MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS. Exercícios

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1 MECÂNICA DO MEIO CONTÍNUO Execícios Mecânica dos Fluidos 1 Considee um fluido ideal em epouso num campo gavítico constante, g = g abendo que p( z = 0 ) = p a, detemine a distibuição das pessões nos casos em que: a) ρ = constante; b) ρ = a p, onde a é uma constante c) p = aρ b, onde a e b 1 são constantes d) Compae gaficamente os esultados das alíneas anteioes Num canal de secção tansvesal ectangula, a altua da água (densidade ρ) num lado de uma compota é H, enquanto do outo lado é h (h < H) abendo que a lagua da compota é L, detemine a foça total execida na compota 3 Um tanque cúbico de lado L enconta-se cheio de um líquido O tanque é fechado po uma pota vetical constituída po dois painéis A e B Qual deve se a altua de cada painel paa que a foça supotada po cada um deles seja a mesma? L h A B 4 Um ecipiente de foma semi-cilíndica (compimento L e aio R) está cheio de um líquido de densidade ρ Moste que a foça total execida pela água no fundo do ecipiente é igual ao peso do líquido x 5 Considee o globo teeste como um fluido ideal incompessível e homogéneo de densidade ρ = 550 Kg/m 3 Despezando o movimento de otação da Tea em tono do seu eixo, detemine a pessão no cento da Tea 6 Considee um escoamento estacionáio e incompessível atavés de um canal convegente O campo de velocidades é dado po: x v = v L i o 1 + a) Detemine a aceleação do fluido b) Expesse a posição de uma patícula de fluido em função do tempo, sabendo que no instante t = 0 esta se encontava na posição x = 0 Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios 1

2 7 Um ecipiente gande, contendo um líquido incompessível, é aceleado a uma taxa constante a = a j num campo gavítico g = g Detemine o declive da supefície do líquido Considee que a oigem do sistema de coodenadas se enconta na supefície do líquido z 8 Um ecipiente de foma cilíndica com aio R gia em tono do seu eixo (vetical) com velocidade angula, ω, constante O ecipiente contém um líquido incompessível, cuja altua no ecipiente em epouso é H O fluido enconta-se sujeito à acção de um campo gavítico constante Escolha o sistema de coodenadas de tal modo que a oigem coincida com o cento da base do ecipiente e que o eixo dos zz seja vetical e aponte paa cima a) Detemine a foma da supefície do líquido b) Calcule a distibuição de pessões no fundo do ecipiente Qual a foça total execida pelo líquido no fundo do cilindo? Compae com a foça total execida quando o ecipiente se enconta em epouso c) Detemine, na supefície do fluido, a difeença de altua ente os pontos mais alto e mais baixo d) abendo que a altua do ecipiente é 4H/3, detemine o valo máximo da velocidade angula, ω max, de tal modo que o fluido não seja deamado 9 Considee o globo teeste como um fluido ideal incompessível e homogéneo de densidade ρ = 550 Kg/m 3 em despeza o movimento de otação da Tea em tono do seu eixo, detemine: a) a pessão no cento da Tea; b) o achatamento nos pólos 10 Uma esfea de aio R move-se com velocidade u constante atavés de um fluido ideal incompessível a) Detemine a distibuição de velocidades do fluido em tono da esfea (considee que o cento da esfea coincide com a oigem do sistema de coodenadas esféicas, u está oientado na diecção do eixo dos zz); b) a distibuição de pessões no fluido em tono da esfea; 11 Um líquido escoa-se de um esevatóio de altua h=10cm atavés de um tubo de compimento H=10cm abendo que A=100cm e B=01cm, detemine o tempo necessáio paa esvazia o esevatóio (assuma que o escoamento é estacionáio) aea A h aea B H Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios

3 1 Considee o escoamento estacionáio de um fluido viscoso incompessível de densidade ρ e coeficiente de viscosidade η ente duas placas planas paalelas à distância d uma da outa abendo que uma placa se move com velocidade v o elativamente à outa, detemine: a) a distibuição de velocidades do fluido; b) o caudal volúmico; c) a foça po unidade de supefície execida pelo fluido nas placas; d) a dissipação de enegia devida à viscosidade 13 Um fluido viscoso incompessível densidade ρ e coeficiente de viscosidade η, contido ente duas placas paalelas e infinitas colocadas à distância a uma da outa, escoa-se estacionaiamente po acção de um gadiente de pessão Detemine: a) a velocidade do fluido, escolhendo os eixos de coodenadas de acodo com a figua; b) o caudal mássico; c) a foça po unidade de supefície execida pelo fluido nas placas; d) a dissipação de enegia po unidade de volume e de tempo z -a +a x 14 Uma camada de um fluido viscoso incompessível de espessua H é limitada po uma supefície sólida inclinada (ângulo de inclinação α) e pela atmosfea O escoamento estacionáio do fluido deve-se à acção da foça gavítica Detemine a) a velocidade de escoamento do fluido; b) a distibuição de pessões no fluido (Escolha o sistema de coodenadas tal como é indicado na figua) H α x 15 Numa conduta de secção tansvesal cicula de aio R = 3 cm escoa-se um líquido viscoso de densidade ρ = 1600 Kg/m 3 e coeficiente de viscosidade η=16x10 3 Ns/m, cuja distibuição de velocidades é dada po v = v R max 1, onde v max = 8 m/s e o eixo dos zz está oientado ao longo do eixo da conduta Detemine: a) o caudal mássico do líquido na conduta; b) a dissipação de enegia, po unidade de tempo e po unidade de compimento da conduta, devida à viscosidade Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios 3

4 16 Considee o escoamento estacionáio de um fluido viscoso incompessível atavés de um tubo de secção tansvesal cicula de aio R O fluido enconta-se submetido a um gadiente de pessão, dp/dz (oiente o eixo dos zz ao longo do eixo do tubo, no sentido do escoamento do fluido) a) Detemine a velocidade do fluido b) Detemine o caudal volúmico c) Qual a foça po unidade de supefície que o fluido exece sobe o tubo? d) Calcule a dissipação de enegia po unidade de compimento, sabendo que não actuam foças exteioes 17 Considee o escoamento estacionáio de um fluido viscoso incompessível ente dois cilindos coaxiais de aios R 1 e R, (R 1 < R ) O cilindo inteio gia em tono do seu eixo com velocidade angula ω constante O cilindo exteio está fixo Os cilindos são pemeáveis ao fluido, de tal modo que a velocidade do fluido tem uma ur1 componente adial dada po v ( ) =, onde u é uma constante Assuma que a pessão apenas depende de a) Moste que a equação de continuidade é satisfeita b) Detemine a velocidade do fluido ente os cilindos (ugestão: pocue a solução sob a foma de um polinómio; denote a gandeza ρur 1 /η po N) c) abendo que p(r ) = p, detemine a foça po unidade de supefície execida pelo fluido no cilindo exteio 18 Um cilindo de aio R 1 move-se ao longo do seu eixo com velocidade u = ue z dento de outo cilindo de aio R Os cilindos são coaxiais Ente os dois cilindos enconta-se um fluido viscoso incompessível de densidade ρ e coeficiente de viscosidade η ln( R ) a) Moste que a velocidade do fluido é dada po v ( R R ) u = ln 1 b) Detemine o caudal mássico c) Detemine a dissipação de enegia devida à viscosidade 19 Considee as seguintes expessões: (m) (m) a) ρdv = J d, onde J = ρv t t V b) ρv idv = V J (p) i d (p), onde J i = pδ i + ρv vi 1 (ec) V vi (ec) 1 v c) v dv J d dv t V ρ = + i σ, onde J = v ρv + p σ ivi x (l) (l) d) εijmx jvmρdv = Ji d, onde J i = εijmx j( ρv v m σ m ) t Taduza esta equação po palavas Qual o significado físico? Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios 4

5 Teoia da Elasticidade 0 Moste que a enegia de defomação elástica se pode esceve nas fomas: 1 K a) U elast = µ u i δiu mm + u mm ; 3 1 b) U elast = σiu i ; E σ c) U elast = u i + u mm ( 1+ σ) 1 σ 1 Considee um paalelipípedo ectangula de mateial elástico oientado segundo os eixos coodenados O paalelipípedo está bloqueado ente dois planos pependiculaes ao eixo dos xx Ao longo do eixo dos zz o paalelipípedo está sujeito a uma compessão unifome a) Detemine o tenso das tensões b) Detemine o tenso das defomações c) Calcule as pessões nas supefícies lateais d) Calcule a vaiação elativa do volume do paalelipípedo e) Calcule a enegia de defomação elástica Um paalelipípedo de mateial elástico, oientado segundo os eixos coodenados, enconta-se sujeito a uma compessão unifome ao longo do eixo dos zz O paalelipípedo está bloqueado de tal modo que as suas dimensões tansvesais não podem vaia Detemine: a) as pessões nas supefícies lateais que bloqueam o paalelipípedo; b) a enegia de defomação elástica 3 Detemine a defomação de uma esfea de mateial elástico, cujo aio é R, módulo de Young é E e o coeficiente de Poisson é σ, sujeita a uma pessão exteio p 4 Detemine a defomação de uma esfea oca de mateial elástico, cujo módulo de Young é E e coeficiente de poisson é σ O aio inteio da esfea é R 1 e o aio exteio é R ; a pessão no inteio é p e no exteio é nula 5 Detemine a defomação de uma camada esféica elástica fina de espessua h = R R 1, tal que h << R R1, R A pessão no inteio da camada esféica é p e no exteio é nula 6 Uma esfea elástica oca de aio R está sujeita a uma pessão inteio p e exteio nula Detemine as componentes do tenso das tensões 7 Considee um meio elástico ilimitado com uma cavidade esféica de aio R Dento da cavidade a pessão é p Detemine as componentes do tenso das tensões 8 Detemine a pessão no cento de uma esfea elástica de aio R e densidade ρ, que se defoma sob a acção do seu pópio campo gavitacional Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios 5

6 9 Detemine a defomação de um cilindo oco, longo, de mateial elástico, cujo aio exteio é R e aio inteio R 1 A pessão no inteio do cilindo é p e no exteio é nula Considee que o cilindo não se defoma longitudinalmente 30 Detemine a defomação de um cilindo de aio R e densidade ρ, que gia em tono do seu eixo com velocidade angula constante, Ω=const O módulo de Young é E, o coeficiente de Poisson é σ e a pessão execida na supefície exteio do cilindo é nula Considee que o cilindo não se defoma longitudinalmente e despeze a foça gavítica (Nota: a foça centífuga volúmica é dada po vecto unitáio adial) F = ρ Ω e, onde e é um 31 Considee um cilindo de boacha de densidade ρ, altua H e áea da base, colocado veticalmente sobe um plano hoizontal Coloque a oigem do sistema de coodenadas no cento da base infeio do cilindo e oiente o eixo dos zz veticalmente, de baixo paa cima a) abendo que só a componente σ zz do tenso das tensões é difeente de zeo, σ zz = - ρg(h-z), detemine a enegia de defomação elástica do cilindo sob a acção do seu pópio peso; b) Moste que essa enegia é oito vezes maio paa o conjunto de dois cilindos colocados um sobe o outo 3 Um cilindo elástico de aio a e compimento L está sujeito a uma tosão O tenso das tensões tem componentes: 0 0 αµ σ ij = 0 0 αµ x, αµ αµ x 0 onde µ é um coeficiente de Lamé e α é o ângulo de tosão po unidade de compimento Detemine a enegia de defomação elástica do cilindo Pessão na supefície da Tea: p s = 1 atm = 1013 x 10 5 Pascal Raio médio da Tea: R = 6371 x 10 6 m Constante de Newton: G = 6673 x m 3 g 1 s Velocidade angula da Tea em tono do seu eixo: ω = 7 x 10 5 s 1 Aceleação da gavidade: g = 4 π 3G ρ e, R Mecânica dos Meios Contínuos - Execícios 6