Teo. 5 - Trabalho da força eletrostática - potencial elétrico

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1 Teo. 5 - Tabalho da foça eletostática - potencial elético 5.1 Intodução S.J.Toise Suponhamos que uma patícula qualque se desloque desde um ponto até em ponto sob a ação de uma foça. Paa medi a ação dessa foça sobe a patícula a Mecânica define uma gandeza escala, denominada Tabalho, como sendo: Β ταβ = F ds Α Equação 5-1 onde ds é um deslocamento elementa sobe a tajetóia seguida pela patícula e potanto tangente a essa tajetóia. Figua 5-1 Lembemos que na Mecânica esta integal, quando F é a foça esultante sobe a patícula, é a vaiação de enegia cinética dessa patícula, ou seja 1 1 τ F ds m v m v = = 5. Tabalho da foça eletostática Equação 5- Calculemos o tabalho quando a foça que atua sobe a patícula é de natueza eletostática, isto é, dada pela lei de Coulomb. Paa isto, consideemos uma caga puntifome fixa em um ponto C e uma outa caga que seja tanspotada desde um ponto até um ponto po alguém ou alguma coisa, e que duante toda a tajetóia a foça F, poduzida pela caga fixa, esteja atuando sobe a caga. Figua 5- foça F que atua sobe a caga móvel é dada pela Lei de Coulomb, ou seja, Substituindo na Equação 5-1 F = K..u. τ = K u ds 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 1 de 7

2 Intodução à Eleticidade S.J.Toise Equação 5-3 Nosso poblema agoa consiste em calcula o esultado desta integal. Iniciemos colocando foa da integal os fatoes multiplicativos constantes. u ds τ = K... Equação 5-4 Obsevemos agoa que o integando contem o poduto escala u ds o qual deve se efetuado antes da integação. Paa isto obseve na figua que o veto deslocamento elementa ds foi decomposto em duas componentes, uma na dieção do eixo, e outa pependicula a esse eixo dg, tal que ds = d + dg. O poduto escala que apaece na equação fica então: u ds = u d + dg = u d + u dg ( Desenvolvendo agoa os podutos escalaes: u d = u. d. cos( o = d = d e e o poduto escala se eduz a u ds = d. Substituindo na equação obtemos: Calculando agoa a integal: d τ = K... u dg = u. dg.cos(9 o = Equação 5-5 d = d = = = + onde os limites de integação foam substituídos pelos espectivos valoes de, confome indicado na figua. Substituindo agoa este esultado na equação 5.1-4: 1 1 τ = K... + Equação 5-6 Esta expessão pemite uma impotante conclusão: o tabalho ealizado pela foça eletostática não depende da tajetóia ao longo da qual o tabalho é ealizado. Isto pode se facilmente obsevado analisando-se a expessão esultante do tabalho: ela só depende dos pontos inicial e final da tajetóia, não dependendo, potanto do caminho seguido. uando isto acontece dizemos que a foça é consevativa. O que significa que seu tabalho é a vaiação de uma foma de enegia potencial. Reescevendo a Equação 5-6 convenientemente.. τ = K. + K. Equação 5-7 expessão K (que apaece calculada nos pontos e é chamada enegia potencial elética da caga. ssim: τ = Epot + Epot Equação 5-8 Devemos obseva aqui a analogia que ocoe ente o tabalho ealizado pela foça peso e o tabalho ealizado pelas foças elástica e gavitacional que são estudados no cuso de intodução a Mecânica Execícios ( figua abaixo mosta uma caga fixa no ponto P. Uma outa caga, = 5µ C de massa 3g, é abandonada no ponto e se desloca livemente passando pelo o ponto. Calcule a o tabalho ealizado pela foça eletostática; b a velocidade da caga ao passa po. 5/6/5 Teo-5-5.doc Página de 7

3 Intodução à Eleticidade S.J.Toise ( Na figua abaixo a caga puntifome está fixa no ponto P. Uma outa caga = 5,4µ C é lançada no ponto C de enconto à caga com velocidade de 3,4x1 4 m / s. Detemine a meno distância ente as cagas. 5.3 Potencial elético geado po caga puntifome Voltemos à Equação τ = K. + K. Esta equação pode se escita convenientemente τ = K K Equação 5-9 Obsevemos que o temo K, que apaece calculada nos pontos e, depende apenas do ponto no qual é calculado, atavés da distância e da caga fixa. Podemos então afima que K mede uma popiedade do ponto em que é calculada, popiedade esta que existe devido à existência da caga. Essa popiedade do ponto ecebe o nome de POTENCIL ELÉTRICO geado pela caga puntifome. Repesentando po V essa popiedade: V = K Equação 5-1 ssim, no ponto : V = K e no ponto : V = K e a Equação 5-9 fica: expessão pontos e. τ = F ds = K K = Equação 5-11 V ecebe o nome de difeença de potencial (ddp ente os Uma infomação impotante deve se colocada neste instante: suponha que a caga que gea os potenciais V e V não seja fixa, ou seja, que as distâncias e sejam vaiáveis no tempo. Nesta condição a difeença de potencial que apaece no esultado obtido não tem mais significado emboa continue existindo a integal do pimeio membo. Esta integal tem um impotante papel no estudo da eleticidade, como veemos posteiomente, e ecebe o nome de foça eletomotiz (fem. pati da Equação 5-11 podemos defini a unidade de difeença de potencial. Reescevendo-a convenientemente τ Joule J V = = = = Volt = V Coulomb C Equação 5-1 Esta última expessão pemite que se dê o significado físico da difeença de potencial: é o tabalho ealizado po unidade de caga com o sinal tocado. Voltemos à Equação 5-1, V = K. Obseva-se que se a distância tona-se infinitamente gande o potencial no ponto tona-se infinitamente pequeno, este fato nos pemite atibui um significado físico ao valo do potencial no ponto. Paa isto imaginemos, na situação descita acima, que a caga seja tanspotada desde um 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 3 de 7

4 Intodução à Eleticidade S.J.Toise ponto até um ponto infinitamente distante. O tabalho ealizado pela foça eletostática seá dado po τ ( = K K = K = V ou seja: ( τ V = Equação 5-13 que nos pemite da o significado de potencial no ponto: é o tabalho ealizado pela foça eletostática quando a caga é deslocada desde o ponto até um ponto infinitamente distante Execícios ( Uma caga puntifome de medida µ C enconta-se fixa em um ponto P. Uma outa caga de medida, µ C é tanspotada de um ponto localizado a,3m da caga fixa até um outo ponto localizado a,5m da mesma caga fixa. a Calcule o potencial elético geado pela caga fixa nos dois pontos extemos do movimento. b Calcule o tabalho ealizado pela foça eletostática. c O esultado dependeia da tajetóia se etilíneo ou não? d O tabalho ealizado seia o mesmo se o sentido do movimento fosse invetido? Resp ( Na figua abaixo a caga puntifome =, µ C é fixa no ponto O. Uma outa caga puntifome de medida 7, µ C é tanspotada desde o ponto até o ponto E seguindo a tajetóia indicada,, C, D e E. Calcule o potencial elético geado pela caga fixa em cada ponto paticula da tajetóia. Calcule o tabalho ealizado em cada techo da tajetóia bem como o tabalho total. -9V, -9V, -45V,-45V,- 5714V, J,,3J, J,,13J e,45j ( Considee uma caga puntifome fixa =,7 µ C. Uma caga móvel de medida 5,8 µ C é tanspotada desde um ponto a,5m da caga fixa até um ponto infinitamente distante. Calcule o tabalho ealizado pela foça eletostática sobe a caga móvel ( Uma caga de medida 1, 3µ C é deslocada desde um ponto até um ponto. Se o potencial elético em é 1V e o potencial elético em é 18V, calcule o tabalho ealizado pela foça eletostática ( No ponto P existe uma caga de medida 1, 3µ C que se enconta a,4m de um ponto e a,7m do ponto. Calcule o tabalho ealizado pela foça eletostática se uma caga de medida 7, 4µ C se esta fo tanspotada desde até ( O tabalho é o mesmo se o sentido do movimento fo invetido? Justifique a esposta ( Em que condições o tabalho de uma foça eletostática é nulo? ( Duas cagas de medidas 3, 4µ C e 5, 4µ C encontam-se sobe o eixo Ox de um efeencial, espectivamente em x =,m e x =,4m. Uma teceia caga de medida 6, 7µ C é tanspotada desde um ponto M em x =,9m até um ponto N em x = 1,3m. Calcule o tabalho ealizado pela foça eletostática. Resp τ MN =, 1J 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 4 de 7

5 Intodução à Eleticidade S.J.Toise 5.4 Potencial geado po uma coleção de cagas puntifomes Imaginemos uma caga puntifome movendo-se em pesença de uma coleção de cagas puntifomes 1,, 3,..., n. caga sofeá a ação de um conjunto de foças F 1,F,F 3,...,Fn tal que a foça esultante sobe ela seá F = F 1 + F + F F n. Calculemos o tabalho ealizado po essa foça esultante usando a definição de tabalho dada pela Equação 5-1 quando a caga móvel se desloca desde até. τ = F ds = (F 1 + F + F F n ds τ = F ds = F1 ds + F ds + F ds Fn ds Equação 5-14 Obsevemos agoa que cada uma das integais do segundo membo é o tabalho ealizado pela foça poduzida po cada uma das cagas fixas puntifomes isoladamente cujo esultado é dado pela Equação 5-11, ou seja: = = = = n onde os índices 1,,3,...,n indicam os potenciais geados po cada uma das cagas puntifomes isoladamente. Substituindo este conjunto de esultados na Equação 5-14: τ = (V 1 1 (V (V (V n n ou, colocando em evidência e agupando convenientemente 1 3 n 1 ( ( τ = V1 + V + V Vn 1 + V + V Vn Compaando agoa este esultado com a Equação 5-11 que dá o tabalho ealizado pela foça poduzida po uma só caga puntifome obsevamos que ambas são semelhantes. difeença ente elas está no fato de que neste segundo caso os potenciais se somam. Podemos então conclui que o potencial esultante em cada ponto, poduzido po uma coleção de cagas puntifomes é a soma dos potenciais geados po cada caga isoladamente. Este esultado ecebe o nome de pincípio da supeposição dos potenciais eléticos. Temos então que o potencial esultante em cada ponto é: Execícios de evisão teóica ( O que é o potencial elético? V = V1 + V + V V n 3 n Equação ( Desceva a expessão que pemite calcula o potencial elético geado po uma caga puntifome. Use palavas, não use fómulas ( ual a unidade de potencial elético? Como ela é definida? ( O que significa dize que a difeença de potencial ente os pólos de uma pilha é 1,5V? ( ual a elação ente o tabalho ealizado po uma foça de natueza eletostática e o potencial elético? ( Po que você pode afima que o tabalho ealizado pela foça dada pela Lei de Coulomb não depende da tajetóia? 5.4. Execícios 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 5 de 7

6 Intodução à Eleticidade S.J.Toise ( Um ponto P enconta-se a uma distância de,4m de uma caga de medida 1,3µ C. Calcule o potencial elético no ponto P geado po essa caga. 77V ( No ponto P existe uma caga de medida 1, 3µ C que se enconta a,4m de um ponto e a,7m do ponto. Calcule a difeença de potencial ente os pontos e 1536V ( Sobe o eixo x de um efeencial existem as cagas: 1, 3µ C em x =,4m, e, 3µ C em x = 1,m. Calcule o potencial elético em x =,8m. -5V ( Tês cagas de medidas 1,µ C,,µ e 3,µ Cencontam-se espectivamente nos pontos (,1 ; -,3 ; -,5m, (-,3 ;,5 ; -,4m e C(,7 ;,5 ;,1m. Calcule o potencial elético na oigem do efeencial V ( Duas cagas de medidas 3, 4µ C e 5, 4µ C encontam-se sobe uma eta sepaadas po uma distância de,6m. Calcule o potencial elético exatamente no meio da distância ente elas. -6V ( Enconte um ponto ente as cagas do execício anteio no qual o potencial elético seja nulo.,3m da caga de meno valo absoluto ( s duas cagas 1 = µ C e = 3µ C da figua estão fixas. Detemine o potencial elético nos pontos, e C ( Considee a figua do execício Detemine a posição de um ponto sobe a eta que passa pelas duas cagas no qual o potencial elético é nulo ( Considee a figua do execício Detemine medida da caga que deveia se colocada no ponto paa que o potencial em C fosse nulo? ( Na figua abaixo se tem: 1 =,3 µ C, = 3,4 µ Ce 3 = µ C. Calcule o potencial elético esultando no ponto. Detemine o tabalho ealizado se uma caga = 6,3 µ C fosse tanspotada desde esse ponto até um ponto muito distante ( Considee na figua do execício somente as cagas 1 e. Detemine a equação dos pontos do plano no qual o potencial elético é nulo 5.5 Potencial elético poduzido po uma caga não puntifome Vimos que o potencial elético geado po uma caga puntifome a uma distância da mesma é dado pela expessão V = K Equação 5-16 Imaginemos agoa que a caga não seja puntifome. Nesta condição a distância não está deteminada e conseqüentemente a Equação 5-16 não pode se dietamente aplicada paa calcula-se o potencial num ceto ponto P. Paa calcula-se o potencial 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 6 de 7

7 Intodução à Eleticidade S.J.Toise elético neste caso utilizamos o ecuso matemático, já descito no capítulo que estudou o veto campo elético, que consiste de: Figua Imagina-se a caga distibuída subdividida em infinitas cagas, infinitamente pequenas dq, cada uma das quais pode se consideada puntifome. Nestas condições a caga dq pode se consideada puntifome e, potanto a distância ente cada uma delas e o ponto P fica deteminada; Figua Cada uma dessas cagas puntifomes poduziá no ponto P um potencial elético que pode se calculado pela Equação 5-1, ou seja: dv = K Obsevemos que nesta equação escevemos geado po dq é também infinitamente pequeno; dq dv Equação 5-17 indicando que o potencial elético 3- plicando-se o pincípio da supeposição dos potenciais eléticos podemos dize que o potencial elético esultante no ponto P é a soma dos infinitos potenciais dados pela Equação 5-17, geados pelas infinitas cagas dq ou seja: V = dv = K Equação 5-18 Deve-se entende que a soma deve se feita consideando-se todas as cagas dq existentes na caga distibuída Execícios ( Considee uma distibuição linea e etilínea de cagas, de compimento L, unifomemente eletizada, e um ponto P, na mesma dieção da distibuição. e a uma distância s do extemo da distibuição. Calcule o potencial geado no ponto P ( Resolva o execício supondo que a densidade linea de cagas vaia de acodo com a expessão λ =,1 x, onde x é medido a pati da extemidade mais afastada do ponto P ( Um fio de compimento L, unifomemente eletizado com densidade linea de cagas é encuvado fomando uma semicicunfeência. Calcule o potencial elético geado no cento da semicicunfeência ( Resolva o execício supondo que o fio seja encuvado fomando uma cicunfeência ( Na figua abaixo é um conduto filifome, de compimento L, unifomemente eletizado com densidade linea de cagas. Calcule o potencial geado no ponto P dq 5/6/5 Teo-5-5.doc Página 7 de 7