Matemática Ficha de Trabalho

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1 . Resolve e classifica os sistemas: x + y = x + y = x + y = B x y = Matemática Ficha de Tabalho Revisões 9ºano módulo inicial ( ) x + 4 = 5 y C 4x + y = 8 ( ) y = 6 x D ( 6x + 0) = y 5. Considea o pisma pentagonal ecto e egula da figua. Indica: a) duas ectas paalelas; b) duas ectas concoentes; c) duas ectas complanaes; d) duas ectas não complanaes; e) uma ecta concoente com um plano; f) uma ecta paalela a um plano; g) dois planos paalelos; h) dois planos oblíquos. J F I G H E D B C 7. Dados os conjuntos: ={ x R : 0 < x 4} ; B=[,5[ e C=,+ a) Repesenta o conjunto em foma de intevalo de númeos eais. b) Detemina: b ) B b ) C 6. Resolve as equações: a) x 8 = 0 b) 5x 5x = 0 c) 6x + 7x + = 0 4 e) + = 4x d) ( x )( x + ) + 4x = 7 + 4x x f) x + ( x ) = x. Resolve as inequações e apesenta gaficamente e em foma de intevalo, o conjunto solução. 4 a) ( x + ) + x 5 b) ( x + ) 4x < x x + < d) c) ( 4) 6 4 ( x ) x Obseva a figua. Num jadim ectangula, uma pate é elvada e a outa, com a foma de um quadado, é destinada a floes. áea da pate elvada é 64 m. a) De acodo com os dados, detemina x. b) Qual é o peímeto do jadim? 8. Em cada um dos tiângulos ectângulos, detemina x. 4. Detemina, sob a foma de intevalo de númeos eais, o conjunto-solução da a) b) c) seguinte disjunção de inequações: x < 4 ( x) 5 x x 5 6 cm x cm 40º 0 cm º x cm 0º cm x cm

2 9. Num concuso de tio aos patos, um pato foi lançado segundo um ângulo de 0º com o solo. Sabendo que a bala o atingiu a uma altua de 0 metos, qual foi a distância pecoida pelo pato? 4. Deitaam-se tês litos de água numa caçaola de fomato cilíndico, cuja altua inteio é de 7 cm e aio 8 cm. a) Calcula a altua de água na caçaola. (Relemba que l = dm ) b) Detemina o volume total da caçaola. 0. Um depósito de água tem a foma de um cubo com metos de aesta. Detemina: a) a áea lateal do cubo; b) a áea total; c) o volume do depósito em litos. Bom Tabalho!. O iglo onde habita o esquimó Michael tem a foma de uma semiesfea com o diâmeto de 5 metos. Qual o volume de a existente dento do iglo?. Calcula o volume do seguinte objecto, constituído po uma piâmide quadangula assente num cubo.. Uma piâmide quadangula egula, de cea, tem 6 cm de peímeto da base e 5 cm de altua. piâmide vai se cotada po um plano paalelo à base paa se obte uma nova piâmide com 0 cm de altua. pate estante vai se fundida. a) Detemina o volume da piâmide inicial. b) Mosta que a medida do lado da base da nova piâmide é 6 cm. (Recoe aos tiângulos [VO] e [V O ].) c) Calcula o volume da pate que vai se fundida.

3 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES POSIÇÕES RELTIVS DE RECTS E PLNOS ) Posições elativas de duas ectas no espaço: Ficha de Tabalho MODULO INICIL Matemática - 0º no Complanaes Paalelas Concoentes Repesentação Notação matemática Designação geomética Ponto s s s P Q s B B Recta s =... s =... s =... s =... B B Semi-ecta Rectas Rectas Rectas Rectas B B Não complanaes B [B] Segmento de ecta s s Plano Modos de defini uma ecta Uma ecta fica definida po s =... Rectas s =... Rectas Modos de defini um plano

