CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru

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1 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu EXERCÍCIOS SOBRE CÁLCULO VETOTIL E GEOMETRI NLÍTIC 01) Demonste vetoialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não paalelos de um tapézio é paalelo as bases e igual a sua semi-soma. 0) Demonste vetoialmente que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um tapézio é paalelo as bases e é igual à semi-difeença das efeidas bases. 0) Pova vetoialmente que as diagonais de um paalelogamo se cotam ao meio. 0) Moste, vetoialmente, que a áea de um tapézio é o poduto da altua pela semi-soma das bases. 05) Demonsta vetoialmente que os pontos médios dos lados de um quadiláteo qualque são vétices de um paalelogamo. 06) Pova vetoialmente que a soma dos quadados das diagonais de um paalelogamo é igual à soma dos quadados dos lados. 07) Moste que as diagonais de um losango são pependiculaes ente si. 08) Tês foças F, de mesmo módulo, podem equiliba-se? Justifique vetoialmente e faça uma epesentação. Sim, desde que o ângulo ente elas seja de 10 o 09) Detemina R = u v + u w + v w, sabendo que u+ v + w = 0, u = 1, v = e w =. R = 7 10) s foças f1, f, f, f, f5 dispostas como mosta a figua abaixo, deteminam um hexágono egula. Detemine o módulo da foça esultante em função do módulo da f 1. FR = 6 f1 f f 1 f f 5 f 11) Dados a = (,1, ) e b = (0,,1 ), detemine o valo da expessão vetoial = (a + b) (a b). =51 1) Decomponha o veto v = ( 1,, ) em dois vetoes a e b tais que a// w e b w, com 1 1 w = (,1, 1). a 5 = 1,, e b =,, 1) Dados os vetoes v 1 =(,1, ), v = (,0, 6), v = (, 1,), detemine o veto v otogonal a v1e v e tal que v v = 8. v = (,0, ) 1) Sejam os vetoes a = (1, m, );b = (m +, m,1) e c = (m,,7). Detemine m paa que a b = (a+ b) c. m= 15) Os módulos dos vetoes a e b são, espectivamente, e. O ângulo ente eles é 60 o. Calcule o ângulo ente a b + e a b. 1 θ = accos 7 16) Demonste vetoialmente a lei dos co-senos: a = b + c + bccosθ, onde θ é o ângulo ente as dieções dos vetoes b e c. 17) São dados os vetoes a e b otogonais ente si, tendo como vesoes a o e b o, espectivamente. Detemine v o, o veso do veto v, sabendo-se que v tem pojeções algébicas iguais sobe a e b e ainda que {a,b, v} são LD. vo = (ao + bo) 18) Demonste que a b a b. Veifica quando ocoe a igualdade.

2 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 19) Sejam C e BD as diagonais de um paalelogamo BCD. Sendo C = ( 1,5,0 ) C = (,,), calcule a áea do paalelogamo. 6 u.a. 0) Dado o veto v = (,0, 1), detemine o veto w otogonal ao eixo Ox, sabendo-se que vxw = 6 1 e v w =. w = (0,6,) ou w = (0, 6, ) 1) Demonste vetoialmente que a áea do losango é igual ao semi-poduto das diagonais. ) Dados a= (,1, ) e b = (1,,1), detemine o veto w tal que w a, w b e w = 5. 