Aula 6: Aplicações da Lei de Gauss

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1 Univesidade Fedeal do Paaná eto de Ciências xatas Depatamento de Física Física III Pof. D. Ricado Luiz Viana Refeências bibliogáficas: H. 25-7, 25-9, 25-1, T. 19- Aula 6: Aplicações da Lei de Gauss Recodando a Lei de Gauss: o fluxo elético atavés de uma supefície fechada ( gaussiana ) é popocional à caga líquida que está envolvida pela supefície. da onde q epesenta apenas a poção da caga que está envolvida pela gaussiana. ε o = 8,85 x 1-12 C 2 /N.m 2 : constante de pemissividade q Podemos utiliza a Lei de Gauss paa calcula o campo elético poduzido po distibuições contínuas de caga, quando as mesmas exibiem algum tipo de simetia espacial. Quando não houve tais simetias, o cálculo via Lei de Gauss é tão complicado, em geal, como o obtido pela Lei de Coulomb po integação dieta. 1º. Caso: imetia Cilíndica Campo elético de uma baa não-condutoa infinitamente longa e unifomemente caegada: supefície gaussiana é um cilindo de aio e altua h 1

2 Consideações de simetia: (i) o campo elético tem dieção adial, ou seja, é pependicula a todos os pontos da da gaussiana cilíndica; (ii) o campo elético tem o mesmo módulo em todos os pontos da da gaussiana. da. da. da. da base1 base2 da dacos Usando a consideação (i), tem dieção adial Base 1: como é pependicula a da, θ = 9 o, cos 9 o =,. da = Base 2: novamente é pependicula a da, θ = 9 o, cos 9 o =,. da = Lateal: como é paalelo a da, θ = o, cos o = 1,. da = da Usando a consideação (ii) é constante ao longo da. da da (2 ) h pois a áea da supefície do cilindo (etângulo) é o compimento da base (2π) multiplicado pela altua h. Caga envolvida pela gaussiana: como a baa está unifomemente caegada, a pate dento da gaussiana cilíndica tem compimento h. Densidade linea de caga λ = q/h. q = λ h. 2

3 Lei de Gauss: Ф = q/ε o (2π)h = λ h/ε o 2 O campo elético geado pela baa cai com o inveso da distância (não é unifome!). As linhas de foça têm dieções adiais a pati da baa. e a caga da baa é positiva as linhas apontam paa foa da baa, caso contáio (caga negativa) apontam paa dento. Poblema esolvido: Um longo tubo metálico de aio R =, cm, com paedes condutoas finas, tem uma densidade linea de cagas λ = 2, x 1-8 C/m. Detemine o campo elético a distâncias = 1,5 cm e = 5, cm do eixo do tubo. olução: (a) = 1,5 cm está dento do tubo. A gaussiana é um cilindo de aio < R e altua h. O fluxo elético po foi encontado como sendo. da da (2 ) h Pela lei de Gauss Ф = q/ε o, onde q = é a caga envolvida pela gaussiana. Logo Φ = e =. (b) = 5, cm está foa do tubo. Com uma gaussiana cilíndica, o fluxo é o mesmo, mas a caga envolvida é q = λ h. Logo Ф = q/ε o = λ h/ε o = ( 2 ) h fonece 2 2x8,85x1 8 x,5 7,2x1 2,x1 12 N C

4 Poblema poposto: Uma baa cilíndica condutoa longa de compimento L, com uma caga total +q, é envolvida po uma casca cilíndica condutoa (também de compimento L) com uma caga total 2q. Detemine: (a) o campo elético em pontos foa da casca condutoa; (b) a distibuição de caga sobe a casca condutoa; (c) o campo elético ente a casca e a baa. Respostas: (a) =-q/(2πε o L); (b) q =-q, q =-q;(c) =+q/(2πε o L); 2º. Caso: imetia Plana Campo lético de uma Plano Infinito de Cagas: placa plana não-condutoa fina e infinitamente extensa, com uma caga distibuída unifomemente sobe sua supefície. A supefície gaussiana é um cilindo de aio da base e altua 2 que intecepta a placa pependiculamente. Consideações de simetia: (i) é pependicula à placa, em paticula é pependicula às bases do cilindo; (ii) é constante paa todos os pontos a uma mesma distância da placa, ou seja, constante paa as bases do cilindo; (iii) aponta paa foa dos dois lados da placa, se esta fo positivamente caegado, e paa dento dos dois lados da placa se esta fo negativamente caegada. da. da. da. da base1 base2 4

5 da dacos Usando a consideação (i) é sempe pependicula à placa Base 1: como é paalelo a da, θ = o, cos o = 1,. da = da Base 2: novamente é paalelo a da, θ = o,. da = da Lateal: é pependicula a da, θ = 9 o, cos 9 o =,. da = Usando a consideação (ii) é constante ao longo da base1. da base2. da 2 base1 da 2A Caga envolvida pela gaussiana: caga de um cículo de áea A. Obs. Nem pecisamos esceve A = π 2, pois a áea é simplificada no cálculo. Densidade supeficial de caga σ = q/a. q = σ A Lei de Gauss: Ф = q/ε o 2A = σ A 2 O campo elético de um plano infinito é unifome: não depende da distância ao plano, e as linhas de foça são paalelas ente si e pependiculaes ao plano de cagas e o plano está positivamente caegado, as linhas de campo afastam-se do plano em ambos os lados. e o plano está negativamente caegado, as linhas convegem paa o plano também em ambos os lados. Poblema esolvido: Um plano infinito (não-conduto) com densidade supeficial de caga σ = + 4, nc/m 2 está no plano yz de um sistema de coodenadas catesianas. Um segundo plano infinito tem densidade supeficial de caga σ = - 4, nc/m 2, está num plano paalelo ao plano yz, em x = 2, m. Acha o campo elético em (a) x = 1,8 m; (b) x = 5, m; (c) x = - 2, m. 5

6 olução: (a) x = 1,8 m está ente os dois planos. O campo elético geado po qualque um dos dois planos tem módulo 9 4x1 N x8,85x1 C Tanto 1 como 2 apontam paa a dieção x positiva na egião ente os dois planos, logo a esultante dos campos eléticos é a soma dos mesmos N a 1 2 2x C (b) x = 5, m está à dieita dos dois planos. Neste caso 1 aponta paa x positivo, mas 2 paa x negativo. A esultante é a difeença dos dois campos b (c) x = -2, m está à esqueda dos dois planos. Novamente o campo esultante seá nulo, pois é a difeença dos dois campos. Poblema poposto: Uma pequena bola não condutoa de massa m = 1, mg e caga q = 2, x 1-8 C está suspensa de um fio isolante que faz um ângulo θ = o com um plano infinito de cagas vetical. Calcule a densidade supeficial de caga do plano. Dica: considee o peso da bola e aplique as condições de equilíbio da bola. Resposta: 5, nc/m 2. m geal, o campo elético nas poximidades de QUALQUR supefície condutoa é pependicula à supefície e tem módulo A demonstação segue essencialmente os mesmos passos da que foi apesentada paa a simetia plana, pois vale paa a egião imediatamente póxima de qualque ponto da supefície do conduto, independentemente da foma deste. m paticula, o campo elético poduzido po um plano infinito conduto não é σ/2ε o, e sim σ/ε o, em confomidade com o esultado anteio. 6

7 Conduto isolado num campo elético exteno: Dento do conduto vimos na aula passada que =. As linhas de foça no exteio do conduto são tais que inteceptam pependiculamente a supefície do conduto. O módulo do campo é popocional à densidade supeficial de caga no conduto. Quanto maio a densidade de linhas de foça que entam ou saem do conduto numa ceta egião, maio a caga supeficial nesta egião. º. Caso: imetia sféica Campo elético geado po uma casca esféica de aio R 1) paa pontos foa da casca (isto é, a distâncias adiais > R): supefície gaussiana é uma esfea de aio envolvendo a casca. Como as linhas de foça apontam adialmente paa foa, o campo elético em todos os pontos da esfea é paalelo ao elemento de áea vetoial da. Logo. da = da cos o = da m todos os pontos da esfea o campo elético tem o mesmo módulo ( simetia esféica ), logo é constante enquanto integamos sobe a supefície de áea A = 4π 2. O fluxo elético pela supefície esféica seá da da A (4 2 ) Pela lei de Gauss Ф = q/ε o, de modo que (4π 2 )=q/ε o. Isolando o campo 1 4 q 2 ou seja, o campo elético paa pontos foa da casca é o mesmo que seia obtido se toda a caga da casca estivesse concentada em seu cento. 2) paa pontos dento da casca (isto é, a distâncias adiais < R): o fluxo elético é o mesmo do caso anteio, pois a gaussiana é novamente uma esfea de aio (só que dento da casca) 7

8 da da A (4 2 ) Pela lei de Gauss Ф = q/ε o. Como q = dento da casca, =. Poblema esolvido: Considee uma esfea maciça de aio R =, cm unifomemente caegada com uma caga Q = + 5, nc. Calcule o campo elético paa pontos situados à distância adial de = 2, cm. olução: O fluxo elético, devido à simetia esféica, continua sendo dado po Ф = (4π 2 ) que, pela lei de Gauss, é popocional à caga q envolvida pela gaussiana esféica de aio. upondo uma densidade volumética de caga unifome Q Q V 4R / então a caga q envolvida pela gaussiana de aio < R dento da esfea maciça é dada po q q V 4 / Dividindo membo a membo estas expessões temos q Q R q Q (4 2 ) R Q 4 R 9,x1 9 9 x5,x1, x,2,x1 Poblema poposto: Uma casca esféica fina de aio R =, m tem o cento na oigem e uma densidade supeficial de caga σ =, nc/m 2. Uma caga puntifome q = 25 nc está sobe o eixo dos y, em y = 2m. Acha o campo elético esultante sobe o eixo dos x em (a) x = 2m, e (b) x = 4 m. Resposta: (a) (199 N/C) i (199 N/C) j ; (b) (29 N/C) i (5 N/C) j 4 N C 8