NOTAS DE AULA ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA RETAS E PLANOS ERON E ISABEL

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1 NOTAS DE AULA ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA RETAS E PLANOS ERON E ISABEL SALVADOR BA 7

2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA EQUAÇÕES DA RETA DEF: Qualque eto não nulo paalelo a uma eta chama-e eto dieto dea eta. Sejam um eto dieto de uma eta e A um ponto de. A X AX t, t R X A + t, t R Exemplo: a) Uma equação etoial da eta que paa pelo ponto A(-5,, 3) e B(4,-7,-6) é: X A + t AB (x, y, z) (-5,, 3) + t (9,-9, -9), t R ou ainda, (x, y, z) (-5,, 3) + t (,-, -), t R b) A equaçõe etoiai do eixo coodenado ão X O + t i, eixo da abcia X O + t j, eixo da odenada X O + t k, eixo da cota INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA EQUAÇÃO VETORIAL Podemo intepeta a equação X A + t como o moimento decito po um ponto obe a eta, com elocidade contante (etoial) igual a, t indicando o tempo e A a poição no intante inicial t. Valoe negatio de t indicam o paado do moimento, em elação ao intante inicial. A cada alo de t temo uma poição bem deteminada do ponto móel e fazendo t pecoe todo o conjunto R, a eta é pecoida integalmente pelo ponto ( epeenta a tajetóia do moimento). Como há muito moimento etilíneo unifome com a mema tajetóia, fica fácil entende po que exitem muita equaçõe etoiai paa a mema eta. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

3 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja ( ) 3,,, O e e e um itema de coodenada cateiana no epaço. Conideemo em elação a ete itema: X(x, y, z) um ponto genéico, A(x, y, z ) um ponto dado e (a, b, c) um eto dieto da eta. Eceendo a equação etoial da eta em coodenada, obtemo (x, y, z) (x, y, z ) + t (a, b, c) ou eja, R t ct z z bt y y at x x + + +, que é o itema de equaçõe paamética da eta. Exemplo: A equaçõe paamética do eixo coodenado y ão R t z t y x t z t y t x + + +,

4 EQUAÇÕES DA RETA NA FORMA SIMÉTRICA Se nenhuma da coodenada do eto dieto é nula, podemo iola t no pimeio membo de cada uma da equaçõe paamética da eta e obte x x y y z z a b c Execício: ) Seja a eta deteminada pelo ponto A(,,) e B(3,-,3). a) Obtenha equaçõe de na foma etoial, paamética e imética. b) Veifique e o ponto P(-9,,-9) petence à eta. c) Obtenha doi etoe dietoe de e doi ponto de, ditinto de A e B. x y ) Mote que a equaçõe z + deceem uma eta, eceendo-a de modo 3 que poam e econhecida como equaçõe na foma imética. Exiba um ponto e um eto dieto da eta. 3) Ecea na foma imética a equação de uma eta no plano yz. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 3

5 PLANOS POSTULADOS: Po uma eta pode-e taça uma infinidade de plano. Po tê ponto não alinhado paa um único plano. A eta que paa po doi ponto ditinto de um plano etá contida nee plano. Toda eta petencente a um plano diide-o em dua egiõe chamada emi-plano. DETERMINAÇÃO: Po uma eta e um ponto não petencente à eta, paa um único plano. Po dua eta paalela (não coincidente) paa um único plano. Po dua eta concoente paa um único plano. Po tê ponto não alinhado paa um único plano. EQUAÇÕES DO PLANO DEF: Se u e ão LI e paalelo a um plano, u e ão dito etoe dietoe de. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO Sejam u e etoe dietoe de um plano, A um ponto fixo de e X um ponto genéico de. É clao que u, e AX ão LD, poi ão coplanae. Como u e ão LI, temo AX X A λ u + µ, ou eja, X A + λ u + µ, λ, µ R u u A X Exemplo: Dada uma eta : X A + λ e um ponto : X A + λ + µ AP, λ, µ R. P, podemo detemina o plano ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 4

