2. Modelos Entrada/saída e Modelos de Estado
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- Giuliana Leal Azevedo
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1 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado. Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Objectivo: No final dete módulo, o aluno deverão er capaze de reconhecer a dua grande clae de modelo entrada/aída e etado e converter um no outro. Bibliografia: Ljung e Glad, Cap. 3 Egeland e Gravdahl, Cap. Sugere-e também para modelo dicreto e aplicaçõe à computação: J. Hellertein, Y. Diao, S. Pareh and D. Tilbury 4. Feedbac control of computing ytem. Wiley Intercience.
2 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Sitema, inai e diagrama de bloco Fiicamente, um itema é um conjunto de elemento que interagem entre i e com o meio eterior. Um inal é uma função do tempo. Matematicamente, o itema ão decrito como operadore que tranformam o inai impoto pelo mundo eterior ao itema noutro inai impoto pelo itema ao mundo eterior. Ito dito aim é horroroamente abtracto pelo que vamo ver doi eemplo.
3 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 Eemplo: Um divior de tenão u Sitema R y Sinal de entrada R Sinal de aída Repreentação em termo de itema: u Multiplica por,5 y
4 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 O divior de tenão tranforma o inal de tenão à entrada u no inal de tenão à aída, y. Eta tranformação correponde à operação matemática de multiplicar a entrada por : y u Para calcular a aída no intante genérico t apena preciamo da entrada no memo intante. O itema diz-e etático.
5 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 Eemplo de um itema: Circuito RC u R y C Repreentação em termo de itema: u Equação do circuito RC y dy RC y dt u y y Nete cao o itema é dinâmico: A aída em t depende do paado.
6 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 Eemplo com múltiplo bloco: Tanque u u Conervação da maa h h a q q Lei de Bernoulli A Conervação da maa: dh A dt u q a Lei de Bernoulli: q a gh
7 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 7 Entrada: Caudal de entrada u ; Área da abertura de aída a Saída: Nível h, caudal de aída q Podemo coniderar o tanque como um itema em que a entrada que podemo manipular é u, há uma entrada de perturbação a impota por outro itema e a aída é o nível h. Ma ito não é neceariamente empre aim: Se uma entrada é manipulada ou uma perturbação, e qual o inal de aída depende do objectivo do itema.
8 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 8 Eemplo: Controlo do nível do barrilete num grupo termoeléctrico w u Vapor para a turbina Vapor Turbina Vapor c/ água liq. Vapor para o condenador h Válvula de água de alimentação Água liq. Painéi de água na parede da fornalha Chama
9 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 9 Bloco do nível do barrilete W Comando da válvula de vapor u Comando da válvula de água de alim. Barrilete h Nível do barrilete Entrada manipulada: Comando da válvula de água de alimentação; Entrada de perturbação: Comando da válvula de vapor Saída: Nível do barrilete Quando e conidera o vapor produzido, o comando da válvula de vapor é uma variável manipulada.
10 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Diagrama de bloco do Grupo Gerador de Vapor implificado Caudal fuel Queima P vap Q vap Turbina Potência activa w Válvula de vapor u Válvula de água de alimentação Q gal Din. nível barrilete h
11 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Como ecrever itemáticamente a equaçõe que traduzem a operaçõe efectuada pelo bloco no inai? Tempo contínuo: Equação diferencial de ordem n Modelo de etado itema de eq. Diferenciai de ª ordem Tempo dicreto: Equação de diferença de ordem n Modelo de etado itema de eq de diferença de ª ordem
12 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Eemplo em tempo contínuo: Maa ocilante Como reage a mola à força eterna u? mola A mola atinge um ponto de equilíbrio devido ao peo. y m b u atrito Definir um referencial a partir dete ponto. Seja y a coordenada medida nete entido. Pela lei de Newton: O produto da maa pela aceleração é igual à oma da força que acuam no entido poitivo de y, d y dy m y b u dt dt
13 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 d y dy m y b u dt dt Diagrama de bloco:. y y... u y y m y b m m
14 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 Uma outra poibilidade: Modelo de etado Em vez de uma equação de egundo grau, dua equaçõe de º grau. A incógnita ão a variávei de etado. Variávei de etado no eemplo da maa ocilatória: Poição: : y velocidade: : y& A equação d y dy m y b u dt dt é equivalente a: d dt d dt m b m u
15 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 u m b m dt d dt d Nete cao, o modelo é linear e pode er ecrito matricialmente u m b m & & [ ] y
16 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 u m b m & & [ ] y Definindo o vector de etado e a matrize : m b m A : : B [ ] : C O modelo de etado ecreve-e na forma tandard para o cao linear: Equação da dinâmica do etado: Bu A & Condição inicial: Equação de aída: C y