4 ) Posições de uma ecta em elação a um plano Secante Paalela CRITÉRIOS DE PRLELISMO E DE PERPENDICULRIDDE P Q Citéio de paalelismo de uma ecta com um plano Se uma ecta é paalela a uma ecta de um plano, então é paalela a esse plano. s =... s =... s =... s =... Se // s e então s // Recta Recta Recta Recta ao plano. ao plano. no plano ao plano. Citéio de paalelismo de dois planos ou Se um plano contém duas ectas concoentes paalelas a outo plano, então os ao plano. planos são paalelos. ) Posições elativas de dois planos Concoentes Paalelos β β s β β Se a, b, a é concoente com b e a // β e b // β então // β Citéio de pependiculaidade de uma ecta com um plano Se uma ecta é pependicula a duas ectas concoentes de um plano, então é β =... β =... β =... β =.... pependicula a esse plano.... Planos Planos Planos Planos a, b e a e b são concoentes. Se a e b então

5 Citéio de pependiculaidade de dois planos. Vedadeio ou falso? Se um plano contém uma ecta pependicula a outo plano, então esses planos são pependiculaes ente si. a) Po um ponto exteio a um plano passa uma infinidade de ectas paalelas a esse plano. b) Po um ponto exteio a um plano passam, pelo menos duas ectas pependiculaes a esse plano. c) intesecção de uma ecta com uma esfea pode se um segmento de ecta. d) Uma ecta intesecta uma supefície esféica no máximo em dois pontos. e) Duas aestas complanaes de um pisma são sempe paalelas. f) Duas aestas complanaes de uma piâmide nunca são paalelas. Se β e então β 4. Paa gaanti que o candeeio está pependicula ao chão temos que coloca o esquado em duas posições, com diecções difeentes. Justifica.. Quantos planos podem passa po: a) um ponto no espaço? b) dois pontos no espaço? c) tês pontos no espaço? d) tês pontos no espaço não colineaes (não alinhados)? e) uma ecta no espaço? f) uma ecta e um ponto exteio à ecta? g) duas ectas paalelas? h) duas ectas concoentes?. figua epesenta uma piâmide tiangula egula. [VC] é a altua. a) Qual a posição elativa das ectas V e LI? b) Quantas ectas passam po V e são paalelas ao plano da base? c) Quantos planos passam pelo ponto V e são pependiculaes ao plano da base? Indica um. d) É possível taça alguma ecta no plano VL, paalela à ecta VI? 5. Vedadeio ou falso? a) Num cubo, há apenas duas aestas pependiculaes à base. b) Em qualque piâmide egula as aestas lateais são oblíquas ao plano da base. c) Num cone a altua é sempe pependicula ao plano da base. d) Num pisma, qualque ecta que esteja contida no plano de uma base é paalela à outa base. e) Num pisma as aestas lateais são paalelas. f) Se uma ecta é paalela a um plano, então é paalela a todas as ectas do plano. Bom Tabalho!

6 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho SÓLIDOS PLTÓNICOS Matemática - 0º no Polígono é uma figua plana limitada po segmentos de ecta chamados lados do polígono. Quantos poliedos egulaes existem? Investiguemos quantos poliedos existem cujas faces sejam tiângulos equiláteos, começando po analisa o númeo de faces que podem concoe em cada vétice.. Poliedos de faces tiangulaes egulaes - Com tiângulos equiláteos em cada vétice, obtemos um. é um poliedo fomado po 4 tiângulos equiláteos Um polígono é egula se tem todos os lados e todos os ângulos iguais ente si.. Dos polígonos seguintes, identifica os que são egulaes justificando a tua esposta. - Com 4 tiângulos equiláteos em cada vétice, obtemos um. 60º=80º é um poliedo fomado po 8 tiângulos equiláteos 4 60º=40º Poliedos (poli = muitos; hedos = faces) são sólidos delimitados po egiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de ecta que limitam as faces designam-se po aestas e os pontos de enconto destas po vétices. - Com 5 tiângulos equiláteos em cada vétice, obtemos um. Um poliedo diz-se convexo quando os ângulos diedos fomados po duas faces consecutivas foem menoes que 80º. 5 60º=00º Um poliedo convexo diz-se egula se tem os vétices iguais e todas as faces são polígonos egulaes e iguais.

