3. Potencial Eléctrico

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1 3. Potencial Eléctico 3.1. Difeença de Potencial e Potencial Eléctico Difeenças de Potencial num Campo Eléctico Unifome Potencial Eléctico e Enegia Potencial de Cagas pontuais Potencial Eléctico de Distibuições Contínuas de Caga Potencial dum Conduto Caegado Cálculo do campo eléctico a Pati do Potencial Eléctico. 1

2 Foças consevativas enegia potencial Exemplos: Foça da gavidade, foça elástica duma mola, foça electostática... Potencial Eléctico (gandeza escala) (gande valo pático) Lei da consevação da enegia voltagem que se mede ente dois pontos dum cicuito eléctico é a difeença do potencial eléctico ente os pontos. Uma vez que a foça electostática dada pela lei de Coulomb é consevativa, podemos desceve os fenómenos electostáticos em temos de uma enegia potencial. 2

3 3.1. Difeença de Potencial e Potencial Eléctico foça gavitacional é consevativa (Lei da gavitação univesal) foça electostática (Lei de Coulomb) tem a mesma foma, também é consevativa É possível defini uma função enegia potencial associada a essa foça. Caga de pova q 0 colocada num campo electostático E Soma vectoial de todas as foças F = qe 0 individuais consevativa. qe O tabalho feito pela foça é simético do tabalho feito po uma foça extena que deslocasse essa caga no campo 0 E 3

4 O tabalho efectuado pela foça eléctica, sobe a caga de pova, ds dw = F ds = q E ds num deslocamento infinitesimal é: 0 qe 0 pecuso Po definição, o tabalho feito po uma foça consevativa é igual ao simético da vaiação da enegia potencial, du: du = q E ds 0 No caso de um deslocamento finito de caga de pova, ente os pontos e, a vaiação da enegia potencial é: U = U U = q E ds 0 Integal de linha Não depende do pecuso seguido ente e Foça Consevativa 4

5 Po definição, a difeença de potencial, V -V, ente os pontos e é igual à vaiação da enegia potencial dividida pela caga de pova q 0. U U V V = = E ds q Difeença de potencial enegia potencial. - Popocionais U = q 0. V - U escala V escala U = W = K - U = simético do tabalho (W) feito sobe a caga pela foça eléctica dessa caga, sendo também igual ao simético da vaiação da enegia cinética ( K). V -V = ao tabalho, po unidade de caga, que uma foça extena deve efectua paa desloca uma caga de pova, no campo eléctico, de até, sem altea a vaiação da enegia cinética (K) da caga. 5

6 - equação 1 define somente a difeença de potencial somente as difeenças de V têm sentido. - Po conveniência, a função V é tomada muitas vezes como nula num deteminado ponto. Usualmente escolhemos um ponto no infinito ( ) como o ponto de potencial nulo Com essa escolha: O potencial eléctico num ponto abitáio é igual ao tabalho necessáio, po unidade de caga, paa taze uma caga de pova positiva do infinito até o ponto consideado. V = 0 no VP P = E ds Na ealidade V P epesenta a difeença de potencial ente P e um ponto no. 6

7 Difeença de potencial é uma medida de enegia po unidade de caga (SI) 1 V (volt) = 1 J/C difeença de potencial também tem as unidades de campo eléctico vezes distância a unidade SI de campo eléctico (N/C) também pode se expessa como volt po meto: 1 N/C = 1 V/m Unidade de enegia usualmente usada em física atómica e nuclea é o electãovolt [def.: enegia que um electão (ou um potão) adquie ao desloca-se atavés de uma difeença de potencial de 1V]. 1 ev = 1, C V = 1, J Execício 1: Calcule a a difeença de potencial necessáia paa acelea um electão num feixe de um tubo de TV a pati do epouso, sabendo que a sua velocidade é de 5x10 7 m/s. K = ½(mv 2 )-0=0,5 9,11x10-31 (5x10 7 ) 2 = 1,14x10-15 J K= 7125 ev V = V 7

8 3.2. Difeenças de Potencial num Campo Eléctico Unifome difeença de potencial não depende da tajectóia ente esses dois pontos; isto é, o tabalho de leva uma caga de pova (q 0 ), do até, é sempe o mesmo, ao longo de qualque tajectóia. Um campo eléctico unifome, estático, é consevativo. duas placas caegadas d E o V V = V = E ds = E cos 0 ds = Eds V = E E = cte ds = Ed V < V Linhas do campo eléctico apontam no sentido do potencial decescente. 8

9 Se uma caga de pova q 0 se desloca de paa a vaiação da sua enegia potencial vai se: U = q0 V = q0ed F = q 0 E = ma Se q 0 > 0 U < 0 Uma caga (+) pede enegia potencial eléctica quando se desloca na diecção e sentido do campo eléctico. q 0 é aceleada no sentido de ganha enegia cinética (K) e pede igual quantidade de enegia potencial (U). Se q 0 < 0 U > 0 Uma caga (-) ganha enegia potencial eléctica (U) quando se move na diecção do campo eléctico, mas no a E sentido contáio ( diecção oposta à diecção do campo eléctico). Quando uma patícula caegada é aceleada, ela pede na ealidade, enegia, pela adiação de ondas electomagnéticas. 9

10 E d θ C V < V V = V C Caso geal: V = E ds = E ds = E d U = q0 V = q0e d = E d cosθ Todos os pontos sobe um plano pependicula a um campo eléctico unifome estão num mesmo potencial: e C estão ao mesmo potencial V -V =V C -V Supefície equipotencial é qualque supefície constituída po uma distibuição contínua de pontos que possuam o mesmo potencial. Sendo U = q 0 V, não há tabalho paa se desloca a caga de pova ente dois pontos sobe uma mesma supefície equipotencial. O ponto está a um potencial infeio ao de. 10

11 Execício 2: Uma bateia de 12 V está ligada a duas placas planas e paalelas, confoma a figua em baixo. sepaação ente as placas é de 0,3 cm. Detemine o módulo do campo eléctico ente as placas, assumindo que é unifome. E = V V d = 12 = 0, ( V/m) placa positiva está a um potencial mais elevado que o da placa negativa 11

12 Execício 3: Ente as placas metálicas paalelas de dois condutoes electizados existe um campo eléctico unifome de intensidade E = 100 N/C. Uma patícula de caga q =10 µc e massa m=1 g peneta na egião pependiculamente às linhas de foça do campo, com uma velocidade hoizontal v 0 = 10 m/s, de acodo com a figua, atingindo, depois de ceto tempo, a placa negativa. dmitindo que a única inteacção sobe a patícula é eléctica, detemine: a)a aceleação da patícula; b)o intevalo de tempo que a patícula leva paa i de uma placa à outa; c)a enegia cinética da patícula imediatamente antes de atingi a placa negativa; d)o tabalho da foça eléctica no deslocamento da patícula de uma placa à outa. 12

13 Execício 3: esolução a) F = ma e qe a = a= 1 m/s m b) y = at y = t t = fy 0y y fy f fx fy 2 s c) v =v + a t = v = 2 m/s v = v + v = = 10, 2 m/s 1 2 Kf = mvf Kf = 0,052 J 2-3 d) W = qed W = 2 x 10 J

14 3.3. Potencial eléctico e enegia potencial de cagas pontuais Caga pontual positiva isolada. E adial, paa foa Difeença de potencial na supefície ente e : ds V V = E E ˆ q E q = k 2 ˆ ds E ds = k q 2 ˆ ds? ds = 1 ds.cosθ = d ds ˆ (θ ângulo ente ) ˆ e 14

15 E ds ds ds cosθ é a pojecção de sobe ds cosθ = d (qualque deslocamento povoca uma vaiação d no módulo de ) ds q = k d 2 d V V = Ed = kq 2 = kq E E ˆ ds q V V = 1 kq 1 E ds é independente da tajectóia ente e, como deve se. 15

16 V -V só depende das coodenadas adiais e É comum escolhe como zeo o potencial em = 1 (natualmente V ; V 0 ) Com esta escolha, o potencial eléctico de uma caga pontual, a uma distância da caga, é: V = k q V é constante sobe uma supefície esféica de aio. No caso de uma esfea, as supefícies equipotenciais esféicas e concênticas com a caga. são supefícies Recode que uma Supefície equipotencial é pependicula em cada ponto a uma linha do campo eléctico. V = Ed 16

17 V = Ed a b E E Supefícies equipotenciais (---) e linhas do campo eléctico ( ) a campo eléctico unifome b uma caga pontual povocado po um plano caegado V = k q 17

18 c Um dipolo eléctico 18

19 Potencial eléctico de duas ou mais cagas pontuais pincípio da sobeposição. Potencial total em P: qi V = k 1 i i Onde tomamos V = 0 no, e i é a distância do ponto P à caga q i! 1 é uma soma algébica de escalaes é muito mais fácil calcula V do que calcula E 19

20 Enegia potencial de inteacção de um pa de patículas caegadas V 1 = potencial da caga q 1 no P o tabalho necessáio paa taze q 2, do até P, sem aceleação, é dado po q 2 V 1 Po definição, esse tabalho é o simético da vaiação da enegia potencial, U, do sistema de 2 patículas sepaadas po 12. q 1 12 q 2 P U = q V = 2 1 K q1q 12 2 q 1 e q 2 mesmo sinal U > 0 q 1 e q 2 epelem-se e efectuou-se tabalho sobe o sistema paa apoxima uma caga da outa. q 1 e q 2 sinais opostos U < 0 q 1 e q 2 ataem-se e o sistema cede tabalho quando as cagas se apoximam. 20

21 Exemplo: Tabalho ealizado paa leva a caga q de paa na pesença da caga Q W F ds q = = E ds F e( ) e e ( ) W = U = U U F f i Q qq WF = U e U = qv qv = k k d qq d O tabalho ealizado pode também se calculado a pati da áea sob o gáfico da Foça em função da distância à caga Q. O tabalho ealizado não depende da tajectóia efectuada paa i de paa, em vitude da foça eléctica se consevativa. 21

22 Se o sistema tive mais de duas patículas caegadas Cálculo de U paa todos os paes de cagas Soma algébica dos esultados. 12 q q 1 q 3 Paa 3 cagas, po exemplo, teemos a enegia potencial de inteacção ente as cagas: U q1q = k q1q q2q Intepetação: Suponhamos q 1 fixa (numa posição dada) e q 2 e q 3 no Tabalho paa taze q 2 do à sua posição na vizinhança de q 1 é igual à enegia potencial: Tabalho paa taze q 3 do à sua posição na vizinhança de q 1 e q 2 é igual à enegia potencial: = = qq 1 2 U qv 2 1 k 12 qq qq U = qv 3 1+ qv 3 2= k + k

23 Execício 4: Duas cagas pontuais, Q 1 = 4x10-8 C e Q 2 = -4x10-8 C, ciam um campo eléctico, como mosta a figua. Detemine: a) o potencial eléctico total no ponto a; b) o potencial eléctico total no ponto b; c) o tabalho ealizado pela esultante das foças elécticas, no deslocamento de uma caga q= 1x10-10 C, desde o ponto a até ao ponto b. d 1 d 2 d 1 d 2 a) V a1 kq d 1 = = 1 3 3,6x10 V V a = Va1 + Va2 V a2 V a = 0 kq d 2 3 = = 3,6x10 V 2 b) kq 1 3 Vb1 = Vb1 = 6x10 V d' 1 V b = Vb1 + Vb2 V b kq 2 3 Vb2 = Vb2 = 9x10 V d' 2 = 3x10 3 V c) W a b U q V q( Vb Va) -7 = = = W = 3 x 10 J a b 23

24 3.4. Potencial Eléctico de Distibuições Contínuas de Caga. dq P Potencial total em P: q Duas maneias: V = k 1. Desconhecendo o campo eléctico, V pincipiamos consideando o potencial de um elemento de caga dq, tatado como caga pontual dq dv = k dq = k a O que fizemos foi substitui a soma na equação anteio po um integal paa todo o volume da distibuição de cagas. expessão a taz implícita uma escolha específica do potencial de efeencia: V = 0 num ponto P localizado infinitamente distante da distibuição de cagas. 24

25 2. Pincipiamos com V = V V = U U q 0 = E ds b Método útil quando se conhece o campo eléctico, po outas consideações, como a Lei de Gauss. Distibuição de cagas muitos siméticas calculamos E, P mediante a Lei de Gauss, e depois substituímos em b a fim de acha V. Finalmente, escolhemos um ponto conveniente, abitáio, onde V é nulo. 25

26 3.5. O Potencial de um conduto caegado conduto em equilibo: Se tive excesso de caga ela distibui-se na supefície extena. E E = 0 no exteio é pependicula à supefície. no inteio do conduto. Todo ponto sobe a supefície dum conduto caegado, em equilíbio, tem o mesmo potencial. Sobe qualque cuva, na supefície: E ds = 0 V = 0 V V = E ds = 0 E ds paa todo e 26

27 supefície de qualque conduto caegado, em equilíbio, é uma supefície equipotencial. E = 0 no inteio o potencial é constante P no inteio do conduto, é igual ao valo que tem na supefície do conduto. Não há tabalho paa desloca uma caga de pova do inteio dum conduto caegado até a sua supefície. Esfea metálica maciça aio R, caga Q R E = V = k k Q 2 Q R > R; E = 0 se < R R Q V = k R; (V = 0 no ) Q k R V E Q k Q k 2 R 27

28 Cavidade no Inteio de um Conduto não existem cagas no inteio da cavidade. V V O campo eléctico no inteio da cavidade deve se nulo, independentemente da distibuição da caga = E ds na supefície extena do conduto e mesmo que E exista no exteio do conduto. V -V = 0 (todo ponto num conduto está ao mesmo potencial) E ds = 0 E = 0! Uma cavidade, envolta po paedes condutoas, é uma egião live de campos, desde que não haja cagas no inteio da cavidade. plicações: blinda cicuitos electónicos, laboatóios... conta campos extenos. 28

29 Densidade de Caga (σ) σ unifome num conduto esféico Conduto não esféico σ elevada onde o aio de cuvatua fo pequeno e a supefície convexa. σ baixa onde o aio de cuvatua fo gande e a supefície côncava. 29

30 E σ Como E gande nas vizinhanças dos pontos que têm cuvatua convexa, com pequeno aio de cuvatua, e atinge valoes muito elevados nas vizinhanças de pontas agudas. 30

31 Descaga em Cooa ilho azulado, visível a olho nu nas vizinhanças de pontas agudas de um conduto num potencial eléctico elevado. O a atmosféico tona-se conduto, em vitude da ionização das moléculas de a nas egiões de campos elécticos elevados. Em condições nomais de T e P esse tipo de descaga acontece quando E V/m ou mais. Conduto caegado atai os iões de sinais opostos ao seu. Vizinhanças de pontas agudas campo muito elevado iões do a aceleado a velocidades muito elevadas. Iões muito enegéticos colidem com outas moléculas de a poduzem mais iões e elevam a condutividade eléctica do a. Descaga do conduto acompanhada, muitas vezes, po uma luminosidade azulada que envolve as pontas aguçadas. 31

32 Expeiência de Millikan Esta expeiência, decoida no pincípio do sec. XX, possibilitou a deteminação da caga elementa do electão e natueza quantificada da caga eléctica. Valeu-lhe o pémio Nobel da Física em

33 Geado de Van de Gaaff Esquema de um geado de Van de Gaaff. caga eléctica é tansfeida paa o conduto oco (de paa ) atavés de uma passadeia (coeia móvel). É possível eleva o potencial do eléctodo (conduto oco) até que ocoa uma descaga no a. Sabendo que o potencial de ompimento do a é 3x10 6 V/m, uma esfea com um aio de 1 m pode se elevada a 3x10 6 V. 33

34 s células e o sangue do copo contêm agua salgada que funciona como um conduto. O óleo natual do cabelo também funciona como um conduto, daí que uma pessoa colocada num campo eléctico muito fote pode funciona como um conduto inicialmente descaegado. 34

35 Efeito do páa-aios 35

36 3.6. Cálculo de E a pati do potencial eléctico. V = E ds 1 E e V são deteminadas po uma distibuição específica de cagas. 1 dv = E ds Se E só tive uma componente, E x E ds = E x dx dv = E x dx E x = dv dx O campo eléctico é igual ao negativo da deivada do potencial em elação a uma ceta coodenada (x neste caso). dv é nula paa todo deslocamento pependicula ao campo eléctico supefície equipotencial. 36

37 Distibuição de cagas com simetia esféica, em que a densidade de caga depende somente da distância adial, o campo eléctico é adial. E ds = E d // dv = E d E = dv d O potencial só se altea na diecção adial s supefícies equipotenciais são pependiculaes às linhas do campo eléctico família de esfeas concênticas à distibuição de cagas. 37

38 Quando uma caga de pova sofe um deslocamento numa supefície equipotencial: dv = E ds = 0 po definição, as supefícies equipotenciais devem se, sempe, pependiculaes às linhas do campo eléctico. ds Em geal, V é uma função das tês coodenadas espaciais. Se V ( ) E x é dado em temos das suas coodenadas ectangulaes V = x E y V = y E z V = z 38

39 39 Deivadas paciais po exemplo, na opeação toma-se a deivada em elação a x, mantendo-se y e z constantes. Isto é, caso yz y y x V + + = x V ( ) ( ) xy x x y y x x x V = = = Então: Em notação vectoial: V z k y j x i V E + + = = ˆ ˆ ˆ é o opeado gadiente.