6 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Seja ( O,, e e ) e um itema de coodenada cateiana no epaço., 3 Conideemo em elação a ete itema: X (x, y, z) um ponto genéico, A (x, y, z ) um ponto dado, u ( a, b, c ) e ( a, b, c ) etoe dietoe de um plano. Eceendo a equação etoial do plano em coodenada, obtemo (x, y, z) (x, y, z ) + λ (a, b, c ) + µ a, b, ) ( c ou eja, x + λa + µ a y y + λb + µ b z + λc + µ c, λ, µ R que é o itema de equaçõe paamética do plano. Execício: Seja o plano que contém o ponto A(3, 7, ) e é paalelo a u (,, ) e (,, ) a) Obtenha dua equaçõe etoiai de. b) Ecea equaçõe paamética de. c) Veifique e o ponto (,, ) petence a. d) Veifique e o eto (,,5) w é paalelo a.. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Conideando que u, e AX ão LD, temo que x x y y z z a a b b c c, ito é, b c c a a b x. ( x ) + ( y y ) + ( z z ) b c c a a b Sejam como: b c c a a b c c a, b e c e a equação acima podeá e eecita a ax a a ( x x ) + b ( y y ) + c ( z z ) + by + cz ( ax + by + cz ) b b ( ax + by ) ax + by + cz + d, onde d + cz ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 5

7 Execício: ) Obtenha a equação geal do plano em cada cao. a) contém o ponto A(9,-,) e é paalelo ao etoe u (,, ) e (,, ) b) contém o ponto A(,,), B(-,,) e C(,,). + λ 3µ c) tem equaçõe paamética y + λ + µ. λ µ ) Obtenha equaçõe paamética do plano : x + y z.. INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS COORDENADOS Seja α: ax + by + cz + d. O plano α intecepta: o eixo da abcia no ponto A(x,,), deteminado ao e ubtitui y z na equação do plano; o eixo da odenada no ponto B(,y,), deteminado fazendo x z ; o eixo da cota no ponto C(,,z), deteminado ao e ubtitui x y. Exemplo: Detemine o ponto de inteeção do plano α: 4 x + 3y z com o eixo coodenado. Faça o cálculo e obee abaixo a plotagem no itema cateiano. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

8 VETOR NORMAL A UM PLANO Se o plano é dado na foma etoial X A + λ u + µ, λ, µ R, o eto nomal é dado po w u. Se o plano é dado na foma geal ax + by + cz + d, o eto (a, b, c) é chamado eto coeficiente do plano. Se eta coodenada etão em elação a um itema otogonal, (a, b, c) é um eto nomal ao plano. w u A X CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO A nulidade de um ou mai coeficiente na equação geal do plano faá com que ete ocupe um poicionamento paticula em elação ao eixo coodenado. Na equação ax + by + cz + d, e: º cao: d ax + by + cz, com a b c o plano contém a oigem. º cao: a) a by + cz + d, com b c d o plano é paalelo ao eixo da abcia. b) b ax + cz + d, com a c d o plano é paalelo ao eixo da odenada. c) c ax + by + d, com a b d o plano é paalelo ao eixo da cota. 3º cao: a) a d by + cz, com b c o plano conteá o eixo da abcia. b) b d ax + cz, com a c o plano conteá o eixo da odenada. c) c d ax + by, com a b o plano conteá o eixo da cota. Plano paalelo ao eixo x Plano que contem o eixo x ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

9 4º cao: a) a b cz + d, com c d o plano é paalelo ao plano xy. b) a c by + d, com b d o plano é paalelo ao plano xz. c) b c ax + d, com a d o plano é paalelo ao plano yz. Exemplo: Indique o poicionamento de cada plano em elação ao itema cateiano. a) 3x + y 4z plano que paa pela oigem. b) x + 3z 3 plano paalelo ao eixo y. c) 4x + 3y plano que contem o eixo z. d) x 3 plano paalelo ao plano yz. OBS: No R² a equação x + 3y 6 epeenta uma eta. Entetanto, no R³ tal equação epeenta um plano paalelo ao eixo z. Obee a figua. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8

10 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS NO ESPAÇO R 3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS Sejam e eta no R³. Ela podem e: Coplanae { P} concoente cao paticula : Φ paalela ( // ) Φ Reea: cao paticula : não exite nenhum plano que contenha a dua eta CONDIÇÃO PARA RETAS COPLANARES: Sejam : X A + t e : X B + t, t, t R, dua eta no R³. e ão coplanae [,, AB] Nete cao, ainda podemo te: concoente paalela ( P) ( // ) e e ão LD ão LI Se [,, AB], temo e eta eea. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9

