Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN) Circuitos Corrente Variável, Equações de Maxwell

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1 Eletomagnetismo e Ótica (MEAe/EAN) icuitos oente Vaiável, Equações de Maxwell 11ª Semana Pobl. 1) (evisão) Moste que a pessão (foça po unidade de áea) na supefície ente dois meios de pemeabilidades difeentes μ 1 e μ depende da dieção de B e H nos dois meios analisando sepaadamente os casos em que, assumindo μ > μ 1, a) os campos são pependiculaes à supefície de sepaação ente os dois meios, b) os campos são paalelos à supefície de sepaação ente os dois meios. espostas:. 1-a) = 1 μ -μ 1 μ 1 μ B no sentido do meio de meno pemeabilidade.. 1-b) = 1 (μ - μ 1 ) H no sentido do meio de meno pemeabilidade. Pobl. ) (evisão) Uma fita condutoa de condutividade σ c e espessua b desloca-se com velocidade unifome v ente os pólos ciculaes de um magnete pemanente. Os pólos têm aio a muito pequeno compaado com a lagua da fita. Assumindo que o campo magnético B é apoximadamente constante ente os pólos e que a densidade de coente induzida aí é J c = 1 σ v B, detemine a foça que actua sobe a fita. espostas:. -a) F = - 1 π a b σ B v Pobl. 3) Um cicuito em séie com = 50 Ω, = 150 mh e = 100 μf está ligado a uma tensão V (t) = V o sin (ω t), onde V o = 50 V e ω = 300 ad s -1. V(t) icuito em séie a) Esceva as equações do cicuito. b) Detemine as eactâncias indutivas e capacitativas X e X e a impedância Z do cicuito. c) Detemine a amplitude máxima da coente I (t) no cicuito assumindo que já não existem tansientes. d) Qual é o desfasamento ϕ ente a coente e a tensão? e) alcule a amplitude máxima das quedas de potencial atavés de cada elemento do cicuito. f) alcule a difeença de potencial máxima atavés do pa. g) Detemine a fequência de esonância ω do cicuito. h) Detemine a amplitude da coente e da tensão atavés da indutância na esonância. i) Detemine a potência instantânea (t) e a potência média fonecida pela fonte de tensão. espostas. 3-a) di c + I c + Q = V o e i ω t d I c + di c + 1 I c = i ω V o e i ω t 1º Semeste AS

2 I (t) = Im (I c (t)) = V o sin (ω t - ϕ). 3-b) X = ω = 45 (Ω) ; X = 1 = (Ω) ω Z = + i (X - X ) ; = + ω - 1 ω = (Ω). 3-c) I o = V o = (A). 3-d) ϕ = tan -1 X -X = 0.3 V max = I o = 48.7 (V). 3-e) V max = I o X = 43.8 (V) = I o X = 3.5 (V) V max. 3-f) V = I o (X - X ) = 11.3 (V). 3-g) ω = 1 = 58. ad s-1. 3-h) (I o) = 1.0 (A) (V max ) = 38.7 (V). 3-i) (t) = I (t) V (t) = V o sin (ω t - ϕ) sin (ω t) ; cos(ϕ) = ; = 1 V o cos(ϕ) (t) = 48.7 sin (300 t) sin (300 t - ϕ) ; ϕ = 0.3 ; = 3.7 (W) Note que sin (ω t - ϕ) sin (ω t) = cos (ϕ) sin (ω t) - 1 sin (ϕ) sin ( ω t) = 1 cos(ϕ) Pobl. 4) No cicuito em paalelo epesentado na figua a tensão é V (t) = V o sin (ω t). V(t) icuito em paalelo a) Detemine as coentes I (t), I (t) e I (t) atavés da esistência, indutância e capacidade, espectivamente. b) Detemine a coente total I (t) no cicuito e a sua amplitude. c) Detemine o desfasamento ϕ ente a coente total e a tensão V (t). d) Esceva a expessão paa potência instantânea (t) e paa a potência média fonecida pela fonte de tensão. espostas:. 4-a) I (t) = V (t) = V o sin (ω t). 4-b) V (t) = V (t) = di (t) V (t) = V (t) = Q (t) I (t) = I (t) + I (t) + I (t) I (t) = V o dq (t) I (t) = X sin ω t - π = V o X sin ω t + π I o = I o + I o - I 1 o = V o X X = V o. 4-c) ϕ = tan -1 I o - I o I o = tan -1 1 X - 1 X ; cos(ϕ) = AS -- 1º Semeste

3 . 4-d) = I (t) V (t) = V o sin (ω t) = V o = V ms cos(ϕ) Pobl. 5) Detemine as coentes atavés de cada esistência no cicuito da figua nas seguintes condições: 3 A V 1 a) No instante em que o inteupto A é fechado. b) Muito depois de fecha o inteupto. c) Imediatamente após abi o inteupto quando o cicuito já se encontava em egime estacionáio. d) Muito depois de abi o inteupto. e) Esceva as equações do cicuito quando o inteupto está fechado. espostas:. 5-a) I 1 = I = V b) I 1 = V 1 + eq ; I = V eq ( 1 + eq ) ; I 3 = V eq 3 ( 1 + eq ) onde eq = c) I 1 = 0 ; I =. 5-d) I 1 = I = I 3 = 0 V eq 3 ( 1 + eq ) = -I 3. 5-e) I 1 = I + I 3 V - di 3 = 1 I I 3 V = 1 I 1 + I I 1 [t] = V+I 3[t] 1 + I [t] = V-I 3[t] t I 3 [t] = 1-e- τ V eq 3 ( 1 + eq ) onde τ = ( 1+ ) eq 3 ( 1 + eq ) Pobl. 6) No cicuito seguinte o inteupto que fecha o cicuito em A há muito tempo é súbitamentente abeto e faz contacto com B. A B V a) Esceva as equações do cicuito e detemine a sua fequência de oscilação. b) Qual é a caga máxima que apaece no condensado? c) Qual a coente máxima na indutância? d) Qual é a enegia amazenada no cicuito em qualque instante? espostas:. 6-a) di = - Q. 6-b) Q max = V d I = - 1 I = -ω o I com ω o = 1, donde f = ω o π = 1 π 1º Semeste AS

4 . 6-c) A solução da equação do cicuito dá (a pate eal de) I (t) = I max e i ω o t- π, pelo que a tensão máxima na indutância é V = di = ω o I max. Assim I max = V ω o = V. 6-d) A enegia inicial está toda no condensado, e não havendo dissipação a enegia total amazenada em cada instante no condensado e na indutância é constante, U em = 1 V = 1 I max. Pobl. 7) No cicuito epesentado na figua a fonte de tensão aplicada fonece uma onda quadada como indicado na figua. O egime live do cicuito extinge-se num tempo muito infeio a T. Detemine a tensão à saída dos teminais da esistência em função do tempo. 1 V(t) V(t) 0 -T - T T T t - esposta. 7-a) A equação do cicuito é di (t) di (t) V (t) - = ( 1 + ) I (t) = -( 1 + ) I (t) ± di (t) = I (t) I (t) = A e t- nt As condições iniciais em cada intevalo em que V (t) = ± são dadas po I nt =, pelo que 1 + A = donde 1 + I (t) = ± 1 - e t- nt A tensão de saída é popocional a I (t), com n = t T. = I (t) = ± 1 - e t- nt 1 + V(t) I(t) VM Pobl. 8) onsidee o cicuito elético epesentado na figua. a) Esceva a equação difeencial paa a coente I (t) que atavessa a indutância. b) Esceva a equação difeencial que desceve o compotamento da tensão à saída do condensado. AS -4-1º Semeste

5 E(t) Pobl. 9) Detemine o compotamento da tensão de saída em função da fequência ω da fonte E paa as seguintes configuações de componentes. E E a) b) E E c) d) E E e) f ) espostas:. 9-a) Passa-Baixas A análise qualitativa destes cicuitos assenta no econhecimento que, paa baixas fequências ω 0, a eactância indutiva X = ω 0, ou seja o segmento indutivo compota-se como um cuto-cicuito (não há queda de tensão). Po outo lado a eactãncia capacitativa X = 1, ou seja o segmento capacitativo compota-se como um ω cicuito abeto (não passa coente). No limite inveso, paa altas fequências ω, é o segmento indutivo que se compota como um cicuito abeto e o capacitativo que se compota como um cuto-cicuito. Assim, no cicuito a) a tensão à saída é popocional à queda de tensão no condensado, e paa baixas fequências E (t), já que na indutância a queda de tensão tende a se pequena, enquanto paa altas fequências não há páticamente tensão à saída 0 poque esta cai pincipalmente na indutância. O cicuito deixa assim passa pefeencialmente sem gande atenuação as componentes de baixas fequências dos sinais de tensão E (t) à entada e filta as componentes de alta fequência desse sinal. Paa uma fonte de tensão com esistência intena i. 9-b) Passa-Altas. 9-c) Passa-Banda 1º Semeste AS

6 . 9-d) ejeita-banda. 9-e) Passa-Banda. 9-f) Passa-Banda Pobl. 10) Uma tensão V = V o sin (ω t) é aplicada no cento das amaduas de um condensado de placas paalelas de aio e sepaação d. Detemine em função da distância ao eixo do condensado: a) A densidade de coente de deslocamento J d. b) A intensidade de campo magnético H. espostas:. 10-a) J d = ε o E t = ε o ω V o d cos(ω t) e z. 10-b) H = ε o ω V o d cos(ω t) e θ Pobl. 11) Num fio de m de compimento e secção cicula com 1 mm de aio passam 5 A. O fio é homogéneo com esistividade eléctica ρ e = π 10-7 Ω m. a) alcule o campo magnético B à supefície do fio (sug.: use a ei de Ampée). b) alcule a esistência do fio. c) alcule a densidade de coente e o campo eléctico E no conduto junto à supefície do fio. d) alcule o vecto de Poynting S junto ao fio. e) alcule, usando o esultado anteio, a enegia de adiação tocada ente o fio e o exteio po unidade de tempo. Paa onde vai essa enegia? f) alcule a potência dissipada no fio po efeito de Joule (calo de Joule). espostas:. 11-a) B = 10-3 e θ (T). 11-b) = 0.4 (Ω). 11-c) E = 1 e z V m. 11-d) S = e W m. 11-e) P = 10 (W). 11-f) P d = 10 (W) Pobl. 1) Um conduto cilíndico oco, muito compido, com condutividade elética σ e e aios inteio 1 e exteio, tanspota uma coente I unifomemente distibuída em qualque secção tanvesal. Assumindo que a sua pemeabilidade magnética é μ o : I σ e e z ε o μ o 1 a) Detemine os campos E e B no inteio do conduto. b) Qual é a potência dissipada po unidade de compimento neste conduto? c) Detemine o veto de Poynting S à supefície do conduto (inteio e exteio). d) Qual é o fluxo do veto de Poynting po unidade de compimento neste conduto? AS -6-1º Semeste

7 Pobl. 13) Assuma agoa que no poblema anteio a coente I (t) = I o cos(ω t) ainda segundo o eixo e z. a) Despezando a coente de deslocamento, detemine o campo magnético no inteio e exteio do conduto. b) Detemine a densidade de coente de deslocamento J d no inteio e exteio do conduto em função de I (t). esposta:. 13-a) Assumindo que a coente de deslocamento é despezável compaada com a coente de condução podemos usa a ei de Ampée apoximada paa ciculos de aio coaxiais com o cilindo Γ H d I int () H θ (, t) I int (, t) π = 0 (0 1 ) I o - 1 π - 1 cos (ω t) ( 1 ) I o π cos (ω t) ( ) A pati de B = μ H ou B = μ o H obtém-se o campo magnético em todas as egiões.. 13-b) Paa o cálculo da coente de deslocamento é necessáio utiliza a ei de Faaday E = - B t = + μ ω Iint () sin (ω t) e θ π onde I int () apenas depende de, e μ é igual a μ dento do cilindo e μ o foa dele. Uma vez que E não deve depende de z devido à simetia de tanslação na dieção e z, nem as suas componentes devem depende de θ devido à simetia azimutal em tono do eixo e z, obtemos em coodenadas cilíndicas E = 1 E z θ - (E θ) z ou seja - E z = μ ω Iint () π sin (ω t) ; e + E z - E z 1 e θ + 1 (E θ ) - E θ (E θ ) = 0 E θ () = k e z = - E z e θ + 1 (E θ ) e z ontudo, nesta última equação podemos ve que E θ () = 0 (ou k = 0) poque, paa um cículo hoizontal de aio coaxial com e z, S E ds = S E d = E θ (, t) π = 0 = - B t ds E θ (, t) = 0 Assim esta intega, tendo em conta que E z deve se contínua nas supefícies de tansição, de z () d = - μ ω sin (ω t) π I int () E z (, t) = 0 (0 1 ) E z (, t) = μ ω J o sin (ω t) omo D = ε o E obtemos, tendo em conta que ε o μ o = c -, J d = D t = ε o E z t e z - 1 E z (, t) = E z (, t) + μ o ω J o sin (ω t) - 1 log 1 ( 1 ) - 1 log 1 ( ) J dz (, t) = 0 (0 1 ) ω J dz (, t) = μ c J o sin (ω t) log 1 ( 1 ) J dz (, t) = J dz ( ) + ω c J o sin (ω t) - 1 log 1 ( ) Note-se que J o = I o π - 1 no inteio do tubo, pelo que J do = ω c α () J o J o se ω α () c. Pobl. 14) Um solenóide ideal de aio e n espias po unidade de compimento, com eixo segundo e z, é pecoido po uma coente vaiável de intensidade I (t). Detemine o campo elético induzido no inteio e exteio do solenóide e moste que veifica a equação de Maxwell E = - B (NB: Em coodenadas cilíndicas E = 1 e e θ e z θ z E E θ E z ) t. 1º Semeste AS