O perímetro da circunferência

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1 Univesidade de Basília Depatamento de Matemática Cálculo 1 O peímeto da cicunfeência O peímeto de um polígono de n lados é a soma do compimento dos seus lados. Dado um polígono qualque, você pode sempe calcula o seu peímeto utilizando uma égua paa medi o tamanho de cada lado. Isso funciona bem poque cada um dos lados é um segmento de eta. Esse conceito pode se estendido paa uma cuva qualque no plano. Nesse caso, o peímeto é definido como sendo o compimento do contono da cuva. Pode se complicado calculá-lo quando o contono não é fomado somente po segmentos de eta, tendo algumas pates cuvas. Neste teto estamos inteessados em calcula o peímeto de uma das cuvas mais famosas. Mais especificamente, vamos estuda a seguinte questão: Poblema: Qual o compimento de uma cicunfeência de aio > 0? Você cetamente sabe que o peímeto é dado po 2π. O que queemos aqui é apesenta um pocesso de apoimação que nos conduza a essa fómula. A ideia é paecida com aquela apesentada no teto sobe a velocidade de um cao. O pocesso de apoimação pode se descito da seguinte maneia: paa cada númeo natual n 3, seja p n o peímeto do polígono egula de n lados inscito na cicunfeência de aio. Podemos ve abaio o desenho de algum desses polígonos. l 6 l 8 l 10 n = 6 n = 8 n = 10 Chamando de P o compimento da cicunfeência, fica clao a pati dos desenhos que, quanto maio fo o valo de n, mais póimo o númeo p n estaá de P. Note ainda que a apoimação é sempe feita po falta, isto é, temos que p n < P paa todo n. Obseve que cada polígono pode se decomposto em n tiângulos isósceles. Vamos da um zoom em um deles de modo a calcula o valo de p n. 1

2 C B A Se l n é o compimento do lado do polígono, então é clao que p n = nl n. Paa obte o valo de l n, vamos usa o tiângulo etângulo acima paa esceve sen( ) =. O ângulo BÂC mede 2π/n adianos. Como o tiângulo ABC é isósceles, temos que é a metade do ângulo BÂC, isto é, = π/n. Desse modo, segue da epessão acima que l n = 2sen(π/ e potanto p n = 2 n sen. Com o auílio de uma calculadoa, podemos calcula o peímeto, po eemplo, do tiângulo e do octógono egula inscitos p 3 = 2 3 sen(π/3) = 5,21, p 8 = 2 8 sen(π/8) = 6,12, onde fizemos apoimações usando 2 casas decimais. Paa estuda como p n vaia quando n cesce, temos que sabe o compotamento do poduto nsen(π/. Uma vez que a fação π/n se apoima de zeo, o temo que envolve o seno se apoima de sen(0) = 0. Po outo lado, esse temo está multiplicado po outo que fica muito gande. Não está clao o que ocoe com o poduto e po isso dizemos que isso é uma indeteminação do tipo 0. Paa entende melho o que isso significa considee os 3 podutos abaio. 1 n n, 1 n n, 1 2 n n2. Em todos eles temos o poduto de dois temos que dependem de n. Quando n cesce, o pimeio se apoima de zeo e o segundo fica cada vez maio. No entanto, em cada caso, o poduto tem um compotamente difeente quando n cesce. No pimeio ele se apoima de 1 (poque na vedade é igual a 1 sempe), no segundo se apoima de zeo (poque é igual a 1/ e no teceio fica cada vez maio (poque é igual a. Daí o temo indeteminação. 2

3 Você deve ecoda que, no teto sobe a velocidade do cao, nos depaamos com uma situação paecida com a do paágafo acima. A difeença é que lá tínhamos uma indeteminação do tipo 0/0, isto é, uma fação com numeado e denominado se apoimando de zeo. Paa apoveita aquela epeiência, vamos eesceve a epessão de p n na seguinte foma: p n = 2 n sen = 2π sen(π/ π/n. Assim, basta que estudemos o compotamento do númeo Isto seá feito atavés da função β n = sen(π/ π/n. f() =, 0. Como β n = f(π/ e π/n se apoima de zeo quando n cesce, pecisamos estuda o compotamento de f() paa valoes póimos de zeo. Escevemos então lim β sen(π/ n = lim = lim f(π/ = lim n + n + π/n n + 0. (1) Emboa a notação acima ainda não tenha sido intoduzida fomalmente, o seu significado não é complicado. Po eemplo, quando olhamos paa o limite lim 0, estamos fazendo a seguinte pegunta: o que acontece com a fação quando os valoes de ficam cada vez mais póimos de 0? Como no teto da velocidade do cao, temos uma fação cujo numeado e denominado se apoimam de zeo. Lá, fomos capazes de faze algumas simplificações na fação de modo a calcula o limite. Aqui a situação é mais complicada poque não está clao como podemos faze simplificações no quociente /. Vamos pimeio usa a figua abaio paa taze alguma luz sobe o que está acontecendo. Note que, no cículo de aio 1, a medida emadianos de um ângulo é eatamente o compimento do aco, indicado po na figua, enquanto é a medida do segmento de eta vetical que foma um dos catetos 0 1 do tiângulo. Assim, é azoável dize que, quando se apoima de zeo, o compimento do segmento de eta e do aco se apoimam um do outo, o que faia com que a fação se apoimasse de 1. Com o auílio de uma calculadoa, podemos ainda constui a seguinte tabela: = 1 = 0,5 = 0,1 = 0,01 f() = / 0, , , ,

4 Novamente, somos tentados a dize que a fação se apoima de 1. Isso de fato ocoe, confome seá visto nas semanas seguintes. Po oa, vamos confia na nossa intuição paa esceve o limite tigonomético fundamental lim 0 = 1. De posse dessa infomação, podemos usa as igualdades em (1) paa obte P = lim p n = lim 2πsen(π/ sen(π/ = 2π lim = 2π. n + n + π/n n + π/n Assim, o peímeto da cicunfeência de aio > 0 é igual a 2π, confome afimado pelos nossos pofessoes das séies básicas. 4

5 Taefa Nesta taefa, vamos usa o mesmo pocedimento do teto paa calcula a áea do cículo de aio. Paa tanto, vamos denota po A essa áea e po a n a áea do polígono egula de n lados inscito na cicunfeência, com n 3. A áea a n seá calculada como a soma da áea de cada um dos n tiângulos em que o polígono pode se dividido. As figuas abaio ilustam isso. O númeo h n é a altua do tiângulo. h n h n 1. Calcule os valoes do cosseno e do seno do ângulo paa veifica que a áea do tiângulo é dada po 2 sen(π/cos(π/. 2. Conclua do item acima que a n = π 2 sen(π/ π/n cos. 3. Obsevando que π/n se apoima de zeo quando n cesce, detemine o valo do limite ) lim cos. n + n 4. Lembando agoa que o temo que envolve o seno na epessão de a n também se apoima de 1, detemine a áea do cículo, que é dada po A = lim a n = π 2 sen(π/ ) lim lim n + n + π/n cos. n + n 5