11 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE: e ão otogonai Se além dea condição e têm um ponto comum ela ão chamada pependiculae. x y z 5 x + 5 z 6 Execício: Veifique e a eta : e : y + 3 ão coplanae. Ela ão concoente? Em cao afimatio, detemine o ponto de inteeção. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UM PLANO Sejam uma eta e um plano. Temo: Φ //,ou eja, P não é paalela a { } Sejam : X A + t e : ax + by + cz + d, onde w ( a, b, c) // w Se além dio P (ponto de ) também petence a, temo w { P} e w ão LD é o eto nomal de.. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

12 Execício: Veifique e : X (,3,) + λ(,,4) e : X ( 4, 6,) + λ(,,3) + µ (3,3,) e inteceptam. Em cao afimatio, obtenha a inteecção. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS Sejam e doi plano. Ele podem e: // Φ Sejam a x + b y + c z + d e a x + b y + c z + d a equaçõe geai do doi : : O, e, e, e3. plano em elação ao itema de coodenada ( ) a ta // w e w ão LD, ou eja, w tw, t R b tb c tc Se além dio, P ( x, y, z ),, temo: d ( ax + b y + cz ) d ax + b y + cz ou eja, d ( tax + tb y + tcz ) d ax + b y + c então, d t d a ta b tb, t R. c tc d td e ( ) e ( ) z ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

13 Se w e w ão LI, temo. ax + b y + cz + d O itema de equaçõe : define eta eta e é chamado equação da ax + b y + cz + d eta na foma plana, ou ainda, foma geal da eta. Notemo que w w w w Ex: Detemine a inteecção do plano e. Quando e tata de uma eta, decea-a po equaçõe paamética. a) : x + y + 3z e : x y + z b) : x + y + z e : x + y + z c) : x + y + z e :3x + 3y + 3z 3 ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS ÂNGULOS Sejam e dua eta, um eto dieto de e um eto dieto de. O ângulo (ou medida angula) ente a eta e é a medida angula ente o etoe e, e eta petence ao intealo, (em adiano), e é a medida angula ente o etoe e, e eta petence ao intealo,. Paa θ (, ), temo coθ Ex: Calcule o ângulo ente a eta : (,,9 ) + t(,, ) X e : x y + 3 z 4. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

14 ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO Sejam uma eta e um plano. O ângulo fomado ente e é o complemento do ângulo ente a eta e, endo uma eta qualque pependicula a. w θ ϕ, onde coϕ w w ϕ θ θ acen w w Ex: Obtenha o ângulo em adiano ente a eta : X (,, ) + t(,, ) : y + z. e o plano ÂNGULO ENTRE PLANOS O ângulo ente o plano e é o ângulo fomado pela ua epectia eta nomai. coθ w w w w Ex: Detemine o ângulo ente o plano x y z + e : 3x y +. : ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 3

15 DISTÂNCIAS Conideemo (, i, j, k) um itema otogonal. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam A ( x, y, z ) e ( x, y, z ) d( A, B) AB ( x x, y y z z ) d B doi ponto., ( A, B) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO um plano, P ( x, y, z ) um ponto no epaço e P '( x, y, z ) Sejam : ax + by + cz + d um ponto de. Temo que d ( P, ) d( P, A) AP P A.P Seja uma eta otogonal ao plano paando po P: { A} AP PojP' P PojP' P AP P' P w ( x x, y y, z z ) ax ax + by w ax + by a + cz a + b w + b. ( P' P w ) ( a, b, c) ( ax + by + cz ) + c + c by + cz a cz + b w + c Como P, temo + by + cz + d ax, ou eja, d ( ax + by + ). cz ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 4

16 Logo, d( P, ) ax + by a + b + cz + c + d e o ponto (,, ) Exemplo: Detemine a ditância ente o plano : 3x + y + z P. DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA Sejam : uma eta e (,, ) X A + t, t R P x y z um ponto no epaço. P A P d(p,) d(p,p ) P' P Temo Logo, P' P en θ, onde θ ( AP ', AP). AP P' P AP enθ AP enθ d ( P, ) AP Ex: Detemine a ditância ente o ponto P(3,,) e a eta : X (,, ) + t(,, ). ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 5

17 APLICAÇÕES Ditância ente doi plano paalelo: d (, ) d( P ), Ditância ente dua eta paalela: d(, ) d( P, ) Ditância mínima ente dua eta eea: endo um plano que contém e //, d (, ) d( P, ) P P P Ex: Detemine a ditância mínima ente a eta eea x y : e x z : 5. y z ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

