ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE/ERROS EM OPERAÇÕES NUMÉRICAS

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1 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE/ERROS EM OPERAÇÕES NUMÉRICAS. Intodução O conjunto dos númeos epesentáveis em uma máquina (computadoes, calculadoas,...) é finito, e potanto disceto, ou seja não é possível epesenta em uma máquina todos os númeos eais de um dado intevalo [a, b]. A implicação imediata desse fato é que o esultado de uma simples opeação aitmética ou cálculo de uma função, ealizadas com esses númeos, podem conte eos.. Repesentação de um númeo eal em uma máquina Esta epesentação depende, em geal, da máquina utilizada. A aitmética de ponto flutuante é univesalmente utilizada nos dias atuais.. Aitmética de ponto flutuante. Sistemas F(β, t, m, M). Dado um númeo eal não nulo. Este númeo é epesentado em ponto flutuante da seguinte foma: Onde: exp = ± ( 0, d d d3k dt ) β (.) () β é a base do sistema e d, d, d 3,..., d t é a mantissa (sequência de casas decimais do númeo). t é o númeo de dígitos da mantissa. () 0 ( β ) d, j = K,, t. j (3) O expoente da base, o númeo epesentado po exp, está contido no intevalo de númeos inteios [m,m]. Obsevações:. Em um sistema de ponto flutuante dito nomalizado, d 0;. O númeo zeo de um sistema de ponto flutuante nomalizado tem sua epesentação paticula: (.)

2 Em linhas geais a definição de um sistema de ponto flutuante é a seguinte: união de todos os númeos eais não nulos que podem se epesentados po (.), veificados os equisitos (),(),(3) e a obsevação, com o zeo que tem sua epesentação em (.). EXEMPLO: Consideando-se o sistema hipotético: F(0, 3, -5, 5). Os númeos com epesentação neste sistema podem se epesentados da seguinte foma: = ±0, d d exp d 3 0 Aqui, β = 0 (a chamada base decimal) & t = 3; 0 d 9, j =,, 3 ( d 0); j exp [ 5,5]. Alguns númeos com epesentação em F: = 0,3 0 = 0, O númeo 50 teia epesentação em F? Obseva-se o seguinte: 0 3 = 50 = 50,0 = 50,0 0 = 5,00 0 = 0,500 0 Ou seja, o númeo 50 neste sistema é epesentado da foma: 0,500 0 Da mesma foma: 0 4 = 0,0 = 0,0 0 = 0,0 0 3) O sistema de ponto flutuante como um conjunto Já foi dito que os númeos epesentáveis em uma máquina são discetos. Isto que dize que eles podem se epesentados po um conjunto finito.

3 Ainda tomando o sistema do último exemplo. Pode-se esceve o seguinte: i = meno númeo não nulo, em valo absoluto, com epesentação em F i = 0, a = maio númeo não nulo, em valo absoluto, com epesentação em F a = 0, Assim, se um númeo eal x tem epesentação em F: 5 0,00 0 x 0,999 Ou, paa se te uma genealização: 0 5 i x a Ou ainda, o conjunto de todos os númeos não nulos com epesentação em F pode se escito: G F Vejamos o que isto significa: { x R i x a} = / Consideando-se o sistema F(0, 3, -5, 5) e os númeos: x = 0, x = 0, Obseva-se que x > a (este númeo é maio que o maio númeo com epesentação em F ocoência de oveflow) e x < i (este númeo é meno que o meno númeo com epesentação em F ocoência de undeflow). Os dois númeos não tem epesentação em F, eles não estão contidos no conjunto G F. Obs.: oveflow e undeflow são consideados eos. Estes eos são cometidos quando é feita uma opeação numéica em que o esultado, o seu valo absoluto, é maio que o maio númeo com epesentação na máquina usada. Ou quando este esultado, em valo absoluto, é meno que o meno númeo com epesentação na máquina usada.

