CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTE ELÉTRICA

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1 ELETOMAGNETMO 75 9 CAMPO MAGNETOTÁTCO PODUZDO PO COENTE ELÉTCA Nos capítulos anteioes estudamos divesos fenômenos envolvendo cagas eléticas, (foças de oigem eletostática, campo elético, potencial escala elético, coente elética etc.). A pati deste capítulo estudaemos fenômenos envolvendo coentes eléticas e campos magnéticos. A elação ente a eleticidade e o magnetismo foi uma das pimeias descobetas do século XX, no ano de 180, quando, duante uma aula sobe eleto temia, o cientista dinamaquês Hans Cistian Oested acidentalmente pecebeu que a agulha de uma bússola sofia deflexões, quando colocada na pesença de um conduto pecoido po coente elética. Como já se conhecia o fato de que campos magnéticos poduziam deflexões em bússolas, Oested descobiu, potanto, que coentes eléticas também poduziam campos magnéticos. Oested descobiu também que os campos magnéticos poduzidos po coentes eléticas em um fio etilíneo possuíam suas linhas de foça fechadas, na foma de cículos concênticos, confome mosta a figua 9.1. Campo magnético Figua 9.1 Linhas de campo magnético em tono de um conduto etilíneo pecoido po coente elética. 9.1 O CAMPO MAGNÉTCO E A LE DE BOT-AVAT Em nossos estudos da eletostática, vimos que a lei de Coulomb, descevendo o campo elético de cagas puntifomes, foi o modo pelo qual as obsevações elativas a foças eletostáticas em copos caegados podeiam se expessas. A situação é a mesma em elação a campos magnéticos poduzidos po coentes eléticas. Não há meios paa se deduzi analiticamente uma expessão paa esses campos. Tudo o que pode se feito é obseva expeimentalmente as foças de oigem magnética ciadas po coentes eléticas e a pati daí tenta enconta uma expessão matemática que esteja em acodo com os esultados obtidos. Esse foi justamente o tabalho desenvolvido po Jean Baptiste Biot e Felix avat. A pati de medidas de toque em uma agulha magnética, descobiam em 180 que a intensidade de um campo magnético incemental H devido a um pequeno elemento conduto com compimento L m, pecoido po uma coente A, confome mostado na figua 9., podeia se expessa po: 1 L senθ H= (9.1) UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

2 ELETOMAGNETMO 76 L θ H Figua 9. Campo magnético poduzido po um elemento de conduto. Em temos difeenciais, substituindo H po dh e L po, chegamos à Lei de Biot-avat: Em notação vetoial, a equação 9. pode se escita como: onde temos então que: (A) Coente elética. 1 senθ dh= (9.) 1 ( â ) 1 ( ) dh= = (9.3) 4 3 π (m) Elemento vetoial de conduto, com a dieção da coente. Veto oientado paa o ponto P, com magnitude da distância ente o elemento de (m) conduto e o efeido ponto P. d H (A/m) Elemento vetoial da intensidade de campo magnético, otogonal a e a. ubscitos podem se utilizados paa indica o ponto ao qual cada gandeza em (9.3) se efee. e posicionamos o elemento de coente no ponto 1 e descevemos o ponto P no qual o campo deve se deteminado como ponto, então: 1 (1 â1) dh= 1 Obsevemos aqui a semelhança ente a lei de Biot-avat e a lei de Coulomb, quando esta é escita paa um elemento difeencial de caga: (9.4) 1 de= ε0 dq 1 â 1 1 (C / m) Em ambos os casos a intensidade de campo (elético, no caso da lei de Coulomb, e magnético, no caso da lei de Biot-avat) apesentam uma elação com o inveso do quadado da distancia. A pincipal difeença apaece na dieção do campo e suas linhas de foça. As equações (9.3) e (9.4) epesentam a fomulação clássica da lei de Biot-avat, ou seja, a foma como ela é mais conhecida. Entetanto, é impossível veificá-la expeimentalmente dessa foma, uma UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