7 Seá que com 6 tiângulos equiláteos em cada vétice é possível obte um sólido? Justifica. R: é um poliedo fomado po pentágonos egulaes. 6 60º= º. Poliedos de faces quadadas Seá que com 4 pentágonos egulaes em cada vétice é possível obte um sólido? R: Seá possível constui um poliedo com hexágonos egulaes em cada vétice? R: - Com quadados em cada vétice, obtemos um. é um polied fomado po 6 quadados. 0º= º Não é possível constui poliedos egulaes tendo como faces polígonos com 90º=70º -Com 4 quadados em cada vétice não é possível constui um poliedo. Obtemos uma figua plana. 4 90º=60º. Poliedos de faces pentagonais egulaes - Com pentágonos egulaes em cada vétice, obtemos um. Podemos então conclui que há apenas cinco poliedos convexos egulaes: tetaedo, cubo, octaedo, dodecaedo e icosaedo. ou lados. Obseva os poliedos egulaes, conta o númeo de vétices, aestas e faces de cada um deles e egista os valoes na tabela que se segue: Poliedo Vétices estas Faces Tetaedo Cubo Octaedo Dodecaedo Icosaedo Númeo de Eule V+F- 08º=4º O que podes conclui quanto ao númeo de Eule de cada um dos sólidos de Platão? R: Bom Tabalho!

8 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES ) Quadiláteos Se o plano intesecta apenas quato faces do cubo, a secção obtida é um quadiláteo. Ficha de Tabalho SECÇÕES NO CUBO Matemática - 0º no figua plana esultante da intesecção de um sólido com um plano designa-se po secção ou cote. Tapézio secção deteminada num cubo po um plano pode se um tiângulo, um quadiláteo, um pentágono ou um hexágono, confome o númeo de faces que o plano intesecta. (o plano intesecta quato faces das quais duas são paalelas Paalelogamo (o plano intesecta quato faces paalelas duas a duas) Rectângulo (o plano de cote é paalelo a uma aesta do cubo) Quadado (o plano é paalelo a uma face do cubo) ente si) ) Tiângulos Se o plano intesecta apenas tês faces do cubo a secção obtida é um tiângulo. ) Pentágonos e hexágonos Se o plano intesecta cinco ou seis faces do cubo, a secção obtida é um pentágono ou um hexágono, espectivamente. Tiângulo escaleno Tiângulo isósceles (o plano é paalelo a uma diagonal facial do cubo) Tiângulo equiláteo (se o plano é paalelo a duas diagonais faciais do cubo) Pentágono (o plano de cote Hexágono (o plano de cote intesecta as seis faces do cubo) intesecta o cubo em cinco faces, po isso tem de have dois paes de faces paalelas, o que faz com que não seja possível te um pentágono egula) Tem os lados paalelos dois a dois. O plano de cote é pependicula a meio da diagonal espacial do cubo e intesecta seis aestas do cubo nos seus pontos médios.

9 . Considea os seis cubos. a) Desenha, sobe cada um a secção obtida pelo cote atavés do plano definido pelos pontos assinalados na figua e, em seguida, classifica essa secção. (Os pontos M, M e M assinalados em algumas figuas são pontos médios das espectivas aestas) Nota: Paa desenha uma secção é impotante te em atenção os seguintes aspectos: Paa defini uma ecta são necessáios dois pontos; Paa defini um plano são necessáios tês pontos; Dois planos concoentes intesectam-se segundo uma ecta; Um plano intesecta planos paalelos segundo ectas paalelas.. figua epesenta um pisma tapezoidal ecto. Condições da figua: - BD//EFH - [EFGH] é um tapézio isósceles - GH = 5cm; GM = 4cm; FG = 5cm; F = 5cm. a) Detemina FE e GE. b) secção poduzida no sólido pelo plano BGD é um ectângulo. Identifica-o e detemina o valo exacto da sua áea.. figua epesenta um octaedo. [BCDE] é um quadado de áea igual a cm. a) Indica todas as aestas não complanaes com [CD]. b) Detemina BC e BD. c) Identifica a secção poduzida no sólido pelo plano FBD e detemina o valo exacto do seu peímeto. d) Detemina o valo exacto do volume do octaedo. Bom Tabalho!