4 4. Númeo de elementos de um G F (N F ) Já foi dito que o conjunto de todos os númeos com epesentação em um sistema F é disceto (o conjunto tem um númeo finito de elementos). Deste modo, pode-se detemina esta quantidade de elementos ( conta os elementos do conjunto). Seja, inicialmente, o sistema exemplo F(, 3, -, ). Os númeos com epesentação neste sistema têm a foma: = ±0, d d exp d 3 Onde, β = ; t = 3 0 d j d 0 exp [,] = {,0,,} Podem-se esceve todos os númeos positivos com os equisitos anteioes: 0,00-0,00 0 0,00 0,00 0,0-0,0 0 0,0 0,0 0,0-0,0 0 0,0 0,0 0, - 0, 0 0, 0, Foam escitos 6 númeos positivos. Com os númeos negativos, a contagem de númeos com epesentação neste sistema doba: 3. Ou seja, somando-se o zeo, que tem sua epesentação paticula, 0,000 -, o númeo de elementos com epesentação neste sistema é: 33. Pecebe-se que este sistema (o conjunto que o epesenta) tem poucos elementos. Um outo sistema, com uma quantidade maio de númeos epesentativos, podeia deixa a contagem, como feita acima, inviável. Paa estes, pode-se usa o chamado pincípio fundamental da contagem. Vejamos um exemplo: Seja o sistema F(0, 3, -, ). Um númeo com epesentação neste sistema tem a foma:

5 = ±0, d d exp d 3 0 Onde, β = 0 ; t = 3 0 d j 9 d 0 exp [,] = {,,0,,} Tabalha-se com possibilidades paa cada temo do númeo. Pate do númeo Possibilidades Sinal + ou - d 9 ou ou 3 ou... ou 9 d 0 0 ou ou ou 3 ou... ou 9 d ou ou ou 3 ou... ou 9 0 exp ou 0 - ou 0 0 ou 0 ou 0 O poduto dos númeos da coluna possibilidades dá o númeo de elementos não nulos com epesentação no sistema: N = = 9000 Somando-se o zeo do sistema (que tem sua epesentação paticula), N F = N + = 900 Tem-se então que o númeo de elementos com epesentação no sistema deste exemplo é 900. A genealização paa um sistema F(β, t, m, M) pode se feita com facilidade. A foma do númeo com epesentação neste sistema: ( K β = ± 0, d d d3 dt ) Montando-se a tabela de possibilidades: exp

6 Pate do númeo Possibilidades Sinal d β d d 3 M d t β β β β exp (M m) + M Obseva-se na tabela que β apaece sozinho t vezes (d até d t ). Quando o poduto é feito tem-se: t N = ( β ) β [( M m) + ] Esta equação epesenta a quantidade de númeos não nulos com epesentação em um sistema. Somando-se o zeo do sistema, tem-se a quantidade total de elementos de F: N F = N t + = ( β ) β [( M m) + ] + Obs.: O númeo de possibilidades paa β exp é obtido pela contagem dos elementos do intevalo de inteios [m, M]. Pode-se chega à equação que está na tabela a pati de alguns exemplos simples: Assim: I = [, 4] = {,, 3, 4} N I = 4 = (4 -) + I = [, 7] = {, 3, 4, 5, 6, 7} N I = 6 = (7 -) + I = [-, 3] = {-, 0,,, 3} N I = 5 = [3 (-)] + I = [m, M] N I = (M m) + Exemplo: Usando-se a equação obtida paa N F, seá calculada a quantidade de númeos com epesentação no sistema F(0, 4, -99, 99): N F = (0 )0 3 [( ) + ] + = elementos. 5. Aedondamento/tuncamento de um númeo Consideando-se o sistema de base decimal F(0, 4, -5, 5). Pode-se esceve:

7 a = 0, i = 0, Supondo-se que uma opeação aitmética ealizada nesta máquina esulte no númeo indicado abaixo: R = 0, Este númeo, em valo absoluto, está ente a e i. No entanto ele tem 7 dígitos na mantissa, enquanto o sistema exemplo tabalha com 4 casas decimais (t = 4). Nesse caso, paa o sistema, o númeo R assume a seguinte foma: ou, R = 0, R = 0, No pimeio caso ouve um aedondamento, o sistema esceve o númeo mais póximo a R com 4 dígitos na mantissa. No segundo caso, o sistema desconsideou todos os dígitos após a quata decimal. Obs.: Ainda com espeito ao aedondamento. Consideando-se último sistema e o númeo: apoximações: R = 0, Paa este númeo são escitos duas R = 0,347 0 e R = 0,348 0 Efetuando-se as opeações: R R = 0, ,347 0 = 0,006 R R = 0, ,348 0 = 0,004 Tem-se aqui; R R > R R Isto que dize que a apoximação desvio R R é meno que o desvio númeo está indicado po R. R está mais póxima do númeo R (o R R ). O aedondamento do

