Quasi-Neutralidade e Oscilações de Plasma

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1 Quasi-Neutalidade e Oscilações de Plasma No pocesso de ionização, como é poduzido um pa eléton-íon em cada ionização, é de se espea que o plasma seja macoscopicamente uto, ou seja, que haja tantos elétons quanto íons no volume do plasma No entanto, num plasma eal, de volume limitado, a peda de cagas po pocessos difusivos pode se bastante distinta paa elétons e íons Potanto, em pincípio não haveia azão paa que o plasma pemace quasi-uto No entanto, a maioia dos plasmas tem distibuições quasi-utas de densidade de cagas, o quê significa que n e n i localmente em todo o plasma Essa caacteística é denominada quasiutalidade A azão paa que ocoa é que qualque desvio da quasiutalidade faz sugi campos eléticos intensos que foçam a sua estauação, induzindo, simultaamente, as chamadas oscilações de plasma Vamos investiga essa popiedade utilizando um modêlo bastante simples, a fatia petubada de plasma Consideemos um plasma quasi-uto, com densidades n e = n i = n, e petubemos uma pequena fatia dele, etiando todos os elétons dento de uma camada plana de lagua δ, mas deixando os íons em suas posições oiginais, como indicado na Fig5 Fig 5 Esquema de uma fatia de plasma petubada A espessua da fatia é δ e todos os elétons da fatia foam deslocados paa dento do plasma foa da fatia

2 O campo elético dento da fatia pode se deteminado pela lei de Gauss, consideando que, po azões de simetia, ele deve esta na dieção do eixo x Aplicando a lei de Gauss ao cilindo indicado na Fig 5, temos E ds = q Na supefície lateal do cilindo, o campo elético é pependicula ao veto ds e dento do plasma podemos considea o campo elético nulo devido `quasiutalidade do plasma Po outo lado, dento do cilindo a caga total seá dada pela densidade iônica (suposta unifome) vezes a caga vezes o volume; assim, a lei de Gauss fica q E ds = EA = Ax = E = x Calculemos agoa a foça que este campo vai exece num eléton dento do plasma, póximo à boda da fatia A foça seá F = x Paa se te uma idéia da odem de gandeza dessa foça, consideemos uma densidade típica de um plasma de fusão, n 1 m - e um pequeno deslocamento, x 1mm Neste caso a foça seá apoximadamente,9 1-1 N, causando uma aceleação do eléton de, 1 m/s! Potanto, qualque pequeno desvio da qausi-utalidade faz sugi uma intensa foça estauadoa que foça a utalidade novamente Na pesença da foça estauadoa, a equação de movimento do eléton fica d x dt d x = ee = x, ou = x dt m m e e

3 Esta é a equação do oscilado hamônico clássico, cuja solução pode se escita como (veifique po substituição) x () t x cos( ω t) =, pe onde a feqüência de plasma (na ealidade feqüência angula) dos elétons é definida po ω pe = m e Emboa as oscilações de plasma tenham sido obtidas a pati de um modêlo bastante atificial, ela pode se deivada de foma igoosa, a pati da descição do plasma como um fluído As oscilações de plasma ocoem natualmente, excitadas po qualque petubação aleatóia Potanto, em plasmas tanto de laboatóio como astofísicos, mesmo os de muito baixa tempeatua, os elétons estão continuamente oscilando, com suas feqüências de plasma caacteísiticas ( a definição da feqüência de plasma dos íons é igual à dos elétons, substituindo a massa eletônica, m e, pela iônica, m i ) Mas, como as massas dos íons são muito maioes que a dos elétons, a feqüência de plasma iônica é muito meno que a eletônica (ceca de quaenta vezes no caso dos íons seem potons) lindagem de ebye O campo elético que suge num plasma quando há sepaação de cagas tem uma conseqüência inteessante e, de ceta foma, ispeada, quando se considea o campo ciado po qualque caga teste imesa no meio Suponhamos que uma caga teste positiva, esfeicamente simética, seja inseida em um plasma oiginalmente uto, ou seja, com densidades n e = n i = n Os íons vão se epelidos pela caga teste e os elétons ataídos, modificando localmente o potencial eletostático e a distibuição de cagas em seu entono No entanto, a configuação final de cagas não é estática Como os elétons e íons têm egia

4 témica, aqueles podem se afasta e estes se apoxima da caga teste, intecambiando egia cinética (témica) com egia potencial (eletostática) Potanto, a configuação esultante vai depende da egia témica do plasma, ou seja, de sua tempeatua Fig 6 Esquema de uma caga teste imesa em um plasma uto Consideemos a configuação esquematizada na FIg 6 A caga teste está na oigem e, devido à sua simetia esféica, o potencial eletostático só deve depende da coodenada adial e o campo elético deve esta na dieção adial, ou seja, E( ) = E( ) eˆ, onde e é o veto unitáio na dieção adial Ao nos afastamos suficientemente da caga, sua petubação desapaece, de foma que espeamos que quando Já ao nos apoximamos da caga teste, o seu efeito domina sobe o das cagas do plasma, de foma que podemos impo a condição inicial φ() qt φ () quando Natualmente, longe da caga teste, 4 π o plasma continua uto mas, na egião no seu entono, espeamos que a densidade de elétons seja maio que a de íons (o inveso caso a caga teste seja gativa), ou seja, n e n i Aplicando a lei de Gauss à supefície esféica indicada na Fig 6, temos q t E ds = 4π E = = + ( n n ) i e q e dv,

5 onde supusemos que os íons têm caga igual à dos elétons A vaiação adial das densidades iônica e eletônica vai depende da dependência adial do potencial eletostático poque, como o sistema está em equilíbio témico, a distibuição de cagas vai vaia segundo o fato exponcial de oltzmann, cujo agumento é dado po [ (egia potencial)/(egia témica)] 1 A egia potencia eletostática é dada po qφ( ) dos elétons q = -e, temos e a egia témica po kt Como a caga dos íons é q = e e a n i _ kt = e n e kt =, de foma que a lei de Gauss fica _ kt 4 π q t kt E = + ( e _ e ) dv Como o campo elético é dado po menos o gadiente do potencial, E = _ dφ d, esta última equação é uma elação difeencial-integal não lia paa o potencial No entanto, podemos simplificá-la consideando que,na maioia dos plasmas de inteesse, a egia témica é muito maio que a potencial, / k T << 1 Então podemos desenvolve os fatoes exponciais dento do integando, mantendo temos até pimeia odem Lembando que e x 1 + x +, paa x << 1, temos ( e _ kt _ e kt ) 1_ k T (1+ k T + ) _ k T, e a lei de Gauss fica 1 Os alunos não familiaizados com a distibuição de oltzmann devem le o livo do Pof Moysés Nussenzweig, Física, Vol, cap 1

6 dφ qt _ 4π = _ φ () dv d k T Como o elemento de volume esféico é dado po dv = 4π d, a equação pode ainda se escita como d d qt = φ() d 4π k T φ Esta equação integal pode se esolvida facilmente deivando-a uma vez mais com elação a, obtendo 1 d dφ ( ) = d d φ k T A foma da solução dessa equação pode se infeida po agumentos físicos; sabemos que, ao nos apoximamos da caga teste, o potencial tem que vaia com 1/ Então, podemos tenta uma solução do tipo f () φ () =, onde a função desconhecida f() epesenta a modificação do potencial devido à nuvem de cagas positivas e gativas do plasma que se fomam em seu entono Utilizando esta expessão, o lado esquedo da equação paa o potencial fica 1 d d ( dφ 1 df ) = (_ d d + df d + d f 1 d f ) = d d A equação paa a função f() fica então

7 d f d = f k T efinindo o Compimento de ebye pela expessão k =, T A _ a solução da equação paa f é dada po f () = e + e Como o segundo temo divege quando, temos que faze = e a expessão paa o potencial eletostático fica A _ φ() = e Finalmente, a constante A é deteminada pela condição que o potencial tem que tende paa a expessão de uma caga puntifome quando ; então obtemos q _ t φ() = e 4π O fato exponcial que apaece na expessão paa o potencial da caga teste imesa no plasma é devido à blindagem das cagas do plasma no entono da caga teste Este fato é denominado fato de blindagem de ebye e ele faz com que o potencial decesça muito mais apidamente que o potencial coulombiano, com é indicado na Fig 7 Na pática, podemos considea que, paa distâncias maioes que dois ou mais compimentos de ebye, o potencial da caga teste está totalmente blindado O campo elético pode se obtido simplesmente deivando a expessão do potencial com elação à coodenada adial Fica como execícios paa os alunos detemina a expessão do campo, veifica o quê acontece com a

8 vaiação adial do campo peto de =, e demonsta que a caga total dento de uma esfea de aio igual ao aio de ebye, centada na caga teste, é nula, ou seja, a quantidade de elétons dento de uma esfea de ebye é supeio à dos íons o suficiente paa cancela a caga teste Potencial Potencial de Coulomb 1 Potencial de ebye,,5 1, 1,5,, 5, /lambda ebye Fig 7 Gáfico mostando a vaiação do potencial Coulombiano e o potencial de ebye com a distância à caga teste O eixo hoizontal é a distância adial nomalizada à distância de ebye e o eixo vetical é o potencial nomalizado à q t 4π Como qualque caga do plasma pode se consideada com uma caga teste, todas elas se compotam como maco patículas vestidas, ou seja, em tono de cada caga podemos considea que há uma nuvem de blindagem de foma que, ao uma caga se apoxima de outa, elas só sentião o campo eletostático de uma caga pontual se estiveem à uma distância infeio à distância de ebye ente elas efinição de Plasma Agoa podemos defini um plasma mais coetamente, não simplesmente como um gás ionizado Consideamos um plasmas como um sistema de cagas lives no qual a blindagem eletostática é efetiva Paa que isso ocoa, natualmente a densidade de cagas tem que se o suficientemente alta paa que haja um númeo adequado de cagas dento de uma esfea de ebye paa que a blindagem eletostática seja efetiva O volume de uma esfea de ebye, no entono de qualque caga, é dado po

9 4π Sendo n a densidade tanto de elétons como de íons, o númeo de cagas dento da esfea de ebye seá n multiplicado pelo volume, ou seja, N 4π n k T 8π = [ 1 ] n e = Paa que a blindagem seja efetiva, natualmente é cessáio que N >> 1, ou, escito de uma foma conveniente, que 1 g << 1 n Esta gandeza é denominada paâmeto de plasma e constitui um fato de desenvolvimento utilizado em modêlos teóicos de plasma