10 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho Domínios Planos Matemática - 0º no Rectas paalelas aos eixos coodenados. y Rectas veticais ecta hoizontal y = divide o plano em dois semiplanos. O semiplano fechado infeio, definido pela ecta y =, é taduzido pela condição:. O semiplano abeto infeio, definido pela ecta y =, é taduzido pela condição:. O semiplano fechado supeio, definido pela ecta y =, é taduzido pela condição:. O semiplano abeto supeio, definido pela ecta y =, é taduzido pela condição:. Indica as coodenadas dos pontos: B C B x C. Define po condições os semiplanos assinalados: a) b) c) d) e) f) g) h) Os pontos, B e C têm todos a mesma, o que taduz algebicamente pela condição:... Toda a ecta vetical que passa po um ponto de abcissa a, tem po equação:. i) j) l) m) n) o) p) q) Rectas hoizontais y Indica as coodenadas dos pontos: x D E F D E F Os pontos D, E e F têm todos a mesma, o que taduz algebicamente pela condição:... Toda a ecta hoizontal que passa po um ponto de odenada b, tem po equação:. Semiplanos ecta vetical x = 4 divide o plano em dois semiplanos. Semiplano fechado contém a fonteia, a ecta que define o semiplano. Semiplano abeto não contém a fonteia, a qual é epesentada a tacejado. O semiplano fechado à dieita da ecta x = 4, é taduzido pela condição:. O semiplano abeto à dieita da ecta x = 4, é taduzido pela condição:. O semiplano fechado à esqueda da ecta x = 4, é taduzido pela condição:. O semiplano abeto à esqueda da ecta x = 4, é taduzido pela condição:.

11 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho REFERENCIIS NO PLNO Matemática - 0º no. Num efeencial o.m. do plano considea os pontos: (,5) e B ( 4, 7) a) Desenha e epesenta po uma condição: a ) a ecta pependicula ao eixo das abcissas e que passa po. a ) a ecta paalela ao eixo das abcissas e que passa po B.. a ) a ecta pependicula ao eixo das odenadas e que passa pelo ponto simético de B em elação à oigem. b) Indica as coodenadas do ponto simético de em elação: b ) ao eixo das abcissas; b ) ao eixo das odenadas; b ) à oigem do efeencial; b 4 ) à bissectiz dos quadantes paes; b 5 ) à bissectiz dos quadantes ímpaes.. Num efeencial o.m. do plano considea o ponto B (, 4) Detemina elação ao eixo Ox.. p R de modo que o ponto C ( p ; p + ) seja simético de B em 4. Seja o conjunto de pontos apesentado no efeencial. k + Detemina k R de modo que o ponto P ; k petença ao conjunto. 5. Detemina R sombeada. m de modo que o ponto ( ; ) + m petença à egião c) Indica as coodenadas da pojecção otogonal do ponto B sobe: c ) o eixo Ox; c ) o eixo Oy. Bom Tabalho!. Num efeencial o.m. do plano considea os pontos: P ( k + ; 5) ; Q ( 9 ; k ) ; R ( k ; k ) e S ( ; k ) Detemina k R de modo que: a) o ponto P petença ao º quadante; b) o ponto R petença ao º quadante; c) o ponto R petença à bissectiz dos quadantes ímpaes; d) o ponto Q petença à bissectiz dos quadantes paes; e) o ponto S seja simético do ponto P em elação à oigem do efeencial.