8 Exemplo: A tabela seguinte ilusta os conceitos de aedondamento e tuncamento. F(0, 3, -4, 4) Númeo Repesentação na base 0 (live) aedondamento tuncamento (I),68 0,68 0 0,7 0 0,6 0 (II) 0,05 0, ,0 0 0,00 0 (III) -38,5-0, , , (IV) 0, ,7 0-5 UNDERFLOW (V) 7835,8 0, OVERFLOW Obsevação: O númeo (II), 0,005 0, foi aedondado paa 0,0 0. Contudo este aedondamento podeia se 0,00 0. A azão paa isto vem da definição de aedondamento mostada anteiomente. Obseva-se o seguinte: 0,005 0,0 = 0,005 0,00 Ou seja, o desvio dos dois aedondamentos em elação ao númeo 0,005 é o mesmo. Quando o último dígito de um númeo é 5 o seu aedondamento pode se feito po um citéio qualque. Um dos citéios usados é o aedondamento no cote de dígito que aedonda o númeo sempe paa o maio valo. 6. Eos em opeações numéicas Quando se faz uma opeação numéica é necessáia a definição do númeo de casas decimais que seá usado. Po causa disto, eventualmente haveá aedondamentos a seem feitos (ou tuncamentos). Estes aedondamentos (apoximações que são feitas paa que uma ceta quantidade de casas decimais seja veificada) geam eos (afastam o valo eal da opeação do valo apoximado). Como o aedondamento é inevitável, esses eos tem que se toleados. Exemplo ilustativo: Sejam os númeos, x = 0, e y = 0,7 0 Pode-se esceve o segundo númeo da seguinte maneia:

9 y = 0, Potanto, somando-se os dois númeos: S = x + y = 0, Em um sistema que tabalha com uma mantissa de quato dígitos (t = 4): S = 0, S = 0, no aedondamento no tuncamento Eo devido ao aedondamento: Obseva-se a peda de casas decimais quando a soma foi escita no sistema escolhido. Isto gea um afastamento da apoximação S em elação ao valo exato S. Este afastamento constitui um eo. Costuma-se usa equações paa se te uma medida elativa deste eo. () Eo absoluto (desvio absoluto) E A = S S = 0,8 () Eo elativo E R = S S S = 0, Obsevação: Os valoes dos eos absoluto e elativo, paa o último exemplo ilustativo, não poduzem conclusões definitivas. O valo de um eo pode te significância se os paâmetos envolvidos foem gandezas físicas (pessão, tempeatua, condutividade elética,...), ou quando se têm o cálculo do eo váias vezes, de foma seqüencial, compaando os seus valoes. Outo exemplo envolvendo eo em opeação numéica Seja a função linea f(x) = 7x 3. Petende-se enconta o valo de x tal que f(x) = 0. 7x 3 = 0 Este poblema consiste, simplesmente, em esolve a equação: Então tem-se: x = 3/7 Escevendo-se este númeo usando ponto flutuante:

10 x = 0, O númeo apesentou-se com um númeo de casas decimais infinitas. Como uma máquina tabalha com uma mantissa definida, este númeo teia que se aedondado. º caso: Supondo que se desejasse tabalha com tês casas decimais: x = 0,49 Aplicando-se este valo na função: f ( x) = 7(0,49) 3 = 0,003 Este valo não etona à função o valo zeo. A difeença é consideada um eo devido ao aedondamento. º caso: Usando, agoa, 4 casas decimais: x = 0,486 Aplicando-se este valo na função: f ( x) = 7(0,486) 3 = 0,000 Novamente a função não etonou o valo zeo paa a função. No entanto a distância ao zeo diminuiu. Levando-se estes esultados paa analisa as opeações numéicas de um modo geal, pode-se dize que paa alcança uma maio pecisão deve-se usa uma quantidade de casas decimais maio. Na maioia dos pocessos numéicos isto acaeta num aumento do númeo de opeações numéicas envolvidas no pocesso (aumento do tempo computacional ).