SISTEMA DE COORDENADAS

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1 ELETROMAGNETISMO I 1 0 ANÁLISE VETORIAL Este capítulo ofeece uma ecapitulação aos conhecimentos de álgeba vetoial, já vistos em outos cusos. Estando po isto numeado com o eo, não fa pate de fato dos nossos estudos de eletomagnetismo. Sem ele o tatamento dos fenômenos de campos eléticos e magnéticos tona-se mais complicado, uma ve que estes são obtidos matematicamente atavés de opeações vetoiais. SISTEMA DE COORDENADAS Um eemplo pático de um sistema de coodenadas enconta-se numa cata geogáfica onde um ponto é localiado em função da latitude e da longitude, isto é, medidas angulaes que são tomadas em função de um efeencial neste sistema plano. No espaço, um ponto também pode se pefeitamente deteminado quando conhecemos a sua posição em vista de um sistema de coodenadas. Paticulamente no espaço tidimensional, um ponto é deteminado em função de 3 coodenadas. Os sistemas de coodenadas definem um ponto no espaço como futo da intesecção de 3 supefícies que podem se planas ou não. Vamos nos ate aqui a tês tipos de sistemas de coodenadas: catesianas, cilíndicas e esféicas. Sistema de coodenadas catesianas, também conhecido po coodenadas etangulaes, define um ponto pela intesecção de 3 planos. Neste sistema um ponto P (,, ) é definido pela intesecção dos planos, e constantes paalelos espectivamente ao plano 0, ao plano 0 e ao plano 0, confome a figua 0.1. É o sistema (,, ). Figua 0.1 O sistema de coodenadas catesianas ou etangulaes (,, ). UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

2 ELETROMAGNETISMO I Sistema de coodenadas cilíndicas. Neste sistema de coodenadas o ponto P (,, ) é deteminado pela intesecção de uma supefície lateal cilíndica de aio constante e altua infinita, pelo semiplano constante (que contem o eio ) e finalmente pelo plano constante, como pode se mostado na figua 0.. É o sistema (,, ). Figua 0. O sistema de coodenadas cilíndicas (,, ) Sistema de coodenadas esféicas que define um ponto P (,, ) na supefície de uma esfea de aio constante centada na oigem, vinculando-o pela intesecção desta supefície com uma outa cônica (ngulo fomado com o eio ) constante e um semiplano (contendo o eio ) constante, melho esclaecido pela figua 0.3. É o sistema (,, ). Figua 0.3 O sistema de coodenadas esféicas (,, ) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

3 ELETROMAGNETISMO I 3 VETOR Muitas gandeas necessitam de uma dieção e de um sentido além do valo e da unidade, ou seja, de sua intensidade paa uma definição pefeita. Assim, definiemos os vetoes como epesentantes de classes ou conjuntos de segmentos de etas oientadas com mesma intensidade ou módulo, dieção e sentido no espaço. A figua 0.4 mosta um mesmo veto v epesentado po segmentos de etas de mesmo tamanho, mesma oientação e paalelas no espaço. Figua 0.4 A classe de vetoes v no espaço VERSOR OU VETOR UNITÁRIO Tata-se de um veto de módulo 1, com a dieção de um dado veto v. Um veto v é v definido como múltiplo o submúltiplo de m vees este veso v e possui o mesmo sentido quando m fo positivo ou o sentido oposto, caso m seja negativo. Assim, um veto pode se epesso como o poduto de um veso po um escala de modo que: v m v (0.1) Outa foma de se indica um veso é aquela que epime a elação ente um veto e o seu pópio módulo, isto é, v v v (0.) v v Se conhecemos o sistema de coodenadas, um ponto P pode se localiado no espaço pelas componentes de um veto posição que vai da oigem deste sistema de coodenadas ao efeido ponto. Tata-se de uma soma vetoial das componentes oientadas po seus vesoes. Um veto V cuja oigem coincide com a oigem de um sistema de coodenadas catesianas e com etemidade no ponto P pode se dado po: V (P O) V + V + V (0.3) Do mesmo modo o ponto P pode se deteminado nos sistemas cilíndico e esféico sendo a soma vetoial das componentes dadas espectivamente po V (P O) V + V + V (0.4) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