18 . Dado A(,,3) e ( 3,,) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO, ecea equaçõe da eta que contém A e é paalela a, na foma etoial, paamética e imética. Supondo que o itema de coodenada eja otogonal, obtenha doi etoe dietoe unitáio dea eta.. Obtenha doi ponto e doi etoe dietoe da eta de equaçõe paamética λ y λ, λ R. Veifique e o ponto P (,3, 3) e Q( 3, 4,) petencem à eta. 4 + λ 3. Obtenha equaçõe paamética da eta que contém o ponto (,4, 7) e é paalela à eta de equaçõe paamética λ y 3 3 λ, λ R. z 4. Ecea equaçõe na foma paamética e imética da eta que contém o ponto A(,, 3) e é paalela à eta decita pela equaçõe x 3 y z Sejam (,,5) 6. Sejam (,,) uuu uuu A e B(,,). Detemine o ponto P da eta AB tal que PB 3 PA. A, B(,,) e : X (,, ) λ (,, ) eqüiditante de A e B. +. Detemine o ponto de 7. Obtenha equaçõe paamética do plano que contém o ponto A(,,) e é paalelo ao + λ + µ plano : y λ + µ. λ 8. Obtenha equaçõe paamética e geai do plano coodenado. 9. Decomponha (,, 4) como oma de um eto paalelo à eta + λ : X (,9,8 ) + λ (,, ) com outo paalelo ao plano : y + µ λ µ. Obtenha uma equação geal do plano em cada cao:,,,,. a. contém A ( ) e B(,-,-) e é paalelo a ( ) b. contém A (,,), B(,,-) e C(,-,). c. contém P (,, ) e d. contém (,,) x y : z 3 : X,, + λ,, P e ( ) ( ) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 7

19 . Dada a equaçõe paamética, obtenha uma equação geal do plano: + λ µ + λ µ a. y λ + µ b. y λ + µ 3 µ λ + µ. Dada uma equação geal, obtenha equaçõe paamética do plano. a. 4x + y z + 5 b. 5x y c. z 3 d. y z x y 3. Detemine a inteeção da eta z com o plano x + y + z Detemine a equação do plano que paa pelo ponto A (,,- ) e é pependicula à eta : X t ( 3,, 3). 5. Obtenha a equação do plano que paa po P(,,) e cujo taço com o plano z é a y 3x + eta : t 6. Obtenha a equação do plano que paa pela eta : y t e é pependicula ao plano + t : x y + z. z + 7. Obtenha a equação do plano que paa pela eta : x y - z e é paalelo à eta :. y 3z - 8. Dado o tiedo cuja aeta ão a eta x y z, x y z e x 3y z, detemine a equação do plano da face. 9. Detemine a equaçõe da eta que paa pelo ponto P (,, ) e é pependicula ao plano X λ (,, ) + µ ( 3,, 5 ).. Detemine a equaçõe da eta que paa pela oigem, é paalela ao plano y + 3x y + z e intecepta a eta x z. 3. x 3 y + z Dada a eta, detemine a coodenada do ponto de inteecção 5 com o plano coodenado.. Detemine a equaçõe paamética da eta que paa pelo ponto P (,, ) e intecepta a eta eea z z : e : y z 3 y z + ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 8.

20 3. Detemine a equaçõe paamética da eta pependicula comum à eta eea y z : x x z : y x 4 y z 6 Veifique e a eta e 3 ão coplanae X (,, ) + λ (,, ) 5. Detemine o ponto imético de P (,,- ) a. em elação à eta x y z b. em elação ao plano x y + z 6. Detemine o luga geomético do ponto médio do egmento que e apóiam na eta : X,, λ,, : X 3,, 4 + µ (,, 3). eea ( ) + ( ) e ( ) 7. Detemine o plano que paa pela eta plano + y + z + 3x y + z. x 4y + z + : x y + 3 z e pelo ponto comum ao tê 3 8. Dado um plano : X (,,) + λ (,, ) + µ (,, 4 ) e a eta que paa po AB endo A(,, ) e B(,, ), detemine a equação do plano que paa pelo ponto onde a eta intecepta o plano e é paalelo ao plano : x Decomponha o eto (,,3) em doi etoe ao plano : x y + z 3 e w otogonal ao plano. 3. Conideando o ponto A(, 3, 4), B (,, 4 ) e C ( 3,,5 ) ABC é iócele. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 9 uuu, u e w, de modo que u eja paalelo, mote que o tiângulo 3. Detemine a ditância ente o ponto P e a eta no eguinte cao. x z + y + z a) P(,, ) e : y ; b) P(,,) e : 3 3x + y z + 3. Detemine a ditância ente o ponto P e o plano no eguinte cao : a) P,, 3 e : X,, + λ 3,, + µ,, ( ) ( ) ( ) ( ) λ + µ b) P(,, ) e : y λ µ µ 33. Detemine o luga geomético do ponto eqüiditante do doi plano dado: : x y + z : x + y z +