17 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 7 Cao geral: Equação diferencial Relaciona a entrada e a aída atravé de uma única equação diferencial de ordem n : n n m m,, K,,,, K, g y t y em que g.,.,...,. é uma função, n > m e t y t u t u t u t y : d dt y Condiçõe iniciai: y y, y y,..., y n y n
18 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 8 Equação diferencial linear com coeficiente contante y n a y n K a n y b u m b u m K b m u Condiçõe iniciai: y y, y y,..., y n y n Função de tranferência A função de tranferência é o quociente da tranformada de Laplace da aída e da entrada, com condiçõe iniciai nula H b b m m n n a K b K a n m
19 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 9 Cao geral: Modelo de etado Modelo da dinâmica:,,,,,,,,,,,,,,,,,, m n n n m n m n u u f dt d u u f dt d u u f dt d K K M K K K K Modelo do enore:,,,,,, n n n n h y h y K M K
20 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado O modelo de etado ecreve-e normalmente na forma vectorial como: Modelo da dinâmica: d dt f, u Condiçõe iniciai: Modelo da obervaçõe enore: y h Vector de variávei de etado dimn u Vector de variávei manipulada dimum y Vector de aída obervaçõe dimyp
21 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Modelo de etado de itema lineare Equação de etado eq. diferencial, relaciona a entrada u com o etado : Condição inicial no etado & A Bu Equação de aída eq. algébrica, relaciona o etado com a aída y : Dimenõe: y C Du n m p R, u R, y R A [ n n] B[ n m] C[ p n] D[ p m] Normalmente iremo coniderar D itema com mai pólo que zero.
22 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado Diagrama de bloco do modelo de etado u B. C y A & A Bu y C Du
23 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 Converão entre o modelo de etado de itema lineare e a função de tranferência
24 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 Obtenção da função de tranferência a partir do modelo de etado & A bu y C Tome-e a tranformada de Laplace com condiçõe iniciai nula: X AX bu X TL U TL u Y CX Daqui vem I A X bu X I A bu ou eja Y C I A b U
25 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 Y C I A b U A função de tranferência vem poi dada por G C I A b Dado que I A adj I det I A A a função de tranferência ecreve-e G C adj I A b det I A
26 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 Nota obre Álgebra Linear Adjunta de uma matriz A adjunta de uma matriz m M é dada por ij adj M [ ] T M ij em que M ij é o co-factor do elemento m ij, ou eja, é dada pelo determinante da matriz que e obtém eliminando a linha i e a coluna j, multiplicado por i j. Eemplo: a adj c b d d c b a
27 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 7 Adjunta de uma matriz Eemplo M T M adj Para verificar o reultado, oberve-e que det I M M adj M Referência: G. Strang, Linear Algebra and it Application, ª ed., p 7.
28 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 8 Pólo e zero G C adj I A b det I A O pólo ão a raíze do polinómio caracterítico da matriz A, dado por O zero ão a raíze do polinómio det I A C adj I A b A raíze do polinómio caracterítico de uma matriz podem obter-e facilmente no MATLAB com o comando eig.
29 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 9 Função de tranferência a partir do modelo de etado Eemplo 6 5 A b [ ] C A I A I [ ] G
30 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 Obtenção da equação diferencial a partir do modelo de etado Eemplo Em certo cao imple, podemo calcular a função de tranferência em neceitar de recorrer à fórmula geral. Calcule a função de tranferência que relaciona a entrada u com a aída y, dado o modelo de etado: d dt d dt m b m u
31 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 Tomando Tranformada de Laplace com condiçõe iniciai nula: X X X b X m m X U Multiplicando a primeira equação por e ubtituindo X pelo valor dado pela egunda equação: b X X X U m m Uando a primeira equação para eliminar X, eprimindo-o em termo de X : b X X X U m m Donde: X U b m m
32 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 3 Obtenção do modelo de etado Sitema em zero Dada a função de tranferência apena com pólo: G 3 b a a a Pretende-e obter um modelo de etado que a repreente. Repare-e que ete modelo de etado não é único. Vamo começar por introduzir um tipo de variávei de etado denominada variávei de fae, em que o vector de etado é dado pela aída e pela ua n primeira derivada. Nete eemplo, n 3. 3
33 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 33 Obtenção da equação diferencial: 3 3 a a a b G 3 3 b U a Y Y a Y a Y Daqui vem a equação diferencial: 3 t b u t y a t y a t y a t y & && && &
34 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 34 & y && a && y a y& a3 y bu Variávei de etado aída e derivada até à ordem n : A equação diferencial ecreve-e 3 y y& && y & 3 a3 a a3 bu & &
35 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 35 O modelo de etado fica: & 3 & t u b a a a & ou, em termo matriciai: u b a a a 3 & [ ] y
36 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 36 A matriz da dinâmica a 3 a a tem uma etrutura com propriedade uficientemente importante para merecer um nome. Diz-e na forma companheira. Conite numa identidade de ordem n no canto uperior direito, tendo ao lado uma coluna de zero e em baio uma linha com o coeficiente do polinómio caracterítico da matriz denominador da função de tranferência.