5 w = ± (1,1,1 ) ) São dados no espaço os pontos (,-1,0), B(1,-,1) e C(1,0,). Detemine o ponto D, tal que OD,O OB,OxOC sejam LD, OD OB = 8 e o volume do tetaedo OBD seja igual a 1, onde O é a oigem do sistema. D(0,0,-8) ou D(1,,8) ) Na figua abaixo tem-se que (,0,0), B(0,,0) e C(0,6,). Detemine: a) a áea do tiângulo BDE. b) a altua do tiângulo BDE elativa ao vétice E. a) C T = ; b) 10 h = 10 e E D B 5) Calcule a distância do ponto (,-1,) à eta deteminada pelos pontos B(1,1,) e 65 C(5,, 1). 6) Detemine um veto unitáio otogonal aos vetoes a = (,6, 1) e b = (0,,1). 1 v = ± i j k 7) Detemine a distância do ponto D(,,) ao plano deteminado pelos pontos (,,1), B(1,1,-) e C(-1,-,0). 8) Sejam (,10, 15), B( 1,11, 1), C(,11, 1) e D(0, 10,15). Detemine: a) O volume do tetaedo BCD. b) altua do tetaedo elativa ao vétice B. c) áea da face BD. d) altua elativa ao vétice D da face BD a) V T = 1; b) h B = ; c) T = 9 ; d) h D = ) Detemine o valo de m de modo que o tetaedo deteminado pelos vetoes a = i j, b = i + mj k e c = i k, tenha volume. m=1 ou m=5 0) Sejam u = (1,1, 1) e v = (, 1,). Detemine um veto w que satisfaça as seguintes condições: w (u + v) = 9, u w = 1 e w v = (7, 1, 1 ). w = (,5, ) u v 1) Consideando os vetoes do execício (0), moste que a = poj + poj é combinação v u linea dos vetoes { u,v }. 1 1 a u 9 v =

3 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu ) Na figua abaixo temos uma piâmide egula eta de base quadada. Se as aestas da base têm tamanho x e as aestas lateais têm tamanho x, detemine vetoialmente, atavés do poduto misto, o volume desta piâmide em função de x. x V P = 1 6 x x ) a) Sejam a = (1,1, ) e b = (, 1,1). Detemine um veto u tal que {a,b,u} } sejam LD, u a = 1 e a áea do paalelogamo deteminado po u e b seja 9. b) Detemine um veto v de módulo que fome com o eixo Ox um ângulo de 60 o, cuja soma das duas pimeias coodenadas seja igual a 5. a) u = ( 1,5,) ou u = (17, 1,) ; b) v = (,, ) ou v = (,, ) ) Sejam (,0,), B(,,0) e C(0,1,1). Se BCD é um paalelogamo e M é o ponto médio do lado D, detemine o ponto P = C BM. 5) Sejam (,,), B(,,1) e C(1,1,) vétices do tiângulo BC abaixo. Seja F o ponto médio do lado BC. B a) Moste que o tiângulo BC é etângulo. F D b) Detemine a áea do quadiláteo DFE. 6) Dados os vetoes u = (1,0,1 ) seguintes condições: 1ª) poj w u P 1, 5, 0 a) B C = 0; b) Q = e v = (0,1,1 ), detemine um veto w satisfazendo as 1 1 =,0, ; ª) áea do paalelogamo deteminado pelos vetoes w e v seja igual a u.a.; ª) O volume do paalelepípedo deteminado pelos vetoes {w,u, v} seja igual a u.v. 7) Os vetoes {w,u, v} w = ( 1,1,0 ) ou w = ( 1,1, ) ou são LD. Sabendo que u =, v = 1 5 w 1 7 =,, ou w =,, e w é unitáio tal que π θ = ang(v, w) =, detemine u (v w). u (v w) = 6 8) Sejam (,8,-7), B(,8,-5) e D(5,,-1) vétices do paalelogamo BCD como abaixo. Detemine vetoialmente a áea do etângulo EBFD. B F C 6 5 P = 9 D E B P M D E C C