12 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES 4. Define, atavés de condições, as egiões sombeadas: a) b) c) Ficha de Tabalho REFERENCIIS NO PLNO Matemática - 0º no. No plano, considea os pontos: ( a, a + 7) e B ( b, ) b R Detemina os númeos eais a e b de modo que: a) o ponto B petença ao eixo dos yy; b) o ponto petença ao º quadante. a, d) e) f). Paa cada um dos conjuntos de pontos do plano indicado abaixo, epesenta-o geomética e analiticamente: a) conjunto dos pontos de abcissa ; b) conjunto dos pontos de odenada ; c) conjunto de pontos de abcissa positiva: d) conjunto de pontos em que a odenada é simética da abcissa. g) h) i). Repesenta no efeencial o.m. do plano o luga geomético dos pontos definidos pelas condições: Bom Tabalho! a) x y < b) x = y < c) 4 < x 0 y d) x 4 y < 4 e) y x y x f) y x y x g) y = < x < 5 h) y > x 5 < x 0 i) x 4 < 6 j) ~ ( < x ) k) ~ ( y 4 ) l) ~ ( x > 6 4y 6) m) ( y ) ~ ( x 0) ~ > n) ( x > ) ~ ( y < 4) ~ o) ( x y + > 4) ~

13 Refeencial catesiano no espaço DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho REFERENCIIS NO ESPÇO Matemática - 0º no Chama-se efeencial catesiano no espaço a um sistema de tês eixos (ou ectas oientadas) concoentes no mesmo ponto (oigem do efeencial), não complanaes e em que se fixaam unidades de compimento. Se o efeencial possui cada um dos eixos pependicula aos outos dois e se fixou a mesma unidade de compimento paa os tês eixos, é um efeencial otogonal monomético no espaço. Paa que seja mais claa a visão no espaço e a deteminação das coodenadas de um ponto num efeencial tidimensional, tona-se vantajoso epesenta o paalelepípedo coespondente ao ponto. s coodenadas de P são: x =, y = 4 e = 5 z, ou seja P (,4,5). Indica as coodenadas dos estantes pontos assinalados na figua: P (,, ) P (,, ) P (,, ) P 4 (,, ) P 5 (,, ) P 6 (,, ) P 7 (,, ) P 8 (,, ) Plano xoy definido pelos eixos Ox e Oy. Todos os pontos deste plano têm cota igual a zeo. Po exemplo, os pontos: (,5,0), (, 7,0) e ( a,b,0) petencem ao plano xoy, sejam quais foem os valoes eais de a e b. Equação do plano xoy: Plano yoz definido pelos eixos Oy e Oz. Todos os pontos deste plano têm abcissa igual a zeo. Po exemplo, os pontos: ( 0,, ), ( 0,,5) e (,b,c) 0 petencem ao plano yoz, sejam quais foem os valoes eais de b e c. Equação do plano yoz: cada ponto do espaço, escolhido um efeencial, coesponde um e um só teno odenado ( x y, z) ( x y, z), de númeos eais e ecipocamente, a cada teno odenado, de númeos eais coesponde um e um só ponto do espaço. Em vez de x, y, z R, costuma indica-se (, y, z) R x. Então R = {( x, y, z) : x R y R z R} Plano xoz definido pelos eixos Ox e Oz. Todos os pontos deste plano têm odenada igual a zeo. Po exemplo, os pontos: ( 4,0,), (,0, ) e ( a 0,c) sejam quais foem os valoes eais de a e c. Equação do plano xoz:, petencem ao plano xoz, Num efeencial o.m. do espaço estão epesentados alguns pontos; são dadas as coodenadas de alguns deles: (,4,6), B (,, 4), C (, 4,) O espaço fica dividido em oito pates iguais, cada um designado po octante. Po convenção:

14 Planos pependiculaes aos eixos Imaginando os eixos isoladamente, podemos considea planos pependiculaes a cada um deles e as espectivas equações. condição x = 5 no espaço, epesenta um ponto, uma ecta ou um plano? Dado um ponto P (,4, ), qual seá: - a equação do plano que passa po P e é paalelo ao plano xoy? - a equação do plano que passa po P e é paalelo ao plano yoz? - a equação do plano que passa po P e é paalelo ao plano xoz? O que epesenta a condição x = 5 y = z =? O que epesenta a condição x = y = 4 no espaço? Equações dos eixos coodenados Cada uma das ectas que contém um eixo coodenado é a intesecção de dois planos coodenados: o eixo Ox é a intesecção dos planos o eixo Oy é a intesecção dos planos xoy e xoz xoy e yoz Equação do eixo Ox: Equação do eixo Oy: o eixo Oz é a intesecção dos planos xoz e yoz Equação do eixo Oz: Semiespaços Um plano divide um espaço em dois semiespaços. condição x > a epesenta o conjunto dos pontos do espaço que se situam. do plano. condição y < b epesenta o conjunto dos pontos do espaço que se situam. do plano. condição z > c epesenta o conjunto dos pontos do espaço que se situam. do plano.

15 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho REFERENCIIS NO ESPÇO Matemática - 0º no planos que contêm as faces do cubo... Indica o ponto simético de H elativamente:... ao eixo Oz;..4. ao plano yoz;... ao eixo Ox;..5. ao plano xoz;... ao eixo Oy;..6. ao plano xoy;..7. à oigem do efeencial.. Considea o efeencial o.m. da figua... Detemina as coodenadas dos pontos: (,, ) B (,, ) C (,, ). Na figua a oigem do efeencial coincide com o cento do paalelepípedo ectângulo. B é paalela a Oy e D é paalela a Ox. D (,, ) E (,, ) F (,, ).. Repesenta e indica a pojecção otogonal do ponto D sobe o plano xoz... Indica as coodenadas dos pontos siméticos de C e D em elação:... aos planos... xoz;... aos eixos... Ox;... yoz;... Oy;... xoy.... Oz.... à oigem do efeencial... Detemina as coodenadas dos oito vétices do paalelepípedo... Esceve uma equação do plano que contém [BCGF]... Indica as coodenadas do simético de F (identificando-o na figua) em elação:. Na figua está epesentado num efeencial o.m. do espaço um cubo de volume 64 cm. unidade de medida é o centímeto. O efeencial epesentado tem oigem no cento do cubo e os eixos contêm os centos das faces... Detemina as coodenadas dos vétices do cubo... Esceve uma equação que defina cada um dos... ao eixo Oz;..4. ao plano yoz;... ao eixo Ox;..5. ao plano xoz;... ao eixo Oy;..6. ao plano xoy;..7. à oigem do efeencial.

16 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES 8. Indica uma equação da cicunfeência de cento C (, 9) das abcissas. 5 e tangente ao eixo Ficha de Tabalho LUGRES GEOMÉTRICOS Matemática - 0º no. Detemina num efeencial otonomado, as coodenadas dos pontos da ecta x = cuja distância ao ponto P (, ) é 5.. Calcula as coodenadas dos pontos da bissectiz dos quadantes ímpaes cuja distância ao ponto (, ) 5 é 6.. Considea o ponto (, 4). Enconta as coodenadas de dois pontos do eixo dos yy que distem de unidades. 4. Dados os pontos: (, ) e B (, ) 4. a) Define algebicamente o conjunto dos pontos equidistantes de e de B. b) O ponto C (, ) petence ao conjunto definido na alínea a)? Justifica. c) Detemina a R, de modo que o ponto D ( a a, a + 5a) mediatiz de [B]. 5. Sendo P ( k 5, k) e Q (, 5) T (, ) seja o ponto médio de [PQ]. + petença à 8, detemina k R, de modo que o ponto 6. Detemina a intesecção da ecta y = x + com a mediatiz do segmento de ecta de extemidades (, 0) e (, ) Considea num efeencial o.n. os pontos (, ) ; B (, ) e C (, 0). a) Veifica se o tiângulo [BC] é ectângulo. b) Esceve uma equação da cicunfeência de cento e que passa po C. c) Detemina o ponto de intesecção das mediatizes dos segmentos [BC] e [C]. 9. Define uma equação da cicunfeência tal que: a) o cento é o ponto C (, 4) e passa pela oigem do efeencial; b) um diâmeto é o segmento [B], onde (, 5) e B (, ) 0. Considea a cicunfeência ( x ) + ( y 5) = 6 Detemina os pontos de intesecção da cicunfeência com: a) os eixos coodenados; b) a ecta x = 5; c) a ecta y = ; d) a bissectiz dos quadantes paes; e) a bissectiz dos quadantes ímpaes. 8.. Considea a cicunfeência de equação: 4x + 4y 4x + 8y = a) Detemina as coodenadas do seu cento e o valo do aio. b) Veifica as posições dos pontos (, ) e B, cicunfeência. elativamente à. veigua se as equações seguintes epesentam ou não cicunfeências e, em caso afimativo, indica o espectivo cento e aio. a) x + y x + 4y + 5 = 0 b) x + y 0x + y = c) x + y + x 4y + 6 = 0 d) x + y 6x 8y = 5 e) x + y 0x 4y = 45