37 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 37 Sitema com zero G 3 b a b a a Se aplicarmo a técnica anterior, urge uma derivada da entrada, o que caua uma dificuldade. Uma poibilidade há mai! é partir o itema no zero e no pólo, tomando como variávei de etado a aída do bloco do pólo e a ua dua primeira derivada. 3
38 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 38 Tem-e o diagrama de bloco: 3 a a a 3 X U b b Y A equação da dinâmica mantem-e. A equação de aída é alterada, paando a er: y b & b b b [ b b ] y
39 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 39 Não unicidade do modelo de etado Repare-e que o modelo de etado correpondente a uma função de tranferência ou, equivalentemente, a uma equação diferencial linear não é único. De facto há um número infinito de modelo de etado que correpondem à mema função de tranferência ou equação diferencial linear.
40 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 Tranformação de coordenada no modelo de etado Conidere o modelo de etado com equaçõe & A bu y C É feita uma tranformação de coordenada z T em que T é uma matriz quadrada invertível. Qual o modelo de etado verificado pelo vector z? Sugetão: Derive z T
41 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 z T Derivando: z & T& Uando o modelo de etado de : Uando a tranformação invera z & T A bu z & TAT z Tbu y C CT
42 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 4 Tranformação de coordenada no modelo de etado Dado o modelo de etado com equaçõe & A bu y C é feita uma tranformação de coordenada z T em que T é uma matriz quadrada invertível. Na nova coordenada a equaçõe de etado ão z& Εz Γu y H E TAT Γ Tb H CT
43 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 43 Simulação da equação diferencial e do modelo de etado Eemplo Conidere o itema linear decrito pela função de tranferência: Y U ωn ξω n ω n ξ, ω n parâmetro a Obtenha a equação diferencial equivalente. Deenhe um diagrama de bloco com integradore que permita a imulação da equação diferencial. Sugetão: Eprima & y& como função de y& e de y e depoi integre dua veze. Suponha que y etá diponível à aída de um integrador e deenhe o diagrama a partir daí. b Obtenha o modelo de etado equivalente, uando variávei de fae. Deenhe o diagrama de bloco do modelo de etado.
44 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 44 Realização com bae na equação diferencial Y ξω Y ω Y ω U & y ξω y& ω y ω u n y n n ω y ω u [ ] ξω y dt n n n dt n n n Cloc t To Worpace Sitema de ª ordem em zero Signal Generator b Gain Integrator Integrator y To Worpace u To Worpace a Gain3 a a ξω n ; a ω n
45 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 45 Simulação de itema com zero - Eemplo Conidere o itema linear decrito pela função de tranferência: b a aobtenha a equação diferencial equivalente. Y U b Deenhe um diagrama de bloco com integradore que permita a imulação da equação diferencial. Pene um pouco! c Obtenha o modelo de etado equivalente, uando variávei de fae. d Deenhe o diagrama de bloco do modelo de etado. a
46 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 46 Y U Realização com bae na equação diferencial b a a Y a Y a Y U bu y & a y& a y u& bu & Integrando uma vez: Intergando novamente: & y a y& u& a y bu y y& a y bu a y u dt [ a y u a y bu dt ] dt
47 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 47 Realização com a equação diferencial: y [ a y u a y bu dt ] dt Cloc t To Worpace Sitema de ª ordem com zero Signal Generator b Gain u To Worpace Integrator a Integrator y To Worpace Gain3 a
48 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 48 Sitema em tempo dicreto No itema em tempo dicreto, o tempo é modelado como um número inteiro que toma uceivamente o valore,,,... O itema dinâmico ão modelado por equaçõe de diferença. Também aqui podemo ter equaçõe de diferença de ordem n ou por itema de n equaçõe de ordem n modelo de etado.