4 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 9) Dois vétices de um tiângulo são os pontos (,1,) e B(5,6,1). cha o vétice C sabendo 906 que ele está sobe o eixo Oy, e a áea do tiângulo BC é. C(0,,0) ou C(0,6,0) 0) Detemine um veto v paalelo ao veto a = i j + k que tenha o mesmo módulo do veto b = i + j v = ± i j + k ) Detemine um veto v de mesma dieção e sentido do veto a = (,1, ) e módulo v = i + j + k ) Na figua abaixo é temos um paalelogamo de vétices (,,0), B(,0,) e D(,,1). Detemine a áea do tiângulo ECD. B C E D T = u.a. )Sabendo que u+ v + w = 0, moste que [ u, v,w] = 0. ) Detemine os vetoes u = (x,y,z) e v = (,a,b) tais que u + v = ( 1,,6) e u v = (, 16,11). u = (,, ) e v = (,1, ) 5) Detemine o aio da esfea que tem volume igual ao volume do paalelepípedo deteminado pelos vetoes u = ( π, π, π), v = ( π, π, π) e u = ( π,6π, π).[volume da esfea: V = π ]. = π 6) Detemine um veto v = (x, y,10) tal que v = 10 e seu veso seja v0 = (x0,,z0). 5 v = (6,8,10) 7) Sejam (,1,), B(,-1,0), C(0,1,1) e D(0,-,6) vétices do paalelepípedo eto, como a figua abaixo. Sabendo que o ponto E é o cento da face supeio do paalelepípedo, detemine o volume da piâmide demacada na figua. E V P = 15u.v. D C B 8) Esceva as equações paaméticas da eta () que passa pela oigem dos eixos = m = t coodenados e é paalela à eta (s): y = 1. ( ): y = 0 = 1+ m = t 9) Esceva as equações siméticas da eta () do feixe de cento (5,-,) e paalela ao eixo z Oz. ( ): = t e x 5 = y + = ) Detemine os pontos de fuo em elação aos planos coodenados da eta definida pelos pontos P(-1,1,) e Q(,-,1) ,,0, B,0, e C 0,, 5 5

5 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 51) Veifica a posição elativa ente as etas e detemina a inteseção, quando houve. x + 8 a) ( ): X = (1,0,) + t(,,) e (s): = y = z y 6 z x z b) ( ): x 1 = = e (s): = ey = = 6 m x 8 z + 5 c) (): y = 1+ m e (s): = y = = m a) paalelas; b) pependiculaes e ( ) (s) = P(,,) ; c) concoentes e ( ) (s) = Q(,,1 ) 5) Detemine as equações siméticas e o compimento da mediana M do tiângulo BC com (-,-1,), B(,,5) e C(0,-,1). x+ y+ 1 z = = e M = 1 1 5) Veifique se os pontos (,-,1) e B(-1,,0) petencem à eta () deteminada pelos pontos C(,1,-1) e D(,-5,). () e B () = 1+ t y z 1 5) Veifica se as etas (): y = t e (s):x = = são coplanaes e = + t detemina a inteseção, se houve. coplanaes e ( ) (s) = P(,, ) 55) Detemine a equação vetoial da eta () que passa po P(1,-,) e intecepta a eta x y 1 ( s): = = z+ 1 e cujo veto dieto da eta () é otogonal ao veto w = (1,,1). (): X=(1,-,)+t(17,9,10) 56) Detemine o ponto O', simético da oigem O dos eixos coodenados, em elação à eta z 1 5 ( s): x = y+ 1=. O ',, 57) Decomponha o veto v =(,6,10) em dois vetoes v 1 //() e v (), sendo () a eta X=(,-1,5)+t(-1,,). v 1 = (,8,) e v = (,,6) 58) Detemine os co-senos dietoes da eta definida pelos pontos (,,) e B(, 1,0). 1 cosα = ;cosβ = ;cosγ = 59) Detemine o ângulo da eta (): X=(,0,1)+t(-1,-,-) com a eta definida pelos pontos 8 (,0,-1) e B(-,-,1). θ = accos 1 60) Detemine as equações siméticas da eta definida pelos pontos (,-1,) e B = 1 = t x 1 y z 1 x y + 1 z com ( 1 ): = = e ( ): y = 1+ t. (): = = = + t 61) Um veto dieto de uma eta () é o veto v =(f,g,h) e tal que v// w e v s = j 8k. Sendo w = i j+ k e s = i 6j+ k, detemine o ângulo ente a eta () e o veto s. y z + 6) Sejam as etas ():x = = e ( s):x = y + 1 = z. a) Qual a posição elativa ente elas? Detemine a inteseção, se houve. b) Detemine uma eta pependicula a () e a (s). 19 θ = accos 1 a) Retas pependiculaes e ( ) (s) = (0, 1,) ; b) X = (0, 1,) + t(5,, 1)