4 ELETROMAGNETISMO I 4 V (P O) V + V + V (0.5) A figua 0.5 mosta os tês vesoes aplicados em P. Os vetoes unitáios do sistema etangula apesentam dieções fias, independentemente do ponto P, o que não ocoe nos outos dois sistemas de coodenadas (eceto paa o veso ), onde cada veso é nomal à sua supefície coodenada, coeente com o sentido de cescimento de cada coodenada associada ao ponto P. Figua 0.5 Vesoes das componentes coodenadas. PRODUTO ESCALAR É uma opeação vetoial cujo esultado é um valo escala, ou seja, uma gandea algébica; um valo numéico pecedido de um sinal. O poduto escala ente dois vetoes A e B cujas dieções fomam um ngulo α ente eles é denotado po A B cujo esultado é dado po: A B ABcos α (0.6) Pela elação (0.6) obsevamos que o poduto escala ente dois vetoes multiplica o módulo de um veto pelo módulo da pojeção do outo sobe ele. De acodo com a figua 0.6, em uma linguagem matemática podemos esceve: A B A.pojA B B.poj B A (0.7) O poduto escala ente dois vetoes esulta positivo quando o meno ngulo ente eles é agudo. Resulta nulo quando os vetoes foem pependiculaes e seá negativo quando o ngulo α ente os vetoes estive ente 90º e 180º inclusive. UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

5 ELETROMAGNETISMO I 5 Figua 0.6 O poduto escala ente A e B. Sendo o esultado de um poduto escala um valo algébico, a popiedade comutativa pode se assim veificada: A B ABcos α BA cosα B A (0.8) Sejam dois vetoes em um sistema de coodenadas onde A A + A + A e B B + B + B. Consideando que o poduto escala ente dois vesoes paalelos possui módulo igual a 1 e que ente vesoes pependiculaes o esultado é nulo, o poduto escala seá dado po A B A B + A B + A B O quadado do módulo de um veto pode se obtido a pati do poduto escala de um veto po ele pópio. Assim, (0.9) A A A A + A + A (0.10) PRODUTO VETORIAL O poduto vetoial ente dois vetoes A e B, onde suas dieções fomam um ngulo agudo α ente eles, denotado po A B, fonece como esultado outo veto com as caacteísticas abaio: 1. Intensidade: A B A. B sen α ABsen α ;. Dieção: pependicula aos dois vetoes A e B ; 3. Sentido: o do avanço de um paafuso de osca dieita, fonecido pela ega da mão dieita, na odem em que se tomam os dois vetoes. Em linhas geais o poduto vetoial de dois vetoes A e B pode se epesso na dieção e sentido de um veso n pependicul a a A e B, cujo sentido é dado pela ega da mão dieita e ilustado na figua 0.7. Assim, A B (ABsen α) n (0.11) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

6 ELETROMAGNETISMO I 6 Figua 0.7 O poduto vetoial ente A e B Podemos também veifica sem nenhuma dificuldade que este poduto não é comutativo e podemos esceve que se o veso estive definido n ABsen(α) n B A A B (0.1) Podemos obseva na figua 0.5 que os vesoes das coodenadas são pependiculaes ente si em qualque um sistema. Assim, cada veso pode se estabelecido em função dos outos dois como o esultado de um poduto vetoial. Paa um sistema de coodenadas catesianas ou etangulaes teemos: (0.13) Da mesma foma paa um sistema de coodenadas cilíndicas: (0.14) E paa um sistema de coodenadas esféicas: (0.15) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