17 . Detemina os valoe de k R, de modo que a expessão x + y 8x + 0y + k = 0 epesente: a) um ponto; b) uma cicunfeência; c) o conjunto vazio; d) uma cicunfeência de aio Define analiticamente o conjunto dos pontos do plano a sombeado. a) b) c) 4. Detemina o aio da cicunfeência cento o ponto C (, ) 0. x + y mx + ( m + ) y = 5 m, sendo o d) e) f) 5. Mosta que se tivemos (,,) e B (,, ) mediado do segmento de ecta [B] é z = x., a equação do plano 6. Esceve a equação da supefície esféica de cento no ponto (,, ) tangente ao plano de equação z =. 7. Esceve a equação da esfea de cento no ponto ( 4,, ) plano de equação x = 4. e e tangente ao 8. Relaciona m e a (paâmetos eais) de foma que a equação x + y + z 4x + ay z + m = 0, epesente uma supefície esféica de aio Define atavés de uma condição o conjunto de pontos do espaço: a) cuja distância a (, 4, ) é não supeio a 5; b) que são equidistantes de (, 4, ) e (,, ) ; ; c) da supefície esféica de diâmeto [B], sendo (,,) e B ( 5,, 8) d) do plano mediado do segmento que tem (,,) ; médio ( 5,, 8) po extemo e o ponto e) com abcissa positiva e inteioes à cicunfeência de cento na oigem e aio. Repesenta num efeencial o.m. do plano, os conjuntos de pontos definidos pelas condições: a) ( < x ) x + y < 9 x ; b) ( x > y < ) ( x ) + ( y + ) < 6 c) x + y < 9 x + y ; d) x + y + 4x y + 4 0; e) x x < ( x + ) + ( y ) < 6 y ; f) x + y < 9 ( x 5) + ( y ) > 6 0.

18 DRUIDS DO SBER CENTRO DE EXPLICÇÕES Ficha de Tabalho OPERÇÕES COM VECTORES Matemática - 0º no u + 0 = 0 + u, qualque que seja o vecto u...5. OS +... =... + OS = OS ; adição de vectoes goza da popiedade ( u) = u + = 0 u + u, qualque que seja o vecto u. Opeações com vectoes. O paalelogamo [ETP] está dividido em doze paalelogamos geometicamente iguais...6. BD + US = US +... =...;..7. O vecto US é de ; adição de vectoes goza da popiedade.. Completa:... NO + DE =..;... SH + IP =..;... F =..; B =..;..5. GR =..;..6. QU =..; 4 Popiedades da multiplicação de um vecto po um númeo.. Completa de modo a obtees poposições vedadeias: ( k h) u = ku + hu +, k, h R, qualque que seja o vecto u.... ( + ) RS =..;... RS + RS =..; Popiedades da adição de vectoes.. Completa de modo a obtees poposições vedadeias: ( u v) = ku kv k + +, k R, quaisque que sejam os vectoes u e v.... ( PO + MH )=..;..4. PO + MH =..; u + v = v + u, quaisque que sejam os vectoes u e v.... MD + OP =..;... OP + MD =..; adição de vectoes goza da popiedade ( h u) ( k h)u k. =., k, h R, qualque que seja o vecto u...5. GJ =..;..6. GJ =..; ( u v) + w = u + ( v + w) +, quaisque que sejam os vectoes u, v e w.... ( + OP) + MR = DN..;..4. DN + ( OP + MR)=..; adição de vectoes goza da popiedade.u = u, qualque que seja o vecto u...7..ie =..;

19 Opeações com vectoes dados pelas suas componentes No plano: soma do vecto u = ( u, u ) com o vecto ( v,v ) w = ( u + v, u + v ). No espaço: soma do vecto u = ( u, u u ) com o vecto ( v, v v ) ( u + v, u + v u v ) w = +.,, v = é o vecto v = é o vecto,. Considea o efeencial o.n. (O, i, j). Coodenadas de um vecto live definido po dois pontos No plano: De um modo geal, conhecidas as coodenadas de dois pontos ( x y ) B ( x B y B ) B = B = ( x x, y y ), e,, as coodenadas de B obtêm-se das de e B pela elação: B B No espaço: De um modo geal, conhecidas as coodenadas de dois pontos ( x, y, z ) e B ( x B yb, zb ) elação: B = B = ( x x, y y, z z ) Soma de um ponto com um vecto B,, as coodenadas de B obtêm-se das de e B pela B soma do ponto com o vecto B é o ponto B (extemidade de B ) Noma de um vecto noma de um vecto u é a medida do seu compimento. No plano: De um modo geal, dado um vecto u = ( u, u ), então: No espaço: De um modo geal, dado um vecto u = ( u, u u ) u = u + + u u B,, então: u = + + B = B u u.. Expime em função de i e j os vectoes: B, CD, EF, HG, IJ, LM e NO... Detemina as coodenadas dos vectoes: B + CD ; EF + HG ; IJ LM e NO Detemina as nomas dos vectoes:.4.. NJ ;.4.. B EF..5. Veifica se são ou não colineaes cada um dos seguintes paes de vectoes:.5.. B + EF e ML;.5.. ML e NJ..6. Detemina k R, de modo que o vecto w = ki + j seja colinea com:.6.. B EF; Dois vectoes que têm a mesma diecção são colineaes. O vecto nulo é colinea com qualque vecto. \ 0 : Os vectoes u e v são colineaes se e só se: existe k R { } u = kv.6.. EF + CD..7. Detemina um vecto colinea com EF e de noma.

20 . figua epesenta um pisma ecto. Sabe-se que B (,, ) e E (,, )... Indica:... dois vectoes iguais;... dois vectoes com o mesmo compimento, mas diecções difeentes;... dois vectoes siméticos;..4. um vecto colinea com HD ;..5. dois vectoes não colineaes... Calcula:... + B ;... E + GB ;... H + EC ; HG + BC ; C + DE + FE ; BD GB. 4. Num efeencial (O,, e, e B (, 5, ) e ) do espaço, considea os pontos (, 0, ) 5 e os vectoes u = e + 4e e e v = e + e. 4.. Indica as coodenadas de u e v. 4.. Calcula as coodenadas do ponto P de modo que P = u + v. 4.. Esceve uma equação vectoial: 4... da ecta B; 4... da ecta que passa no ponto médio de [B] e tem a diecção de v Indica uma equação do plano que contém os pontos e B. 5. Dados os vectoes u (, ) ; v ( 4,) e ( 0, ) w no efeencial (O, e, e ). e 5.. Detemina os valoes eais de p e k de modo que o vecto ( p ; k + ).. Define pelas suas coodenadas:... os pontos e G;... HD;... F + FC. epesente o vecto v + w. 5.. Detemina m R, de modo que a noma do vecto ( m ; m) noma de u. seja igual à 5.. Calcula as coodenadas de um vecto x, colinea com u e de noma igual a.4. Detemina as nomas dos vectoes: teze vezes a noma de w..4.. H ;.4.. DC + DH..5. Detemina, caso exista, k R de modo que o vecto EC seja colinea com o vecto = ( k ; 0 ; k ) u..6. Esceve uma equação vectoial de cada uma das seguintes ectas:.6.. BE;.6.. D.