3 ELETOMAGNETMO 77 vez que o elemento difeencial de coente não pode se isolado. Potanto, necessitamos da foma integal da lei de Biot-avat que pode se escita como: â A lei de Biot-avat pode também se expessa em temos da densidade supeficial de coente J, ou em temos de uma densidade lamina de coente, K. A densidade de coente J que tem como unidade no istema ntenacional A/m dispensa maioes comentáios e já foi vista divesas vezes em capítulos anteioes. A densidade lamina de coente K é ilustada na figua 9.3 abaixo. Ela apaece em uma lâmina de coente extemamente fina, medida no istema ntenacional em A/m. No caso da figua 9.3, se a lagua da lâmina fo b e a densidade de coente lamina K fo unifome e nomal a b, a coente total na lâmina é: (9.5) = Kb (9.6) K = Kd b Figua 9.3 Coente lamina com densidade linea K (A/m). Assim, podemos assumi o temo substituído po temos como K d ou J dv, confome a distibuição de coentes apesentada. Assim sendo, fomas altenativas paa a lei de Biot-avat são obtidas. Paa uma coente lamina temos: ( K â ) d s (9.7) Analogamente paa uma coente supeficial: ( J â ) dv v (9.8) elação de Pyati - Uma implificação da Lei de Biot- avat Podemos nota pela figua 9., que o poduto vetoial da equação 9.3 poduz um veto na dieção de dh, pependicula ao plano que contém e. Desta foma, um caso paticula pode se ilustado na figua 9.4 em que os vetoes e são co-planaes, petencentes ao mesmo plano yz. Com isto, o elemento vetoial de campo magnético dh esultaá na dieção x. Consideando que o elemento de conduto = dθ em que é a distância do elemento de coente ao ponto P em que o campo é analisado sob um ângulo dθ, temos que: UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

4 ELETOMAGNETMO 78 3 = = â i dθ â = â x dθ (9.9) onde: â i Veto unitáio na dieção da coente â Veto unitáio na dieção de â x Veto unitáio, no caso na dieção x, esultado de â i â dθ Ângulo com vétice em P, definido po (em adianos). z θ dh P dθ θ 1 y x Figua Elemento conduto de coente e ponto P situados no mesmo plano. Assim, paa os casos onde o conduto e o ponto P, onde se deseja conhece o campo magnético, estejam no mesmo plano, a lei de Biot-avat se simplifica a: dθ dh = â n (9.10) Paa um conduto longo, compeendido ente os ângulos θ 1 e θ (linha tacejada na figua 9.4), nós temos um campo esultante em P no eixo nomal ao plano (no caso o eixo x) de modo que: H n = θ θ1 dθ (9.11) Esta é uma simplificação da lei de Biot-avat poposta po V. Pyati na evista EEE-Tansactions on Education, vol E-9, fev. de Exemplo 9.1 Enconta a intensidade do campo magnético H em A/m a uma distância a m de um fio etilíneo e infinitamente longo, confome pode se mostado pela figua 9.5, pecoido po uma coente de intensidade A. olução A lei de Biot-avat gaante que o campo magnético é pependicula ao conduto e à linha da distância ente ele e o ponto de inteesse. De outa foma, vemos que o campo magnético possui linhas fechadas ciculaes e concênticas ao conduto etilíneo e infinito, concodando com a expeiência de Oested, ilustada na figua 9.1. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

5 ELETOMAGNETMO 79 θ a H Figua 9.5 Campo magnético em um pont oi, devido a um conduto etilíneo. Consideando que o conduto e a distância dele ao ponto de cálculo encontam-se no mesmo plano, podemos lança mão da elação de Pyati. Assim teemos: a 4 π π π dθ = cosθ a = cosθ 1 cosθ = a 4 π π πa cosθdθ a π Você pode veifica que a deteminação deste campo pelo empego dieto da lei de Biot-avat eque cálculos muito mais tabalhosos do que estes simplificados pela elação de Pyati, que a condição paticula assim o pemite. Exemplo 9. Um anel cicula de aio centado na oigem enconta-se no plano xy, confome mosta a figua 9.6, sendo pecoido po uma coente de intensidade no sentido anti-hoáio. Desta foma (a) Enconta o campo magnético no cento do anel. (b) Enconte também o campo H em um ponto z ao longo do eixo deste anel. olução a) A situação plana pemite que a elação de Pyati seja empegada. Assim, π dθ = 0 b) Este caso implica num poblema não plana e a lei de Biot-avat é indicada. Daí: π H z = 0 dhz = 3 =dφ dφ = 3 ( + z ) 3 π dφ 0 1 sen θ dhz = cosγ H z = ( + z ) 3 o θ =90 (ângulo ente id l e ) cos γ = No cento do anel, z = 0 e H z = UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