7 ELETROMAGNETISMO I 7 Estas epessões mostam que cada veso pode se deteminado em função dos outos dois. Pela elação (0.1) veificamos que se invetemos a odem dos vesoes no poduto vetoial, teemos um veso negativo àqueles obtidos pelas elações (0.13), (0.14) e (0.15). Quaisque dois vetoes ou vesoes paalelos possuem o poduto vetoial nulo, visto que sen 0 sen π 0. ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE VOLUMES, LINHAS E SUPERFÍCIES Sistema catesiano Tomemos um paalelepípedo elementa de aestas d, d e d confome a figua 0.8 (a), onde o seu volume dv é dado po dv d.d.d (0.16) O elemento vetoial de linha d L é dado pela soma vetoial de suas aestas d, d e d oientadas pelos vesoes, e esultando na diagonal do paalelepípedo, de maneia que d L d + d + d (0.17) Figua 0.8 Compimentos, áeas e volumes elementaes. Sistema cilíndico Tomaemos agoa um paalelepípedo cuvilíneo cujas aestas seão dadas po d,.d e d mostadas na figua 0.8 (b). Da mesma foma como pocedemos no sistema etangula, o elemento de volume seá dv d.d.d ddd (0.18) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

8 ELETROMAGNETISMO I 8 E o compimento elementa d L seá dado então pela soma de suas componentes d, d e d oientadas pelos vesoes, e onde d L d + d + d (0.19) Sistema esféico Consideando ainda um paalelepípedo cuvilíneo de aestas d,.d e.sen.d mostadas na figua 0.8 (c), o elemento de volume seá dado po dv d.d. send senddd (0.0) Logo, o compimento elementa d L seá dado po d L d + d + send (0.1) Os elementos de áea, em qualque dos tês sistemas de coodenadas, podem se deteminados sem maioes dificuldades em qualque sistema de coodenadas, uma ve que bastaá multiplica as aestas elementaes que definem a supefície da face em questão. UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

9 ELETROMAGNETISMO I 9 IDENTIDADES VETORIAIS As identidades vetoiais elacionadas abaio podem se povadas, emboa algumas eijam do estudante um pouco de tabalho baçal. Simplificando a notação vetoial paa as identidades que seguem, os vetoes são indicados apenas po letas maiúsculas, sem as setas, enquanto que os escalaes estão epesentados po letas minúsculas. Assim: ( A B) C ( B C) A ( C A) B (a) ( B C) ( A C) B ( A B)C A (b) ( A + B) A + B (c) ( u + v) u + v (d) ( A + B) A + B (e) ( ua) A u + u( A) (f) ( uv) u( v) + v( u) (g) ( ua ) ( u) A + u( A) (h) ( A B) B ( A) A ( B) (i) ( A B) ( A ) B + ( B ) A + A ( B) + B ( A) (j) ( A B) A B B A + ( B ) A ( A )B (k) v v (l) A 0 (m) v 0 (n) ( A) A A (o) UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino

10 ELETROMAGNETISMO I 10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1) Enconte o veto A que liga o ponto P (5, 7, -1) ao ponto Q (-3, 4, 1). Calcule também o veto unitáio ou veso associado ao veto deteminado po A. ) Detemine a distncia ente os pontos A (5 mm; π; mm) e B ( 3 mm; -π/6; - mm), dados em coodenadas cilíndicas. 3) Dados A e B 3, calcule a pojeção do veto A sobe a dieção do veto B. 4) Dados os vetoes A aˆ + 4aˆ 3aˆ e B +, calcule os podutos escala e vetoial ente eles. 5) Dados A + 4 e B 6 4, calcule o meno ngulo fomado ente eles usando o poduto vetoial e o poduto escala ente eles. 6) Detemine a epessão paa o poduto vetoial ente dois vetoes genéicos A e B num sistema catesiano e moste que ele pode se calculado a pati do deteminante de uma mati ) Estabeleça uma condição de paalelismo ente dois vetoes a pati do poduto vetoial ente eles. 8) Obtenha a condição de otogonalidade ente dois vetoes. 9) Use um sistema de coodenadas esféicas paa calcula a áea sobe uma casca esféica de aio com α β. Qual o esultado quando α 0 e β π? 10) Dado o plano A + B + C K, onde K é uma constante, obtenha um veto V nomal a este plano. Pode eisti mais de uma solução? n 11) Enconte os vesoes em um sistema de coodenadas esféicas em função de coespondentes coodenadas etangulaes (catesianas). UNESP Naasson P. de Alcntaa J. Claudio Vaa de Aquino