6 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 6) Dados os pontos médios M(,1,), N(5,,-1) e P(,-,0) dos lados de um tiângulo BC, detemine as equações paaméticas do lado deste tiângulo, cujo ponto médio é o ponto M. = + t y = 1+ 7t = t 6) Detemine o ângulo ente as etas, cujos vetoes dietoes v1 = (f1,g1,h1) e v = (f,g,h1 ) são pacelas do veto dieto da eta B, na qual (,, 1) e B(,,5), sabendo-se que v 1 7 i = 1 e v k = 8i j. θ = accos 7 x z 65) Esceva a equação do plano deteminado pelas etas (): = y = e (s): x + 1 y z = =. (π): 7x-y-9z+1=0 6 66) São dados a eta ( ): X = ( 6, 6, 1) + t(,,1 ) e o plano ( π ):x + y z + = 0. Sendo P o ponto de inteseção de () com (π), detemine: a) equação da eta (s) que contém o ponto P e é pependicula ao plano (π). b) equação geal do plano (α) que contém o ponto P e é pependicula a eta (). c) inteseção da eta (s) com o plano (α). a) (s): X = (0,0,) + t(,1, 1) ; b) ( α ):x + y + z = 0; c) P (0,0, ) x y 5 z 9 x y + 1 z 7 67) Dadas às etas (): = = e (s): = =. Detemine: a) posição elativa ente () e (s). Detemine a inteseção, se houve. b) O ângulo ente () e (e). a) Revesa; b) θ = accos 9 68) O plano ( π ):x + y + 6z 1 = 0 detemina um tiângulo no 1º octante quando intecepta os eixos coodenados Ox, Oy e Oz nos pontos P, Q e R, espectivamente. Detemine 7 10 a distância do ponto Q à eta supote do lado PR do tiângulo PQR. d = 5 69) Detemine na foma simética a equação da eta que passa pelo ponto P(,,-1) e é x y z + 1 paalela aos planos (π 1 ): x-y+z-1=0 e (π ): x+y+z+8=0. = = ) che a equação geal do plano que passa pelo ponto M(,0,-) e é pependicula aos planos (π 1 ): x-y-z=0 e (π ): x+y-z+1=0. x+y+7z+16=0 71) Detemine na foma simética a eta que passa pelo ponto P(,-,0) e é pependicula ao x y + z plano (π): x-8y+6z-7=0. = = 7) Sejam os planos ( π 1 ): x + y z + = 0 e ( π ):x y + z 5 = 0. a) Qual é a posição elativa ente os planos dados? Detemine a inteseção, s houve. b) Detemine um plano ( π ), paalelo ao plano ( π 1 ), pependicula ao plano ( π ), de tal foma que a distâncias ente ( π 1 ) e ( π ) seja igual a 6. y + 1 a) Pependiculaes e ( π 1 ) ( π) = x = = z; 7 b) ( π ): x + y z = 0 ou ( π ): x + y z + 9 = 0

7 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 7) O inteseção do plano ( π 1 ): x y + z + = 0 com o plano ( π 1 ):x y z + 1 = 0 é a eta (s). O mesmo plano ( π 1 ) ao se inteceptado pela eta (): um ponto P. a) Detemine a distância do ponto P à eta (s). b) Detemine o ângulo ente (s) e (). a) x (): + 1 = y 1 = 10 d = ; b) 7 7) Sejam os planos ( π 1 ):x + y z = 0 e ( π ): x y z 1 = 0. z, detemina 1 θ = accos a) Qual é a posição elativa ente os planos dados? Detemine a inteseção, se houve. b) Detemine um plano ( π ) pependicula aos planos dados e que contenha a oigem. x z + a) Concoentes e ( π 1) ( π) = = y = ; b) ( π ): x y + z = x 1 75) Sejam o plano ( π ):x + y + z = 0 e a eta ( ) = = y 1 = z + 1. a) Qual a posição elativa ente o plano (π) e a eta ()? Detemine a inteseção, se houve. b) Seja a eta (s) que contém o ponto P( 1, 1, ) é paalela ao plano (π) e pependicula a (). Detemine () (s). a) Reta pependicula ao plano e ( ) ( π) = (1,1, 1) ; b) Q( 5, 1, ) x 1 z 1 76) Dados a eta () = = y = e o plano ( π ):x y + z = 0. a) Qual a posição elativa ente () e (π)? Detemine a inteseção, se houve. b) Existe uma eta (s) que contém o ponto Q(11,5,11) e é pependicula ao plano (π). Qual a posição elativa ente () e (s). Detemine a inteseção, se houve a) Reta concoente ao plano e ( ) ( π) =,, ; b) Retas concoentes e () (s)=q 77) Sejam (,0,0), B(0,,0) e C(0,0,) vétices de um tiângulo BC. a) Detemine o otocento deste tiângulo, o qual é a inteseção das altuas. b) Seja (π) o plano que contém o tiângulo BC. Seja () a eta que é pependicula ao plano (π) e passa pelo ponto P(1,1,). Detemine a inteseção de () com (π) a) O,, ; b) ( ) I ( π) =,, y 1 x 9 y + z + 78) Sejam as etas ( ): x 8 = = z 10 e (s): = =. a) Qual a posição elativa ente elas? Detemine a inteseção, se houve. b) Detemine uma eta pependicula a () e a (s). ( ) (s) =,,5 ; b) X = (,,5) + t(, 5,6) a) Concoentes e ( ) 79) Sejam os planos ( π 1 ):x + y z + 7 = 0 e ( π ): x y z 5 = 0. a) Qual a posição elativa ente (π 1 ) e (π )? Detemine a inteseção, se houve. b) Seja () a eta que contém o ponto P(1,,) e é pependicula ao plano (π ). Seja a eta (s) que contém o ponto Q( 1, 1,) e é pependicula ao plano (π 1 ). Detemine a distância ente () e (s). a) Pependiculaes e x + 6 z + 11 ( π 1) ( π):x = = y = ; b) d s = 80) Sejam (,,0), B(,0,) e C(0,0,) vétices de um etângulo BCD como na figua abaixo. a) Se M é ponto médio, detemine o ponto E. b) Seja (π) o plano que contém o etângulo BCD. Seja () a eta que é pependicula ao plano (π) e passa pelo ponto P(1,1,7). Detemine a inteseção de () com (π). B M C 8 8 a) E,, ; b) ( ) ( π) = (1, 1,5) E 1 D

8 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 81) Sejam os planos ( π 1 ): x y z = 0 e ( π ):x + y z 16 = 0. a) Qual a posição elativa ente (π 1 ) e (π )? Detemine a inteseção, se houve. b) Sabendo que a eta () é pependicula ao plano (π 1 ) e passa pelo ponto P(0,-5,-5). Sendo = () ( π1) e B = () ( π), detemine a distância ente e B. 7x 7y a) Planos concoentes e ( π 1 ) ( π): X = = = z; b) d B = u.c. 8 7 x 1 y z 1 8) Detemine a equação geal do plano que passa pela eta (): = = e é 1 = + t paalelo à eta (s): y = t. x-y-z-1=0 = + t 8) Dê a equação da eta inteseção dos planos (π 1 ): x-y+z-16=0 e (π ): y + 7 z + 1 x + y z + = 0. x = = 5 8) Detemine a equação do plano que passa pelos pontos P(,1,0) e Q(1,5,8) e é pependicula ao plano (π): x+y+z+5=0. x-5y+z-=0 85) Detemine a equação do plano que passa pela eta ()=π 1 π, onde (π 1 ): x+y+5z+6=0 e (π ): x+y+z+=0 e é paalelo à eta (s): X=(1,5,-1)+t(,,-). x+y+z+5=0 x 1 y z 86) Moste que a eta (): = = está contida no plano (π): x-y+5z-0= ) inteseção das etas (): X=(,-1,)+t(1,,-) e (s): X =(1,-,5)+t (-,-,5) é um ponto P. Detemine a distância de P ao plano (π): x+y+z-=0. d = 88) Detemine a distância do ponto P, inteseção dos planos (π 1 ): x+y-5z-15=0, (π ): x- 91 y+z+=0 e (π ): x+y+z-=0 a eta (): X=(0,1,-)+t(,,-1). d = 7 89) Detemine a equação da eta que é a inteseção dos planos (π 1 ): x-y+z-1=0 e (π ): y 9 z + x+y-z+5=0. x = = ) Detemine a equação do plano que contém o ponto P(,-1,0) e a eta () = π 1 π, onde (π 1 ): x-y-z+=0 e (π ): x+y-z+=0. x+7y-z+5=0 91) O pé da pojeção otogonal da oigem dos eixos coodenados sobe um plano (π) é o ponto P(-,,6). Detemine a equação geal do plano (π). x-y-6z+9=0 y 9) Dê a equação da eta (s) simética de (): x = 1 = z em elação ao plano (π): x 1 z x+y-z+=0. = y + = 7 9) Dê a equação do plano (π) simético do plano (π ): x-y+z-1=0 em elação a eta (): x y 1 z = =. x-y+z+=0 5 9) Detemine a equação do plano mediado do segmento de extemos P(,-1,5) e Q(1,-5,-1). x+y+z-=0 95) Detemine a, b e c paa que os planos (π 1 ): ax-y+z+=0 e (π ): x+by+8z+c=0 sejam coincidentes. a=1, b=- e c= 96) Detemine a equação do plano (π) que passa pelo ponto P(,5,) e é pependicula a eta () inteseção dos planos (π 1 ): x-y-z-=0, (π ): x+y+z+1=0. x-y+z=0 97) Detemine a equação da elipse de excenticidade, cujos focos são pontos da eta y+6=0 e sendo B 1 (,-1) um dos extemos do seu eixo meno. (x ) (y + 6) + =

9 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 98) O eixo eal de uma hipébole é hoizontal e suas assíntotas são as etas x+y-=0 e xy+=0. che a equação geal da hipébole sabendo-se que o ponto P(,6) petence a ela. x (y ) = ) Os focos de uma hipébole são os pontos F 1 (6,) e F (6,1), o compimento do eixo imagináio é 6. Detemine a sua equação geal e a excenticidade. (x 6) (y 7) + = 1 e e=1, ) Detemine a equação da paábola de vétice (6,-), cujo eixo é a eta y+=0 e passa pelo ponto (8,). (y+) = 8(x-6) 101) Detemine k paa que a eta x-y+k=0 seja tangente à paábola x =5y. k = -5 10) Moste que a equação x -y =E, onde E R e E 0, epesenta uma família de hipéboles de excenticidade 5. 10) Uma cicunfeência de equação x + y 8x 16y + 76 = 0 é inscita em uma elipse de eixo vetical e de distância focal. Detemine a equação eduzida e pola da elipse. (x ) (y 8) + = 1 e 16 ρ = 1 cosθ 10) O foco de uma paábola é o ponto (,) e sua dietiz é a eta x=. Detemine sua equação geal, paamética e pola. y = + secθ (x ) = (y ), 1, ρ = x = + tg θ 1 cosθ 105) Uma hipébole equilátea é aquela em que b = a. Daí, sua equação catesiana (eduzida) seá: (x-m) -(y-n) =a. Detemine a equação eduzida, paamética e pola da hipébole equilátea de focos F 1 (-5,0) e F (5,0). 5 x -y y = tgθ =5, 5, ρ = 5 cosθ x = secθ 106) Detemine as coodenadas dos vétices, focos, cento e a equação eduzida da elipse de = + 0cosθ equações paaméticas. y = + 16senθ ( 17,); (,);B (,18);B (, 1);F ( 9,);F (15,);C(,); (x ) 00 1 (y ) ) Dada a hipébole de equação geal 16x + 9y + 160x + 108y 11 = 0, detemine a sua Equação Reduzida e as coodenadas polaes dos pontos que a hipébole intecepta o eixo Ox. (x 5) (y + 6) o o + = 1 e P ( 5+,0 ) e Q( 5,0 ) 9 108) Na figua abaixo temos uma cicunfeência de cento C(5,7) e aio e uma paábola de vétice V e paâmeto p. Se p=+1, V=C e P é um ponto comum ente elas, detemine a equação geal de ambas as cônicas. x + y 10x 1y + 65 = 0 e y 1y 8x + 89 = 0 = 1 P V=C 6