21 34. Detemine o ângulo ente a eta x : y z e : X (,,) + λ(,, ). 35. Detemine o ângulo da eta : x y z com o plano : x y z. 36. Detemine o ângulo ente o plano X λ ( ) µ ( ) : x y z. : (,,) +,,3 +,, e 37. Obtenha a equaçõe da eta que paa pelo ponto P (,,) e intecepta a eta t : x y z + fomando um ângulo de adiano Pela eta PQ, P(,, ), Q(,, ), conduza o plano que faz um angulo de adiano com o plano x + y 3z Dado o tetaedo de étice A(,,), B(,,), C(,, ) e D(3,,), calcule a medida da altua baixada do étice D ao plano da face ABC. 4. Do paalelepípedo dado a egui abe-e que: i. O plano ABC : x + y z + 6 e a X t,, 3, t R. eta DG: ( ) ii. O plano ABF é pependicula ao plano ABC e F(,,). Detemine: a. A equaçõe imética da eta AF. b. A equaçõe paamética do plano ABF. c. A coodenada do ponto D. d. A equação geal do plano EFG. Repota. X (,,3) + t(3,,), t R,. A (,, 4), (,,6 ) 3. λ : y 4 3 λ, λ R 7 + 3t x y y + t, z 3, t u,,,, 4 B, ( ) e ( ) 5. P 3, 5, ou P,, P e Q. 3 ±,, λ 4 x y z + 3 : y λ, λ R e λ + λ + µ α : y + λ + µ, λ, µ R. λ 6. P (,, ) 7. ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

22 λ λ 8. Plano xy: z e y µ. Plano xz: y e y. Plano yz: x e µ (,, 4), 5, +,7,4 9. ( ) ( ). a) x y + 4z + ; b)3x y + z 4 ; c) 3x y 3 ; d) x + z. a) x y 3z + 7 ; b) y z y λ. µ λ λ λ λ. a) y µ ; b) y 5λ ; c) y µ ; d) y µ, λ, µ R λ + µ µ 3 + µ P 6,,. 4. : 3x y 3z 8 5. : 3x y 3z + 6. : x z + 3. ( ) 7. : x y + z 8. : x + 4y 3z, : 5x + 9y 4z, : 7x + 6y z 3 9. X (,, ) + t ( 7, 3, ). X t (,, ) P ( 7,9, ), P,, 5 5 e P 7 7 3,, t t y + t 3. y 4. Não 5. a) P ',, + t ; b) 7 4 P ',, t 3 λ x + + µ 6. O luga geomético é o plano de equaçõe µ α : y, λ, µ R. 3 λ 3µ z :6x 5y 38z α : 4x ,, +,, d ( A, B) d ( A, C) 9 e ( ) 3. a) 5 b) d B, C a) O plano 4 b) ( ) x ( ) y ( ) z ( ) ( ) x ( ) y ( ) z ( ) α : β : α. // coincidente. 35. α acen 36. α acco : X (,, ) t,, ou ': X (,, ) + t, +, : x 3y + z 5, : 3x y z λ + µ y z 4. a) AF: x b) ABF: y + λ + µ 3 3λ µ d) EFG : x + y z c) D (,,3) ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL

23 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. CAMARGO, Ian de, BOULOS, Paulo. Geometia Analítica. 3ª ed. eiada e ampliada São Paulo: Pentice Hall, 5.. STEINBRUCH, Alfedo, WINTERLE Paulo, Geometia Analítica, Makon Book. 3. CAROLI, Aléio, CALLIOLI Calo A., FEITOSA Miguel O., Matize, Vetoe e Geometia Analítica, Ed. Nobel, VENTURINI, Jaci J., Álgeba Vetoial e Geometia Analítica, 8ª edição (atualizada) diponíel no ite 5. SANTOS, Reginaldo. Um Cuo de Geometia Analítica e Álgeba Linea, diponíel no ite 6. LEHMANN, Chale H. Geometia Analítica, Editoa Globo. 7. Apotila Cálculo Vetoial Pofeoa do Depatamento de Matemática UFBA diponíel no ite ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL