FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E O CAMPO ELETROSTÁTICO

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1 LTOMAGNTISMO I FOÇA NT CAGAS LÉTICAS O CAMPO LTOSTÁTICO Os pimeios fenômenos de oigem eletostática foam obsevados pelos gegos, 5 séculos antes de Cisto. les obsevaam que pedaços de âmba (elekta), quando atitados com tecidos adquiiam a capacidade de ataíem pequenas patículas de outos mateiais. Como a ciência epeimental e dedutiva ainda estava longe de se desenvolvida, o inteesse nesse fenômeno pemaneceu no campo da lógica e da filosofia. A inteação ente objetos eleticamente caegados (foça eletostática) só foi quantificada e equacionada no século 8 (746), po um cientista fancês chamado Chales Augustin de Coulomb ( ).. - FOÇA NT CAGAS LÉTICAS - LI D COULOMB O tabalho de Coulomb consistiu em, usando uma balança de toção muito sensível, medi a foça de atação (ou epulsão) ente dois copos caegados, em função da distância que os sepaava. Conceito A intensidade da foça de inteação elética ente dois objetos pequenos caegados, sepaados pelo vácuo ou pelo espaço live, sendo a distância ente eles muito maio que os seus aios, é dietamente popocional ao poduto ente suas cagas, e invesamente popocional ao quadado da distância ente eles. Fk. (N) (.) F (N) Foça de oigem eletostática, de epulsão (cagas de mesmo sinal) ou atação (cagas de sinais opostos), (C) Cagas eléticas, positivas ou negativas (m) Distância ente os centos das cagas k Constante de popocionalidade A constante k vale: k 9 Nm C A constante ε 0 é a pemissividade elética do espaço live. No S. I. (Sistema Intenacional) seu valo é: ε 8, π (F / m) A foça eletostática é uma gandea vetoial possuindo intensidade, dieção e sentido. la age ao longo da linha que une as duas cagas. Também é uma foça mútua. Cada uma das cagas sofe a ação de uma foça de mesma magnitude, poém, de sentido contáio. A foça seá epulsiva, se as duas cagas foem de mesma natuea (mesmo sinal), ou atativa, se de sinais contáios. eescevendo a equação (.) vetoialmente: UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

2 LTOMAGNTISMO I. F F â (N) (.) 0 $a (.3) F v (N) Foça eecida sobe a caga pela caga. F v (N) Foça eecida sobe a caga pela caga. (m) Veto que vai da caga à caga â Veto unitáio, ou veso, indicando a dieção do veto F (a) F a F a (b) F Figua. Foça ente duas cagas: (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contáios emplo. Uma caga 30-4 C está colocada no ponto P (,,3) m. Uma outa caga -0-4 C está colocada no ponto P (,0,5) m. nconta a foça F sobe cada caga. Solução Veto que vai da caga à caga P P ( ).$ a + ( 0 ).$ a + (5 3). $a a$. a$ +. a$ + ( ) + 3 F Foça sobe a caga : F. 4 πε a 30.( 0 ) ($ a. a$. a$ ) ( N) F 0($ a. a$ +. a$ ) ( N). $ Foça sobe a caga : Veto unitáio com a dieção de a$ ($ a. a$ +. a$ ) 3 F 0($ a. a$ +. a$ ) (N) emplo. Uma caga positiva de µc enconta-se na posição P (,,) m, uma caga negativa de 4 µc enconta-se na posição P (-,0,) m e uma caga negativa 3 de 3 µc enconta-se na posição P 3 (,,3) m. nconte a foça que atua sobe a caga 3. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

3 LTOMAGNTISMO I 3 Solução: Pede-se F3 F3, + F3, O veto que vai do ponto ao ponto 3: 3 P3 P ou 3 ( )$ a + ( )$ a + ( 3 )$a 3 a$ a$ + a$ Veto unitáio de 3 : aˆ ˆ ˆ ˆ 3 a + a a3 6 3 Foça sobe a caga 3, devido à caga : 6 6 ( 0 )( 3 0 ) a a a F $ $ + $ 3, F3, 367, ($ a a$ + a$ ) 0 ( N) Veto que vai do ponto ao ponto 3: 3 P3 P ou 3 ( ( ))$ a + ( 0)$ a + ( 3 )$a 3 3a$ + a$ + $a Veto unitáio de 3 : 3ˆ a ˆ ˆ ˆ 3 + a + a a3 3 Foça sobe a caga 3, devido à caga : 6 6 ( 4 0 )( 3 0 ) 3a$ + a$ + a$ F3, 0 3 F3, 963, ( a$ + a$ + a$ ) 0 ( N) F F 3 3, + F Foça total sobe a caga 3: 3, (5,a 3 + 6,63â 4,4â ) 0 (N) Neste eemplo pode se obsevado que, em um sistema disceto de cagas pontuais, a foça sobe uma caga deste sistema é a soma (vetoial) das foças ente esta caga e as demais cagas do sistema, isoladamente. A título de eecício, calcule a foça sobe as outas duas cagas. As espostas deveão se: ) 3 3 F,65a 8,99â + 0â 0 (N F 356, a$ + 36, a$ 56, a$ 0 ( N ) ( ) ) e ( ). A CAGA LMNTA Tomando o modelo planetáio paa a epesentação dos átomos, sabemos que as cagas ditas positivas encontam-se pesas ao núcleo enquanto que as cagas de natuea oposta, ditas negativas gavitam em tono do núcleo, vinculadas po uma foça de atação elética epessa pela lei de Coulomb, cuja intensidade é dada pela equação (.). Vimos também que esta foça ocoe aos paes, obedecendo à 3ª. Lei de Newton ou da Ação e eação. Desta foma, podemos defini uma caga elementa como aquela de meno valo. Assim, uma caga elementa de um póton difee da caga de um eléton apenas pelo sinal e vale no Sistema Intenacional de Unidades: 9 e,6.0 C(coulombs) (.4).3 - O CAMPO LÉTICO Considee duas cagas, uma caga em uma posição fia, e uma caga de teste t. Movendo-se a caga de teste t lentamente em tono da caga fia, ela sofeá a ação de uma foça F. Como essa foça sempe seá ao longo da linha que une as duas cagas, ela seá sempe adial, UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

4 LTOMAGNTISMO I 4 consideando a posição da caga como oigem. Além do mais, essa foça aumentaá de intensidade se apoimamos a caga de teste da caga, e diminuiá se a afastamos A pati dessas consideações pode-se pecebe a eistência de um campo de foça em tono da caga, que pode se visualiado pela figua.: t F Figua. Campo de foça poduido po uma caga pontual positiva. pessando a foça sobe t pela lei de Coulomb: F 0. t t.â (N) (.5) Dividindo a equação (.4) po t : F t 0.â t (N / C) (.6) Pecebe-se facilmente que a quantidade à dieita na equação acima é função apenas de, e está diigida ao longo do segmento de eta que vai de até à posição da caga de teste. Definindo a elação F t como sendo, veto intensidade de campo elético, e dispensando o uso de índices, pode-se esceve: πε 4 0.$ a ( N / C ) (.7) Vimos pela epessão (.4) que a meno caga elética conhecida é a do póton ou a do eléton, com, C. Potanto, é fácil conclui que um campo elético não pode se medido com pecisão absoluta, pois a caga de teste sempe afetaia o campo da caga em estudo. m escala atômica isso podeia epesenta algum poblema, mas na totalidade dos casos que seão aqui estudados isso não epesentaá nenhum poblema. emplo.3 Uma caga 0-8 C está situada na oigem de um sistema de coodenadas etangulaes. sceva uma epessão paa o campo elético em função das coodenadas, e, consideando-se que a caga estaia na oigem desse sistema de coodenadas. ual é o valo do campo elético no ponto P(,,) m? UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

5 LTOMAGNTISMO I 5 Solução πε 4 0.$ a ( N / C ). a$ +. a$ +. a$ + + $a 6,(â + â +.â ) (N / C) O campo elético poduido po uma caga puntifome é sempe oientado adialmente à caga que o gea. Potanto, a solução deste eemplo pode se bastante simplificada se, ao invés de se utilia um sistema de coodenadas catesianas, utilia-se um sistema de coodenadas esféicas. A epessão vetoial paa o campo elético em coodenadas esféicas seá: πε a.$ + a.$ + a.$ + + a a a 0 8.$ +.$ +.$ 3 ( + + ) 0 ( N/ C) ( N/ C) πε 4 0.$ a ( N / C ) O veto unitáio â seá simplesmente o veto unitáio na dieção do aio. Paa o ponto (,,), o módulo de é: Paa o ponto (,,): 4 0 ($ a + a$ +. a$ ) ( N/ C ) 4π 885, 6 6 potanto: 4 0 a$ ( N/ C ) 4π 885, 6 O campo elético assim obtido se mosta com uma simetia esféica, dependente apenas da distância adial da caga ao ponto. O eemplo que acabamos de esolve mosta que muitas vees, ao tentamos esolve um poblema de uma maneia que julgamos se a "mais fácil" (no caso, o uso de um sistema de coodenadas mais "conhecido"), estamos faendo-o da maneia mais complicada. A eploação de simetias, e o uso de sistemas de coodenadas adequados a cada caso são fotemente incentivados em eletomagnetismo. emplo.4 Uma caga 40-9 C está localiada no ponto P (,,3) m. e outa caga 0-9 C no ponto P (,,5) m. Calcule o valo da intensidade de campo elético ciado no ponto P(4,-,) m po estas duas cagas pontuais. Solução Veto que vai de P a P: 3.ˆ a aˆ aˆ Veto unitáio a : a 3. aˆ aˆ 4 aˆ Veto que vai de P a P: 3.ˆ a aˆ 3. aˆ UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

6 LTOMAGNTISMO I 6 Veto unitáio a : 3.ˆ a aˆ 3.ˆ a aˆ Campo elético em P: a$ a$ a$ a$ a$ 3. a$ ( N / C) 0 9(0,86.â 0,9â 0,34.â ) (N / C) A eemplo do que foi feito paa se calcula foças em um sistema disceto de cagas, o campo elético devido a uma distibuição de cagas puntifomes é calculado somando-se a contibuição de cada caga individualmente, no ponto onde se deseja conhece o valo do campo elético..3 - Distibuição special de Cagas Além de cagas pontuais, podem eisti outas configuações (distibuições) de caga, a sabe: distibuição linea de cagas, distibuição supeficial de cagas e distibuição volumética de cagas Distibuição linea de cagas - Uma distibuição linea e unifome de cagas possui uma densidade linea ρ l C/m (fig..3). ρ l C/m Figua.3 Distibuição unifome e linea de cagas Vamos agoa analisa o compotamento do campo elético poduido po uma distibuição linea infinita de cagas (sem ainda equacioná-lo). Vamos toma duas cagas incementais (ρ l dl), em uma distibuição linea de cagas, como mostado na figua.4. d Figua.4 Aanjo paa d analisa o compotamento do P d campo elético poduido po uma distibuição linea infinita d d de cagas O campo elético em um ponto P situado a uma distância, pependicula à linha infinita de cagas povocado po cada caga incemental é d, oientado na dieção da linha que une o incemento de caga ao ponto P. Cada um desses campos pode se decomposto em duas componentes: uma paalela à linha, d, e outa pependicula a ela, d. Como as cagas incementais são siméticas em elação à linha, as componentes d vão se anula e o campo elético esultante seá a soma das componentes d. Como se tata de uma linha infinita de cagas, paa qualque ponto (consideando um sistema de coodenadas cilíndicas), seá sempe possível escolhe conjuntos de incementos de cagas siméticos a ele, e o campo elético seá sempe pependicula à linha de cagas. Adicionalmente movendo-se o ponto P em um cículo em tono da linha de cagas, o campo elético se manteá pependicula à linha com intensidade inalteada. Movendo-se o ponto P paa cima e paa baio, mantendo-se a distância inalteada, a intensidade do campo elético não UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

7 LTOMAGNTISMO I 7 apesentaá alteações. Finalmente, se a distância vaia, o campo elético deveá vaia também. esumindo, o campo elético poduido po uma distibuição linea infinita de cagas: Possui simetia cilíndica ou adial e deve se equacionado utiliando-se um sistema de coodenadas cilíndicas. Só vaia com a componente adial. Como eemplo de distibuição de uma linha de cagas, podemos cita os elétons em um conduto elético, que paa efeitos de campo elético podem se consideados como estáticos. A epessão paa a intensidade de campo elético poduido po uma linha de cagas seá obtida no póimo capítulo, que tata da lei de Gauss Distibuição supeficial plana de cagas - Uma distibuição plana infinita e unifome de cagas possui uma densidade supeficial ρ s C/m, confome ilustado na figua.5. ρ s Figua.5 Distibuição supeficial infinita de cagas Paa analisa o compotamento do campo elético poduido po esta distibuição supeficial infinita de cagas, vamos utilia o aanjo mostado na figua.6. Vamos considea duas tias infinitas de espessua d, simeticamente escolhidas em elação a uma linha de efeência (linha pontilhada). d d d Figua.6 Campo elético poduido po um elemento de cagas em uma distibuição supeficial Uma fita de caga pode se consideada com sendo uma distibuição linea de cagas. Potanto, o campo elético poduido po ela teá o mesmo compotamento do campo elético poduido po uma distibuição linea e infinita de cagas. Assim, o campo elético incemental d, em um ponto qualque acima da linha pontilhada, poduido po uma das fitas seá oientado adialmente em elação à fita. sse campo pode se decomposto em duas componentes: d, paalelo à supefície de cagas, e d, pependicula à mesma. Como as duas fitas estão simeticamente colocadas em elação ao ponto P, as componentes d deveão se anula, e o campo esultante seá a soma das componentes d. Assim, podemos po enquanto conclui que o campo elético poduido po uma distibuição supeficial e infinita de cagas seá oientado pependiculamente pelos dois lados desta supefície. Neste caso diemos então que as linhas de campo elético apesentam uma simetia especula. mboa distibuições supeficiais infinitas de cagas não eistam de fato, podemos UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

8 LTOMAGNTISMO I 8 considea como um eemplo pático o campo elético unifome estabelecido po um capacito de placas planas e paalelas. mboa as epessões paa o campo elético poduido po distibuições infinitas lineaes e supeficiais de cagas possam se obtidas po integação dieta, patindo de aciocínios como os mostados acima, não o faemos aqui, po eisti um modo mais simples e fácil, atavés da lei de Gauss, que seá vista no póimo capítulo. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

9 LTOMAGNTISMO I 9 XCÍCIOS ) Tês cagas pontuais, 300µC, e, 400 µc e µc acham-se localiadas em (6,0,0) m, (0,0,6) m e (0,6,0) m espectivamente. nconte a foça que age sobe,. ) Calcule a foça que atua sobe uma caga de 00 µc localiada no eio a 3 m acima da oigem quando na pesença de quato cagas de 0 µc nos eios e nos pontos ± 4 m. 3) Há quato cagas pontuais iguais, de 0 µc, localiadas sobe os eios e, em ± 3 m. Calcule a foça que age sobe uma caga de 0 µc, localiada em (0,0,4) m. 4) Uma película plana infinita com uma distibuição unifome de caga de densidade ρ S enconta-se no plano definido pelos eios e. Detemine o campo elético que ela gea no eio acima da oigem. 5) Sobe o eio enconta-se uma distibuição linea de cagas ρ L 0 nc/m ente 5 m e -5 m. Calcule o campo elético no ponto (, 0, 0)m. stendendo o aciocínio, calcule agoa o campo elético ciado po uma eta infinita e caegada num ponto genéico do espaço. 6) O eio contém uma distibuição unifome de cagas com descontinuidade ente 5m e 5 m. Com a mesma distibuição do poblema anteio, isto é, 0 nc/m detemine o campo naquele mesmo ponto (, 0, 0)m. m seguida, faça a supeposição dos esultados. 7) Calcule a foça que atua sobe uma caga pontual de 30 µc, localiada a uma altua de 5 m do cento de um quadado com m de lado, com uma caga linea de 500 µc unifomemente distibuída. 8) Sobe os vétices de um cubo de lado l (m) há oito cagas pontuais idênticas de (C). Moste que a foça agente sobe cada caga tem intensidade de 3,9 / ( 0 l ) N. 9) O plano m contém uma distibuição unifome de cagas com densidade ρ s 0,6 C/m. Calcule o campo elético elativo ao semi-espaço que contém a oigem. 0) Um anel cicula eleticamente caegado, com aio 4 m, está no plano 0, com cento localiado na oigem. Se a sua densidade unifome fo ρ l 6 nc/m, calcula o valo de uma caga pontual, localiada na oigem, capa de podui o mesmo campo elético em (0,0,5) m. ) Calcule a caga contida no volume definido po 3 m, 0 φ π/3, 0 4 m, dada a densidade de cagas ρ 3sen φ C/m 3. ) Duas esfeas plásticas identicamente caegadas e com massa de 80 mg podem se desloca sobe uma fiba isolante inclinada de 45º. Na situação de equilíbio uma das esfeas fica apoiada sobe um nó na fiba, enquanto que a outa pemanece a uma distância de 5 m dela. Pede-se a caga das esfeas. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

10 LTOMAGNTISMO I 0 3) Tês cagas pontuais localiam-se no vácuo, do seguinte modo: 6 µc em P (, 0, 0), 0 µc em P (, 0, 0), e 3 4 µc em P 3 (4, 0, 0). m qual das cagas age a foça de maio intensidade e qual é esse valo? 4) Duas cagas pontuais idênticas de C estão sepaadas po uma distância d m. Calcule o campo elético paa pontos petencentes ao segmento que une as duas cagas. 5) A lei da gavidade de Newton pode se escita F Gm m /, onde m e m são massas, pontuais, sepaadas po uma distância e G é a constante gavitacional; 6, m 3 /kg.s. Duas patículas, cada uma tendo uma massa de 5 mg estão sepaadas de,5 cm. uantos elétons são necessáios adiciona a cada patícula de modo a equiliba a foça gavitacional? 6) Pove que a foça de epulsão ente duas cagas pontuais e positivas sepaadas po uma distância fia é máima quando as suas cagas possuem mesmo valo. 7) Duas pequenas esfeas plásticas estão aanjadas ao longo de uma fiba isolante que foma um ângulo de 45º, com a hoiontal. Se cada esfea contive uma caga de 0-8 C, e tive uma massa de 0, g, detemine a condição de equilíbio paa as duas esfeas sobe a ampa, bem como a posição elativa ente elas. 8) Imagine que a tea e a lua possam ecebe cagas eléticas, de modo a equiliba a foça de atação gavitacional ente elas. (a) nconte a caga equeida paa a tea, se as cagas estão numa aão dieta ente as supefícies da tea e da lua. (b) ual é o valo de na supefície da lua, devido às suas cagas? Note que, uma ve que as foças de oigem gavitacional e eletostática estão elacionadas com o inveso do quadado da distância, não é necessáio conhece a distância tea-lua paa esolve este poblema. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino