FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CONDUTORES

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1 ELETROMAGNETSMO FORÇA MAGNÉTCA SOBRE CONDUTORES Até então, nossos estudos sobe campos magnéticos o enfatiaam como sendo oiginado pela ciculação de uma coente elética em um meio conduto. No entanto, sabemos que estes campos existem também nos chamados ímãs pemanentes ou magnetos, com suas linhas de foça fechadas sobe si mesmo. Neste capítulo estudaemos a foça execida sobe um conduto conduindo uma coente elética, quando colocado na pesença de campos magnéticos. Enfatiaemos, no entanto, que a foça magnética execida sobe um conduto com coente é devida à pesença de um campo magnético exteno a ele EFETO DE UM CAMPO MAGNÉTCO EM UM FO CONDUZNDO CORRENTE Consideemos o campo magnético unifome geado ente os pólos de um imã pemanente, como pode se visto na figua N S B Figua 11.1 Campo magnético de um imã pemanente. A segui, um conduto conduindo uma coente (A) seá imeso no inteio deste campo magnético, confome mosta a figua 11.. O conduto tem sua dieção pependicula ao plano do papel na figua, com a coente saindo. Já vimos anteiomente que as linhas de campo magnético ciado po esta coente são fomadas po cicunfeências concênticas ao conduto. O campo magnético geado pela coente efoça o campo do imã pemanente na pate de baixo do campo e o enfaquece na pate de cima. Assim, uma foça, de natuea magnética, apaeceá no conduto, levando-o na dieção do campo mais faco, buscando um novo equilíbio no númeo de linhas do campo esultante, acima e abaixo do conduto. N S B Figua 11. Conduto conduindo coente imeso em um campo magnético. UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

2 ELETROMAGNETSMO 96 A magnitude da foça que atua sobe o conduto é expessa po: onde: F= BL (N) (11.1) L (m) Compimento (efetivo) do conduto imeso no campo B (Wb/m ) Magnitude da indução magnética do campo exteno (A) ntensidade de coente no conduto Se o conduto não cota o campo pependiculamente (figua 11.3), a foça F seá expessa em função da inclinação fomada pelo ângulo θ ente a dieção do conduto e o campo exteno onde: F= BLsenθ (N) (11.) compimento efetivo B θ Figua Conduto cotando campo magnético. Genealiando, paa um elemento de coente, a intensidade da foça incemental df fica então: df= BdLsenθ (N) (11.3) Não é difícil obseva que as equações (11.) e (11.3) são fundamentais paa explica o pincípio de funcionamento dos motoes eléticos. Resumindo, podemos utilia uma notação vetoial paa a foça incemental execida sobe um elemento de coente, de modo que: onde: df (N) df= (dl B) (N) (11.4) Veto indicando a magnitude e dieção da foça em um elemento de conduto (A) Coente no conduto B (T) Veto indicando a magnitude e dieção da densidade de fluxo dl (m) Veto com dieção do elemento de conduto, oientando a dieção da coente FORÇA ENTRE DOS CONDUTORES LNEARES E PARALELOS Consideemos agoa dois condutoes filamentaes, etilíneos e paalelos de compimento L (m) cada, sepaados de uma distancia R (m) no a, como ilusta a figua 11.4 abaixo. O conduto 1 é pecoido po uma coente de intensidade 1 (A), e o conduto po uma coente de intensidade (A) em dieção oposta ao pimeio. O conduto 1 fica sujeito a uma foça devido ao campo magnético ciado pela UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

3 ELETROMAGNETSMO 97 coente elética do conduto. Po outo lado, o conduto fica sujeito a uma foça de mesma magnitude e dieção oposta, devido ao campo magnético ciado pela coente do conduto 1. R L F 1 F 1 Figua 11.4 Foças de epulsão em condutoes pecoidos po coentes opostas O campo magnético esultante é mais fote ente os dois condutoes do que foa deles, confome é sugeido na figua Assim, intuitivamente podemos pecebe que a foça ente eles seá de epulsão, no sentido de busca uma nova posição de equilíbio. sso pode se confimado pela ega da mão esqueda: a foça magnética F no polega estendido é o esultado do poduto vetoial ente a coente no dedo médio e o campo B no indicado, fomando um ângulo, no máximo eto, ente o campo e a coente. Neste caso paticula, o campo B e a coente são otogonais. Pelo mesmo aciocínio, se as coentes estiveem na mesma dieção, obsevamos que a foça de inteação ente os condutoes seá agoa de atação. 1 Figua 11.5 Campo magnético ente dois condutoes paalelos A magnitude da foça sobe o conduto é: L F 1 = 1 0 = B dl B L (N) (11.5) Recodando o exemplo 9.1, a indução magnética povocada pela coente do conduto 1, na posição do conduto, isto é, a uma distância R, seá: Assim, paa a magnitude da foça F µ 01 B1= (Wb / m ) (11.6) πr teemos: µ 01 = L (N) (11.7) πr F Como os condutoes tem o mesmo compimento L, a equação (11.7) se aplica também à magnitude da foça agente sobe o conduto 1. Temos aí um pa ação-eação, justificado pela 3ª. Lei de Newton. Dividindo a equação 11.7 po L, teemos a expessão do módulo da foça expesso po unidade de compimento: Ou seja: F µ 01 = (N / m) (11.8) L πr UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

4 ELETROMAGNETSMO 98 Se 1 =, e consideando o valo de µ 0 = 4 π x 10-7 H/m paa o a, L F= 10 7 R ( N) (11.9) Se L = R = 1m, F = 10 7 N, então teemos = 1 A. Essa medida da foça é utiliada paa defini o ampèe (A) como unidade de coente elética no Sistema ntenacional de Unidades. Exemplo 11.1 Um fio tanspotando uma coente (A) é colocado ente outos fios que tanspotam uma coente de intensidade (A) cada um, confome mosta a figua Os tês fios são paalelos e mantém ente si a mesma distância d (m). As tês coentes estão no mesmo sentido. Detemine a foça magnética po unidade de compimento sobe cada um destes condutoes aéeos. Solução: Seja com: 0 F1, = F1, = µ ( N) π d F 1, = Foça sobe o conduto 1, devido à inteação ente a coente no conduto 1 e o campo poduido pela coente do conduto. F 1, = Foça sobe o conduto, devido à inteação ente a coente no conduto e o campo poduido pela coente do conduto 1. Do mesmo modo 0 F3, = F3, = µ ( N) π d F 13, = Foça sobe o conduto 1, devido à inteação ente a coente no conduto 1 e o campo poduido pela coente do conduto 3. F 31, = Foça sobe o conduto 3, devido à inteação ente a coente no conduto 1 e o campo poduido pela coente do conduto 1. F 3,1 F 1,3 F 3, F,3 F,1 F 1, onde: F 3, = Foça sobe o conduto, devido à inteação ente a coente no conduto e o campo poduido pela coente do conduto F 3, = Foça sobe o conduto 3, devido à inteação ente a coente no conduto 3 e o campo poduido pela coente do conduto. E ainda onde: 0 F13, = F31, = µ ( N) 4πd Figua 11.6 Tês condutoes conduindo coente. As foças sobe o conduto, F 1, e F 3, possuem a mesma magnitude, poém estão em dieções opostas. Potanto: F = F + F =, 1, 3 0 A foça sobe o conduto 1 seá: UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

5 ELETROMAGNETSMO 99 5µ 0 F1 = F1, + F13, = ( N) 4πd 5µ 0 F3 = F31, + F3, = ( N) 4πd A foça sobe o conduto 3 seá: TORQUE SOBRE UMA ESPRA PERCORRDA POR CORRENTE - MOMENTO MAGNÉTCO As foças que atuam sobe uma espia colocada na egião de um campo magnético, tendem a faê-la gia em elação a um eixo. Tomemos inicialmente uma espia etangula de lados L e d, com o lado L pependicula ao plano do papel, como mosta a figua 11.7, epesentando o compimento do elemento finito e efetivo de coente esponsável pela metade do conjugado na espia. Vamos epeti aqui a expessão da foça agente em qualque elemento dl de um conduto conduindo uma coente : df= (dl B) (N) (11.10) Se a nomal n ao plano da espia foma um ângulo θ com o campo magnético pesente componente da foça magnética esponsável pelo toque sobe cada conduto ativo é: B, então a F t = LBsenθ (N) (11.11) A componente F t da foça magnética F multiplicada pela distancia d/ ao eixo de otação da espia é conhecida po toque, aqui epesentado pela leta T e dado em N.m no Sistema ntenacional de Unidades. Neste caso, o toque esultante ou conjugado sobe a espia seá dado po: d T= Ft = LBdsenθ (N.m) (11.1) No caso desta espia etangula, L d = A onde A é a áea da espia. Assim: T= ABsenθ (N.m) (11.13) F θ F t n d θ B F t F Figua 11.7 Toque sobe uma espia imesa num campo magnético, conduindo coente. UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

6 ELETROMAGNETSMO 100 O poduto x A, de dimensão coente x áea, é conhecido como momento magnético da espia. Ele é expesso em ampèes x meto quadado. Designando o momento magnético pela leta m a equação (11.13) fica: T= mbsenθ (N.m) (11.14) Se uma bobina é composta de N espias, o momento magnético total sobe a bobina seá então: m = N..A (A.m ) (11.15) Finalmente, o momento magnético podeá se epesentado vetoialmente como: m= mâ n (A.m ) (11.16) â n O veso tem a sua oientação fonecida pela ega da mão dieita, com o polega da mão dieita estendido, quando os demais dedos se fecham acompanhando o sentido de pecuso da coente no cicuito. De modo geal, o toque seá expesso então pelo seguinte poduto vetoial: T= m B ( N. m) (11.17) Exemplo 11. Uma bobina etangula com 00 espias de 0,3 x 0,15 m com uma coente de 5,0 A, está em um campo unifome de 0, T. Enconte o momento magnético e o toque máximo na bobina. Solução A = = 0.045m m = na= = 45A.m T max = mb= 45 0.= 9N.m Exemplo 11.3 Um medido de coente d Asonval é constituído po uma bobina capa de gia em tono de um eixo numa egião onde existe um campo adial com intensidade unifome de 0.1 Wb/m. Uma mola (espial) de toção ofeece um toque esistente T m = 5,87x10-5 θ N.m, com θ em adianos, conta o movimento de otação da bobina. Sabe-se que o enolamento da bobina é fomado po 35 espias etangulaes de dimensões 3 mm x17 mm. Qual é o ângulo de otação que esulta pela passagem de uma coente de 15 ma na bobina? Solução θ N B S nstumento de bobina móvel Fig Medido de D'Asonval UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

7 ELETROMAGNETSMO 101 Pela figua 11.8 vemos que o campo magnético ao qual a bobina móvel é exposta, tem suas linhas de campo distibuídas adialmente. Pela expessão geal do toque temos: T= m B (N.m) cuja magnitude é dada po T = mbsenθ ( θ= 90 O ângulo q = 90 o indica uma configuação adial do campo magnético pesente no núcleo da bobina, confome explicado no final deste exemplo Assim sendo, o momento magnético na bobina fica: m = NA o ) Daí, m= = 0, A.m O campo magnético execeá sobe as espias um toque elético T= 0, , 1=, Nm. No equilíbio, este toque enconta eação no toque mecânico T m de esistência da mola do medido. Desta foma,05 10 T= T m 5 5 = 5,87 10 θ= 0,35ad θ 0 o θ Este medido de coente é um instumento de bobina móvel e que deve apesenta o mesmo toque independente da posição angula. Paa tal, o enolamento com as espias é montado ao edo de um núcleo de feo doce de fomato cilíndico. Desta foma, ele condu o fluxo magnético no sentido adial de modo que a foça magnética sempe podua o mesmo toque em qualque posição angula. UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

8 ELETROMAGNETSMO 10 EXERCÍCOS 1) Uma película de coentes com densidade lamina K = 30 â y A/m está localiada no plano = 6 m. Um conduto filamenta está sobe o eixo y, conduindo 6,0 A na dieção â y. Calcule a foça nele execida po unidade de compimento. ) Uma espia cicula de aio a m, conduindo uma coente A está no plano = h m, paalela a uma película unifome de coente K = K 0 a y A/m localiada em = 0. Expesse a foça sobe um compimento infinitesimal da espia. ntege este esultado e moste que a foça total é nula. 3) Uma baa de 3 Kg, condutoa, hoiontal, com 800 mm de compimento, fa um ângulo de 60º em elação a um campo magnético hoiontal de 0.5 T. Que coente é necessáia na baa paa faê-la flutua? Adote a aceleação da gavidade local como sendo 10 m/s. 4) Dois condutoes de compimento L m pecoidos po coentes A em dieções opostas são nomais a um campo magnético cuja indução tem uma magnitude B Wb/m. A sepaação ente os condutoes é fixa de w m. Moste que o toque elativo a qualque eixo paalelo aos condutoes é dado po BLw cosθ N.m, sendo θ o ângulo fomado ente a dieção do campo e a distância ente os condutoes. 5) Uma espia cicula de coente de aio m e coente A está localiada sobe o plano = 0. Calcule o toque que esulta se a coente está na dieção â φ e existe um campo unifome B= B (â â ) / (T). 0 x + 6) Duas espias ciculaes de aio R e cento comum estão oientadas de foma tal que seus planos são pependiculaes ente si. Dedua a expessão que mosta o toque de uma espia sobe a outa. 7) Um elemento etilíneo de coente com 3 m de compimento acha-se ao longo do eixo y, centado na oigem. A coente que o pecoe vale 6 A na dieção â y. Calcule a indução magnética B quando este elemento de coente expeimenta uma foça de 1,5(â x + â ) / N. 8) Calcule o tabalho e a potência necessáios paa move o conduto mostado na figua abaixo de uma volta completa, na dieção mostada, em 0 ms se B =,50 x10 3 â T e a coente é de 45 A. 0,03 m 0,10 m 9) Utiliando-se o mesmo conduto e as condições do poblema anteio, detemine o tabalho necessáio paa movê-lo descevendo o mesmo cilindo em sentido hoáio. 10) Um conduto de compimento,5 m localiado em = 0, x = 4 m, condu uma coente de 1,0 A na dieção. Enconte B unifome na egião, se a foça sobe o conduto é de 1,0 x 10 - â y N, na dieção ( aˆ + aˆ ). x / UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

9 ELETROMAGNETSMO ) Um conduto etilíneo no plano y0 condu uma coente no sentido positivo do eixo y a uma distância h de uma fita de coente simética em elação ao plano y0, de lagua w e densidade K 0, no mesmo sentido da coente do conduto. Enconte uma expessão paa a foça po unidade de compimento sobe o conduto. Qual seá o esultado quando a lagua da fita tonase infinita? 1) Um conduto com coente fua otogonalmente uma película plana de coente K. Calcule a intensidade da foça po unidade de compimento sobe o conduto, acima e abaixo da película. 13) A espia etangula da figua abaixo enconta-se em um campo magnético onde B = 0,05(â â ) / T. Detemine o toque em elação ao eixo quando a espia na posição x + y indicada, condui uma coente de 5,0 A. 0,08 m 0,04 m 14) Uma espia cicula de aio 0,35 m está no plano x = 0, centada no eixo x. Na posição coodenada (0; 0; 0,35) m a coente tem módulo 5,0 A e está diigida segundo â y. Detemine o toque sobe esta espia quando imesa num campo magnético unifome onde B = 88,4(â â ) µt. x + 15) Um conduto etilíneo de compimento L condu uma coente no sentido indicado na figua. Calcule o tabalho e a potência necessáia paa fae o conduto da uma volta inteia numa feqüência de n otações po minuto, se B = B 0 â, com B 0 uma constante positiva. 16) Paa a mesma configuação do poblema anteio, um conduto com 100 mm de compimento condu uma coente constante de intensidade 5,0 A, descevendo um cilindo com 5 mm de aio. Calcule o tabalho necessáio paa movimenta o conduto, sob velocidade constante, de φ = 0 a φ = π no sentido anti-hoáio. Quanto vale o tabalho total paa uma volta completa se o sentido da coente fo invetido no semi-ciclo seguinte na pesença de um campo altenado onde B = 3,5 sen φ â mt? 17) Obtenha a expessão paa a potência necessáia paa gia um cilindo de aio com N condutoes de compimento L conta o campo a n evoluções po minuto, se B = B0 sen(φ) â e as coentes tocam de sentido em cada quadante, quando muda o sinal de B. UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino

10 ELETROMAGNETSMO ) Um conduto com 4 m de compimento condu 10 A na dieção, ao longo do eixo y ente as posições y = m e y = m. Se o campo B = 0,05â x T, calcule o tabalho necessáio paa move o conduto paalelamente a si mesmo com velocidade constante até a posição dada po x = = m. 19) Um conduto está localiado ao longo do eixo em 1,5 m 1 1,5 e condu uma coente 4 0,x fixa de 10,0 A no sentido de â. Paa um campo B = 3,0 x10 e â y T, enconte o tabalho e a potência necessáios paa move o conduto paalelamente ao longo do eixo x com velocidade constante paa x = m e y = 0 duante 5 ms. â y UNESP Naasson Peeia de Alcântaa Junio Claudio Vaa de Aquino