6 z dh z γ dh γ θ = 90º y x Figua 9.6 Campo magnético no eixo de um anel. Podemos obseva que a expessão geal paa z = 0 inclui aquele onde o campo magnético no ponto cental localizado no plano do anel é aquele deteminado também pela elação de Pyati FLUXO MAGNÉTCO φ m E DENDADE DE FLUXO MAGNÉTCO B O campo magnético que é poduzido pela passagem de uma coente elética i em um conduto existiá em toda a egião em volta do conduto. Assim, podemos dize que uma supefície de áea póxima ao conduto é atavessada po um fluxo φ m do campo magnético ciado pela coente i, como pode se visto pela figua 9.7 abaixo. Este fluxo é deteminado pelo escoamento das linhas de campo que atavessam a supefície. Em outas palavas, detemina a quantidade de linhas de campo que cuzam a secção de áea A. i φ m Figua 9.7 Fluxo magnético atavessando uma supefície. Potanto, podemos defini a densidade de fluxo magnético (ou indução magnética) B como sendo: φm Wb B = (9.1) m No istema ntenacional de Unidades o fluxo magnético é definido em webbes (Wb) e a coespondente unidade de densidade de fluxo pode também ecebe o nome de tesla (T), equivalente a Wb/m. Na equação (9.1) assume-se que as linhas de campo magnético são pependiculaes à áea.

7 ELETOMAGNETMO 81 Caso as linhas de fluxo não atavessem a supefície pependiculamente a ela (ve figua 9.8), o fluxo que a atavessa pode se expesso de modo geal po: onde: φ = Bcosα (Wb) (9.13) m φ m (Wb) fluxo magnético atavés de B (Wb/m ou T) magnitude da densidade de fluxo magnético B. α ad ângulo ente a nomal à áea A e a dieção de B. e B não é unifome sobe a áea consideada, o poduto da equação 9.8 deve se substituído po uma integal de supefície de modo que:: φ m = Bcosα d (Wb) (9.14) d B α Fig Fluxo magnético atavessando uma áea segundo um ângulo α. Finalmente, a equação (9.14) pode se escita na foma de um poduto escala. Assim: φ m = B d (Wb) (9.15) Fluxo Magnético obe uma upefície Fechada - Lei de Gauss paa o Magnetismo As linhas de fluxo ciadas po campos eléticos estáticos ou iniciam ou teminam em cagas eléticas, indicando a existência de uma fonte, confome pode se visto na figua 9.9. (a). Po outo lado, as linhas de fluxo povenientes de campos magnéticos são fechadas sobe si mesmas, isto é, são contínuas, confome podemos ve na figua 9.9 (b). + (a) (b) Figua 9.9 Linhas de campo, (a) campo elético, (b) campo magnético A figua 9.9 (a) mosta que se uma caga elética é envolvida po uma supefície fechada, vemos que as linhas de fluxo, ou saem divegindo da fonte, ou entam convegindo paa a fonte, sendo esta a UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