10 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 109) Detemine o compimento dos eixos e a distância focal da elipse de equação pola ρ =. a=0, b=16, c=1 5 cosθ 110) Na figua abaixo temos um cicunfeência de cento C e aio = e uma paábola de vétice V. Sabendo que V=C e que a paábola intecepta o eixo Oy em y = 1, detemine os pontos de inteseção ente a cicunfeência e a paábola. 1 y P (,6) e Q (6,6) V = x 111) Na figua abaixo temos uma cicunfeência concêntica com uma hipébole de eixo focal hoizontal, cento no ponto C e focos F 1 e F. Sabendo que a equação geal da hipébole é 5x y 0x + y + = 0, detemine a odenada (coodenada y) do ponto P, inteseção da cicunfeência com a hipébole. y = 11) Simplifica a equação y=x -6x +1x-8 mudando a oigem, po tanslação dos eixos coodenados paa o ponto O (,0). y 1 =x 1 11) Fazendo uma otação dos eixos coodenados de um ângulo de 5º, elimina o temo xy da equação x +xy+y -=0. x 1 +y 1 = 11) Mediante uma tanslação dos eixos coodenados, simplifica a equação x + y 1x + y + = 0, fazendo desapaece os temos do pimeio gau. tanslação paa O (,-1); x 1 +y 1-16=0 115) Simplifica a equação x -xy+y -16=0, fazendo desapaece o temo xy, po meio de uma otação conveniente nos eixos coodenados. otação de α=5º; x 1 +y 1-8=0 116) Mediante uma tanslação dos eixos coodenados que leve a oigem paa o ponto O (-,), seguida de uma otação de um ângulo α dado po tgα=, simplifique a equação x -6xy- 7y +0x+8y+97, eduzindo-a à foma mais simples. y 1 -x 1 +6=0 117) Simplifica a equação x + xy + y 5 = 0, fazendo desapaece o temo em xy, po o meio de uma otação. Rotação de θ = 0 e 5x + y 10 = 0 118) Qual a tanslação que os eixos coodenados devem sofe paa que a equação da cônica 1x 0y 1x + 10y 117 = 0 O' 1, não apesente os temos de 1º gau? ( )

11 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 119) Dada a cônica de equação x 10xy + y + x + y + 1 = 0, eduzi a equação à sua foma mais simples. Quem é a cônica dada? Hipébole de eixo hoizontal e x + 8y + 9 = 0 10) Po intemédio de uma tanslação de eixos, eduzi cada uma das equações abaixo à foma mais simples e especifica qual é a cônica. a) y -6y-x+5=0 a) y 1 =x 1 (paábola) b) x +y +x-y-0=0 b) x 1 +y 1 =5 (cicunfeencia) c) x -y +1x+8y-=0 c) x 1 -y 1 =1 (hipébole) d) x +y -x+1y-0=0 d) x 1 +y 1 = (elipse) 11) Identifica a cônica e simplifica sua equação 9x +xy+16y +90x-10y=0 mediante uma otação de eixos. x 1 -x 1-6y 1 =0 (paábola) 1) Dado a equação x + xy y + 1 = 0, identifica e simplifica a cônica, escevendo x y 1 1 sua equação eduzida. hipébole de equação + = ) Detemina a equação da cônica que passa pelos pontos (5,), B(1,-), C(-1,1), D(,5) e E(-1,-). 9x -55xy+6y -110x-19y-1=0; elipse. 1) Detemina a equação da cônica que passa pelos pontos: (1,6), B(-,-), C(-5,0), D(,) e E(0,10). xy-x+y-10 (hipébole)

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