49 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 49 Decrição de SLIT por equaçõe de diferença Equação de diferença ecrita com a amotra avançada: y n ay n K an y bu m b u m K b u Equação de diferença ecrita com a amotra atraada: y ay K a n y n bu n m b u n m K b u n Paa-e de uma para outra atraando ou adiantando o tempo n pao. m m
50 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 Função de tranferência dicreta u SLIT y Aume-e o itema modelado pela equação de diferença y n ay n K ay bu m bu m bu n m Tome-e tranformada Z com condiçõe iniciai nula para obter a função de tranferência: Gz Yz U z m m bz bz K b n n n z a z a z K a m n
51 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 Eemplo: Sitema dicreto de ª ordem y.5y.5u y Repota do itema a uma entrada definida por u e e < u y
52 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 5 Eemplo: Modelo de Sitema Amotrado Relógio uh D/A u G Sitema y A/D yh Qual a função de tranferência dicreta vita pelo computador?
53 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 53 Recorde-e que, para determinar a função de tranferência, devemo: Aplicar um inal à entrada do itema, com condiçõe iniciai nula Obervar a aída Determinar a tranformada Z da entrada e da aída correpondente Calcular a função de tranferência como o quociente entre a tranformada Z da aída e a tranformada Z da entrada Que inal de tete é mai conveniente aplicar?
54 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 54 Se aplicarmo um ecalão dicreto à entrada, à entrada do itema contínuo aparecerá também um ecalão, o que facilita a conta Relógio uh D/A u G Sitema y A/D yh yh TL G yt TL G t h
55 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 55 Função de Tranferência Dicreta Sendo uh um ecalão dicreto, a ua tranformada Z é: Portanto: Zuh [ ] z Z[ y h] Gd z z Z TL G t h Zuh [ ]
56 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 56 Concluão. Modelo dicreto de um itema contínuo amotrado Relógio uh D/A u G Sitema y A/D yh Do ponto de vita do computador, i.e. entre a entrada e a aída dicreta, ete itema é equivalente a um SLIT dicreto com função de tranferência G z z Z TL G d t h
57 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 57 Tabela Auiliare TZ de inai amotrado Equivalente ZOH Notar que o equivalente ZOH de FT própria mai pólo que zero têm empre atrao d.
58 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 58 Modelo de itema amotrado Eemplo Qual a função de tranferência dicreta caual que e obtém quando e amotra o itema contínuo com função de tranferência Solução: a G a? Gd z z ZTL a a Decompondo em fracçõe imple a a a t h
59 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 59 TL invera do primeiro termo: f t, t TL invera do egundo termo: at f t e a t Amotrando no intante h: ah f h e Cuja TZ é: F z e ah z
60 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 Finalmente, a função de tranferência dicreta vem dada por: Gd z z ah z e z G d z ah e z e ah z A região de convergência deve er ecolhida por forma a que o itema eja caual.
61 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 A partir da função de tranferência, interpretando podemo obter a equação de diferença: z como o operador atrao, ah e z y ah e z u ah ah y e y e u Ecrito de outra maneira: y α y β u α ah e β e ah
62 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 6 Eemplo: Modelo de uma população A população aume-e dividida em etrato etário, cada um correpondente a um intervalo de tempo dicreto. Aume-e: i é o número de indivíduo no etrato i no tempo Índice do etrato: Tempo dicreto: i,,, K, n,,, K Ete modelo é conhecido em língua Inglea como Cohort population model.
63 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 63 Se não houver morto, todo o elemento da geração i no ano etarão na geração i no ano : i i i,,, K, n
64 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 64 Se eitirem morto à medida que o tempo paa, ó uma parte da geração i no ano etará na geração i no ano : i β i i β i i,,, K, n O membro da população no etrato reultam da reprodução do elemento do divero etrato: α α K α n n
65 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 65 i i β i i β,,,, n i K n α n α α K Na forma matricial: n n n n M M L O L L L M β β β α α α α A
66 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 66 8 Captura Ano Idade [ano] 7 Captura de arenque no Mar do Norte entre 9 e 94 Hjort, 96. O deenvolvimento de modelo de populaçõe é muito importante para a getão do toc de peie, optimizando a peca.
67 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 67 Eemplo: Modelo de Etado do ervidor Apache J. Hellertein, X. Diao, S. Pareh, D. Tilbury 4. Feedbac Control of Computing Sytem. Wiley Intercience. pp Entrada: MaClient MC, KeepAlive KA Saída: CPU, MEM u med KA KA KA u med MC MC MC 6 y med CPU CPU CPU.58 y med MEM MEM MEM.55
68 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 68 Modelo de etado multivariável do ervidor Apache u u y y
69 Modelação e Simulação.Modelo Entrada/aída e Modelo de Etado 69 Concluão: Modelo de etado de itema lineare A Bu y C Du Modelo de etado de itema não lineare, u f y h Em ambo o cao, a equação de aída modela o enore.
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