8 ELETOMAGNETMO 8 pópia caga envolvida po e o campo ciado po ela dito consevativo. Po outo lado, a figua 9.9 (b) ilusta que as linhas de fluxo magnético que entam em uma supefície fechada são as mesmas que saem desta supefície. Fisicamente, isso significa que emboa existam cagas eléticas isoladas, não podemos defini o conceito de cagas magnéticas como fontes paa estes campos. Esta é uma difeença fundamental ente campos eléticos e campos magnéticos. Uma vez que o fluxo magnético é contínuo, a mesma quantidade de fluxo que enta em uma supefície fechada deve deixá-lo. Em outas palavas, o fluxo líquido que atavessa uma supefície fechada é nulo. Matematicamente isso pode se expesso como: B d= 0 s (9.16) Aplicando o teoema da divegência à equação (9.16) teemos: B=0 (9.17) A equação (9.16) na foma integal ou a equação (9.17) descevem a natueza contínua do fluxo magnético, caacteística pincipal de um campo solenoidal. Ela também faz pate do gupo fundamental das equações de Maxwell. Finalmente, po analogia com o campo elético, a elação constitutiva ente o veto intensidade de campo magnético, H, e o veto densidade de fluxo magnético (ou veto indução magnética) B, é dada po: B =µ H ( Wb / m ) (9.18) onde µ é a pemeabilidade magnética do meio, dado no istema ntenacional de Unidades em H/m (heny / m) ou Wb/(A.m). No vácuo ou espaço live a pemeabilidade magnética vale µ 0 = 4 π.10-7 H/m, valo este bastante póximo no a e nos meios não magnéticos em geal, como veemos mais adiante. As linhas de fluxo de um campo magnético são fechadas, o que é indicado matematicamente pelo divegente nulo deste campo vetoial, indicativo da ausência de cagas magnéticas. O campo magnético pode se ciado também po uma coente elética em um conduto, que po sua vez oigina um campo no espaço independente do meio. Já o númeo de linhas de campo ou o fluxo de suas linhas de campo depende do meio, sendo o númeo de linhas de campo maio ou meno segundo sua pemeabilidade magnética. Po outo lado, o campo elético, poveniente de cagas eléticas, possui suas linhas de foça abetas, ou seja, com oigem ou témino numa fonte, cuja densidade de fluxo depende da caga e não do meio. O campo elético po sua vez, esponsável pela ação da foça elética depende da pemissividade elética do meio. Em outas palavas, o campo elético e o fluxo magnético são dependentes do meio, enquanto que o fluxo elético e o campo magnético não o são. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

9 ELETOMAGNETMO 83 EXECÍCO 1) Aplicando a lei de Biot-avat, detemine a expessão do campo magnético H ciado po um filamento etilíneo e infinito, pecoido po uma coente ao longo do eixo z, fonecendo o esultado em coodenadas cilíndicas. Compae este esultado com o do exemplo 9.1. ) Detemine o campo elementa dh ciado po um elemento difeencial de coente oigem de um sistema de coodenadas esféicas (,θ,φ) em um ponto genéico do espaço. i na 3) Moste que o campo magnético devido a um elemento de coente finito mostado na figua abaixo é dado po: H= (sen α1 sen α ) â φ α 1 α P Figua do poblema 3. 4) Moste a expessão paa um campo magnético H no cento de uma espia na foma de um tiângulo eqüiláteo com lados L, empegando a lei de Biot-avat e a sua simplificação dada pela elação de Piaty. 5) Tês enolamentos simples com 1 m de aio estão colocados a 1 m um do outo, com os seus eixos coincidindo com o eixo z. e todas estas espias são pecoidas pela mesma coente e no mesmo sentido, faça um gáfico nomalizado da vaiação de B (fazendo B max = 1), ao longo do eixo z, com o ponto inicial a 1 m abaixo do pimeio enolamento, e o ponto final a 1 m acima do teceio enolamento. 6) Um fio flexível de compimento L m é dobado na foma de em um (a) cículo, (b) tiângulo eqüiláteo e (c) um quadado. Enconte o valo da indução magnética B no cento de cada configuação, quando pecoido pela mesma coente e compae suas intensidades em cada caso. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

10 ELETOMAGNETMO 84 7) Duas bobinas ciculaes com 500 mm de aio e 60 espias cada uma são montadas otogonalmente ente si, com o objetivo de neutaliza o campo magnético geado pela Tea no cento comum estabelecido ente elas. Uma bobina está na hoizontal e a outa na vetical. Enconte a coente em cada bobina, onde o campo magnético da Tea é de 1 gauss ( 10-4 T), a um ângulo de 60º fomado com o plano hoizontal na tea, e um ângulo na hoizontal de 15º paa o oeste com efeência à dieção note. 8) Detemine o fluxo magnético que atavessa a poção do plano situado em φ = π/3, definida po 0,05 < < 0,10 m e 0 < z < 1 m, oiginado po um filamento de coente ao longo do eixo z com intensidade de 10 A no sentido positivo. 9) Calcule o fluxo magnético total que cuza o plano z = 0 em coodenadas cilíndicas paa 5 0, B = sen x 10 - m, se ( ) z φ â T. πx y 10) Dado que B =,50sen e âz T, calcule o fluxo magnético que cuza a faixa deteminada po z = 0, y 0 e 0 x m. 11) e B = 3xâ 3yâ + â, enconte o fluxo magnético que atavessa as supefícies de um x y z volume limitado pelos planos x = 1 m, x = 6 m, y = 0, y = 4 m, z = 1 m e z = 7 m. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino