Aula Invariantes Adiabáticos

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1 Aula 6 Nesta aula, iemos inicia o estudo sobe os invaiantes adiabáticos, finalizando o capítulo 2. Também iniciaemos o estudo do capítulo 3, onde discutiemos algumas popiedades magnéticas e eléticas do plasma como fluido. 2.4 Invaiantes Adiabáticos Em mecânica clássica, vimos que se um sistema tem movimento peiódico, a integal de ação duante um peíodo completo deve se uma constante do movimento, isto é, deve se consevada. Mas se o sistema sofe alguma petubação duante um cuto intevalo de tempo (meno que o peíodo de movimento), de maneia que seu movimento passe a se quase peiódico, então em conseqüência a integal de ação é também quase consevada, isto é, tona-se um invaiante adiabático. Os invaiantes adiabáticos são de gande impotância em física de plasma, pois pemitem obte espostas simples de complicados movimentos que uma única patícula pode executa.

2 Iemos entende 3 tipos de invaiântes adiabáticos, cada um coespondendo a um movimento peiódico difeente. Obsevação: A integal de ação em mecânica clássica é expessa po pdq, onde p e q são momentum e coodenada genealizada, espectivamente. O pimeio invaiante adiabático: Momento Magnético µ. Na aula 4, definimos a gandeza escala µ e também povamos sua invaiância tanto paa não unifome quanto paa vaiando no tempo. Agoa iemos pova sua invaiância, a pati da integal de ação, onde o movimento peiódico em questão é o movimento ciclotônico da patícula. Se p = momentum angula da patícula em óbita e dq = dθ, podemos calcula a integal de ação, então

3 pdq = mv dθ = mv 4πm pdq = µ q 2π Calcula! Se a integal de ação é uma constante do movimento, duante um peíodo completo de gio da patícula, então paa que isso seja satisfeito, necessaiamente µ deve se constante (segundo a expessão 2.4.1), isto é, consevada. ω c << Assumimos também que 1, isto é, que a feqüência de oscilação de é muito meno que a feqüência ciclotônica da patícula, isto é, duante um peíodo de gio da patícula, gaantimos que µ vaie menos com elação ao campo magnético. ω ω c Paa valoes de 1, isto é, ω não é pequeno quando compaado com ω c, a invaiância de µ pode se violada. A segui, apesentamos alguns sistemas ou situações (consulta o livo texto), onde a invaiância de µ pode se violada, devido ao fato de que o ω

4 plasma, nestes sistemas pode sofe aquecimento, seja po evento colisional ou não. Espelho MagnéticoOscilante; Aquecimento Ciclotônico; Cúspide Magnética. O segundo invaiante adiabático: Invaiante Longitudinal J. Paa uma única patícula confinada ente 2 espelhos magnéticos, espea-se um movimento peiódico de ida e volta ente os espelhos, com uma ceta feqüência. A pati da integal de ação, podemos enconta uma nova constante do movimento, paa este novo movimento peiódico de ida e volta. No entanto, se existi algum tipo de deiva do cento guia, eventualmente o movimento que oa ea peiódico, não seá pefeitamente peiódico como antes e então a constante do movimento passa a se um invaiânte adiabático. A figua abaixo, mosta um evento natual da situação descita acima, isto é, um única patícula

5 confinada ente 2 espelhos magnéticos e sujeita à deiva dos seu cento guia Movimento de uma única Patícula no Campo Magnético Teeste. Se p = momentum da patícula em seu movimento de ida e volta e dq = ds (elemento de compimento de uma dada linha de campo), então podemos enconta um segundo invaiante adiabático: o invaiante longitudinal, definido paa o movimento de ida ou volta ente os pontos a e b de eflexão sob uma mesma linha de campo magnético J b = V// ds = cons tan e a Paa enconta o esultado da expessão 2.4.2, consulta o livo texto. Calcula!

6 A figua abaixo, mosta uma patícula em movimento oscilatóio ente os pontos de eflexão a e b sob uma mesma linha de campo magnético. Movimento de ida ou volta ente os pontos de eflexão a e b sob uma mesma Linha de Campo Magnético. O esultado da expessão 2.4.2, pemite afima que o movimento de ida e volta da patícula em óbita sob uma dada linha de campo magnético, deve ocoe unicamente sob a mesma linha de campo magnético. Potanto, no exemplo do movimento de uma única patícula no campo magnético teeste, se J fo um invaiante adiabático, então o movimento de ida e, após a eflexão, de volta, deve ocoe sob a mesma linha de campo magnético teeste. O teceio invaiante adiabático: Fluxo Magnético Φ. Ainda efeindo-se ao exemplo do movimento de uma única patícula no campo magnético teeste,

7 podemos enconta um teceio movimento peiódico, isto é, o movimento de óbita da patícula, devido à deiva, em tono do planeta Tea. Associado a este movimento peiódico, podemos enconta uma nova constante do movimento: o fluxo magnético atavés da áea delimitada pela óbita da patícula em tono da Tea. Devido ao fato da não unifomidade do campo magnético teeste que passa atavés da áea delimitada pela óbita da patícula, a constante do movimento, Φ que deve se consevada, pode se tona, novamente um invaiante adiabático. Obsevação: As mesmas consideações acima, podem se utilizadas paa detemina o fluxo magnético, associado ao movimento peiódico da patícula em tono das linhas de campo magnético, isto é Φ m = dφ dt m ds = = 2πm q 2 ( π 2 L dµ = 0 dt ) = 2πm q 2 µ 2.4.3

8 3. O Plasma como Fluido No capítulo anteio vimos que o movimento isolado de patículas caegadas em campos elético e magnético pode da oigem a um gande númeo de fenômenos que em pate, são obsevados em plasmas natuais e de laboatóio. No entanto num plasma, milhões de patículas coexistem inteagindo ente si e com campos eléticos e magnéticos extenamente aplicados. Também devese computa o fato de que campos E e intenos são ciados pelas posições e movimentos das patículas caegadas no plasma. Paa avalia o efeito final da dinâmica das patículas em campos e, isto é, o compotamento global do plasma, um modelo apoximado é utilizado: o modelo de fluidos, onde ao invés de tata o plasma como uma coleção de patículas individuais, tata-o como uma coleção de elementos de fluido. Iemos confonta a pati de agoa, 2 impotantes teias: a teoia eletomagnética e a teoia de fluidos, paa tentamos compeende melho, o plasma como um fluido de patículas caegadas. E

9 Começaemos com as equações de Maxwell do eletomagnetismo clássico, pois pemitem detemina o compotamento de campos e geados po coentes ou distibuições localizadas de cagas no plasma. Considee um plasma com suas distibuições localizadas de cagas e coentes, então no vácuo, as equações de Maxwell que pemitem-nos detemina E os campos Intenacinal, são Obsevações: e E, em unidades do Sistema D = ρ = 0 & E = & H = J + D a) O plasma pode se consideado como um meio dielético, desta foma pode ocoe contibuições dos campos intenos e (geados pelo pópio plasma de pemeabilidade magnética µ D H m

10 e constante dielética ε), devido à polaização e magnetização do plasma; b) A pincípio, seia lógico tata o plasma como um meio magnético com pemeabilidade magnética µ m (usamos o índice m paa difeencia a pemeabilidade magnética do pimeio invaiante adiabático µ). Poém, difeentemente dos mateiais magnéticos (po exemplo, Feita ou Níquel), não encontaemos uma elação linea ente isto é M e paa os plasmas, Paa um mateiais magnético qualque, temos: M = χ mh = µ H m (paa detemina esta expessão, consulte o livo texto ou outa efeência sobe mateiais magnéticos) Paa os plasmas, temos: M

11 mv 1 = 2 (ve o capítulo 2 em 2 µ 2.2 na expessão ) Então, se a magnetização é soma das contibuições do momento magnético de cada patícula po unidade de volume, temos M M Justamente, devido a esta difeença M macante ente a popocionalidade de com, nos 2 casos acima, não devemos considea os plasmas como um meio magnético; c) Investigando o plasma como um mateial dielético, podemos tenta enconta uma expessão paa a constante dielética do mesmo, da mesma maneia que é possível enconta a constante dielética paa um mateial dielético qualque, então Paa um mateiais dieléticos qualque, temos:

12 ε = 1+ 4πχe (paa detemina esta expessão, consulte o livo texto ou outa efeência sobe mateiais dieléticos) Agoa paa os plasmas, considee o seguinte: que o mesmo seja submetido a campos E unifomes no espaço, mas senoidalmente no tempo, isto é E = E e ω i t ˆ 0 x E e na dieção x, vaie Vimos que a velocidade de deiva do cento guia, devido à vaiação tempoal do campo elético é V p 1 de =± ω << ω dt capítulo 2 em 2.3 na expessão 2.3.5) c ω c (ve o

13 A pati da análise ealizada paa V p, encontamos uma coente, devido á sepaação das cagas de sinais contáios, isto é J p = 2.3 na expessão 2.3.6) ρ 2 de dt (ve o capítulo 2 em Agoa aplicando a equação de Àmpee-Maxwell no vácuo (no Sistema Intenacional de Unidades) e consideando também uma coente extena de patícula, além da coente de polaização ioniza e aquece o gás, temos E = J f + J p + t ρ E = J f t ρ ε = J p, que 3.1.2

14 O esultado acima, é a constante dielética paa movimentos tansvesais, isto é,. A pati do expessão paa a constante dielética do plasma, podemos conclui que os campos eléticos das patículas do plasma pode intefei nos campos extenos aplicados.