c, ma cujo gráco a partir de t = c > é uma réplica do gráco de f a partir de t = Ou eja, groo modo, g é igual a f delocada de c unidade para a direita Tal função g nada mai é do que a tranlação de f por uma ditância c no entido do t poitivo A fórmula para eta função g é: {, t < c, g(t) = f(t c), t c Fazendo uo da denição da função de Heaviide, podemo reecrever g(t) de modo mai ucinto: g(t) = u c (t)f(t c)

3 Teorema (Teorema do delocamento da função) Seja L{f(t)} = F () a tranformada de Laplace da função f(t) para > a Seja c > uma contante Então: L{u c (t)f(t c)} = e c F (), > a Por outro lado, lembrando que L{f(t)} = F () f(t) = L {F ()}, vem que: Demontração L{u c (t)f(t c)} = u c (t)f(t c) = L {e c F ()} e t u c (t)f(t c)dt = c e t f(t c)dt Fazendo a mudança de variável v = t c na última integral acima, vem que: t = v + c; dv = dt; { para t = c, então v =, para t, então v Daí, temo: L{u c (t)f(t c)} = e (v+c) f(v)dv = e c e v f(v)dv = e c F () Exemplo (Checar exercício 5 da pág 57 do Boyce) Encontre a tranformada de Laplace da função abaixo:, t < π, g(t) = t π, π t π,, t π A primeira coia que devemo fazer é reecrever a função g(t) acima numa única linha, utilizando para io a funçõe de Heaviide: g(t) = u π (t) (t π) u π (t) (t π) Devmo agora aplicar a tranformada de Laplace em ambo o lado da equação acima, porém note que há um problema: apear de o primeiro termo etar OK, o egundo termo, que é u π (t) (t π), tem um π em u c (t) e um π em t π, o que impoibilita a aplicação direta do teorema Portanto, devemo ajutar o egundo termo ante de aplicar o teorema acima Para tanto reecrevemo g(t): g(t) = u π (t) (t π) u π (t) (t π + π) = u π (t) (t π) u π (t) (t π) π u π (t) 3

4 Agora im a função g etá pronta para que apliquemo a tranformada de Laplace: L{g(t)} = L{u π (t) (t π) u π (t) (t π) π u π (t)} = L{u π (t) (t π)} L{u π (t) (t π)} L{π u π (t)} ( ) ( ) = e π e π π L{u π (t)} = e π e π πe π = e π e π πe π = e π e π ( + π) Para chegarmo neta repota utilizamo o teorema, a linearidade da tranformada de Laplace e a fórmula para a tranformada da função de Heaviide Já temo uma fórmula para a tranformada de Laplace de uma função f(t) delocada (ou tranladada) no entido do t poitivo Ela no diz que um delocamento f(t c) correponde a uma multiplicação por exponencial e c na tranformada F () No teorema a eguir veremo que, analogamente, uma tranlação F ( c) na tranformada correponderá a uma multiplicação por exponencial e ct na função f(t) Teorema (Teorema do delocamento da tranformada) Seja L{f(t)} = F () a tranformada de Laplace da função f(t) para > a Seja c > uma contante Então: L{e ct f(t)} = F ( c), > a + c Por outro lado, lembrando que L{f(t)} = F () f(t) = L {F ()}, vem que: Demontração L{e ct f(t)} = e ct f(t) = L {F ( c)} e t e ct f(t)dt = e ( c)t f(t)dt = F ( c) Para que a última igualdade na linha acima eja verdadeira é neceário que > a+c Para compreender io preciamo voltar um pouquinho ao item do teorema (Exitência da tranformada de Laplace), que foi etudado na Nota de Aula Aula Lá é exigido que f(t) Ce at, o que leva então à condição > a Porém, no cao epecíco da integral acima eta condição e torna e ct f(t) Ce ct e at = Ce (a+c)t > a + c Aim motramo o por quê da condição > a + c, provando o teorema 4

5 Exemplo (Checar exemplo da pág 6/6 do Boyce) Calcule { } e L 5 e ( + 4) Vamo primeiro uar o método da fraçõe parciai para calcular a tranformada invera de H() = / ( + 4) Depoi conideraremo a exponenciai no numerador e aplicaremo o teorema H() = ( + 4) = A + B + C + D ( + 4) = A( + 4) + B( + 4) + (C + D) ( + 4) A( + 4) + B( + 4) + (C + D) = (A + C) 3 + (B + D) + (4A) + 4B = A + C =, B + D =, 4A =, 4B = A =, B = /4, C =, D = /4 No deenvolvimento por fraçõe parciai feito acima uamo a ideia de que é um termo da forma ( ) Subtitindo o valore encontrado de A, B, C e D na expreão de H(), temo: H() = /4 /4 ( + 4) = ( ) ( ) Dea forma a tranformada invera h(t) de H() é: h(t) = 4 t 8 en(t) Porém, voltando ao enunciado inicial do exercício, vemo que H() etá multiplicada por e 5 e Portanto: { } e L 5 e ( + 4) = L { (e 5 e )H() } = L { e 5 H() e H() } = L {e 5 H()} L {e H()} = u 5 (t)h(t 5) u (t)h(t ), onde uamo o teorema e chegamo à repota nal do exercício 5

6 3 EDO' com funçõe de Heaviide Exemplo (Checar item (b) exercício 6 da pág do Boyce) Conidere um determinado itema maa-mola que atifaz ao eguinte PVI: y + 4 y + y = κg(t), y() =, y () =, onde g(t) = u 3/ (t) u 5/ (t) e κ > é um parâmetro Subtituindo o g(t) da EDO pela expreão acima e, em eguida, aplicando a tranformada de Laplace a ambo o lado da equação, temo: L{y + 4 y + y} = L{κ[u 3/ (t) u 5/ (t)]} L{y } + 4 L{y } + L{y} = κl{u 3/ (t)} κl{u 5/ (t)} F () y() y () + 4 (F () y()) + F () = κe 3 [ F () + 4 F () + F () = κ e 3 e 5 ] 5 e κ ( + 4 ) 3 + e e 5 F () = κ 3 e e 5 F () = κ ( + + ) 4 Podemo reecrever eta última expreão como: F () = κ(e 3 e 5 )H(), onde H() = ( ) Agora, como no exemplo anterior, reolvemo primeiro a tranformada invera de H(): H() = = A( + + ) + (B + C) 4 ( + + ) 4 (A + B) + ( 4 A + C ( + + ) = A + B + c = (A + B) + ( 4 A + C) + A ( ) ) + A = A + B =, 4 A + C =, A = A =, B =, C = /4 Subtitindo o valore encontrado de A, B e C na expreão de H(), temo: H() = ( + + ) = /

7 = + /4 ( + 8 ) + = + /8 ( + 8 ) + = + /8 ( + 8 ) + Dea forma a tranformada invera h(t) de H() é: ( ) h(t) = e t/8 co 8 t /8 ( + 8 ) + e t/8 en Porém, como H() etá multiplicada por (e 3 e 5 ): { } = L (e 3 e 5 )H() = L { e 3 H() e 5 H() } = L {e 3 H()} L {e 5 ) = u 3 (t)h ( t 3 Portanto, a repota nal do exercício é: [ ( y(t) = κ u 3 (t)h t 3 ) Dua obervaçõe nai obre ete exercício: u 5 (t)h H()} ( t 5 ) /8 ( + 8 ) + ( ) 8 t ( u 5 (t)h t 5 )] OBS: A minha repota etá correta, ma e alguém for compará-la com a do livro (gabarito), perceberá que etá ecrita de uma forma um pouco diferente No gabarito do Boyce, além da ecrita como 3 7, você encontrará a função h(t) dividida por 4 e a repota nal y(t) (no livro é u(t)) multiplicada por 4 Quanto ao fato de termo a h(t) do livro diferente da minha, vale notar que aqui na minha reolução é dito explicitamente que h(t) é a L {H()}, ma no livro não é dito nada Portanto, ele tem a liberdade de ecrever uma função h(t) diferente da minha Quanto ao fato de a repota nal dele etar multiplicada por 4, io compena o fato de que a h(t) dele etá dividida por 4 Portanto é bem fácil vericar que a dua repota (a minha e a do livro) ão na verdade a mema repota Ma por quê anal o livro faz dea forma? Eu acredito que eja pra facilitar a conta no outro iten e também para o cao de o aluno querer ubtituir y(t) (no cao é u(t)) na equação diferencial para vericar que a função é memo olução do PVI OBS: Note como é mai intereante deixar a repota nal em termo da função h(t) Se você obervar a expreão obtida para h(t), a aber ( ) ( ) h(t) = e t/8 co 8 t e t/8 en 8 t, notará o quão longa e confua caria a repota nal y(t) ó em função de t 7