CPV O cursinho que mais aprova na GV

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1 RJ_MATEMATICA_9_0_08 FGV-RJ A dministação Economia Dieito C Administação das 200 vagas da GV têm ficado paa os alunos do CPV CPV O cusinho que mais apova na GV Ciências Sociais ociais GV CPV. ociais 9/0/2008 MATEMÁTICA 0. No º século a.c., o dieto da Biblioteca de Alexandia, Eatóstenes de Ciene, calculou da seguinte foma o meidiano teeste: conhecia-se a distância L ente Alexandia e Siena, igual aos atuais 787,5 km; sabia-se que, ao meio-dia do solstício de veão, o sol estava a pino em Siena e pojetava somba em Alexandia, em edificações veticais. As duas cidades estavam localizadas apoximadamente sobe o mesmo meidiano. Eatóstenes mediu a inclinação θ dos aios do sol em elação à pependicula em Alexandia e obteve apoximadamente θ = 7º. Conseguiu, então, calcula com boa pecisão a medida do meidiano teeste M. Repoduza seu aciocínio e calcule M. 02. Paa tanspota ceta caga, uma empesa tem as seguintes opções: Po feovia Custo fixo de R$.000,00 mais R$ 5,00 paa cada quilômeto odado. Po odovia Custo fixo de R$ 500,00 mais R$ 7,00 paa cada quilômeto odado. a) Calcule, em quilômetos, a distância d a se pecoida paa que os custos totais sejam iguais e calcule o valo desse custo. b) Paa uma distância pecoida maio que d, qual a opção mais baata? Justifique. C F = x C R = x a) C F = C R x = x x = d = 250 km C F = C R = C = 2250 Ambas as opções custaiam R$ 2250 po um pecuso de 250 km. b) Paa d > 250 o custo meno é C F, isto é, a opção mais baata é a feoviáia. θ L 80º x x = km ) 7º 7º 787,5 km 80º x 7º 787,5 km Pólo Note meidiano 80º Pólo Sul C R C F A pati dessa distância, o meno custo cobado po km de feovia compensa o maio custo fixo em elação à opção odoviáia, que tem um cuto po km maio. Analiticamente, a eta de C F tem um coeficiente angula meno.

2 2 fgv 9/0/2008 CPV o cusinho que mais apova na GV 0. Considee o polinômio dado po P(x) = x x x x Sabendo que uma das aízes de P(x) é 2, obtenha as outas aízes. P(x) = x x x 2 0 x 20 P(x) = x + 2x x 20 P(x) = x + 2x 2 x 8 Se P( 2) = 0 então Q(x) = x 2 + 4x 9 = 0 (contém as outas aízes) 04. Resolve a equação (x + ) ( x) = 80. x+ x = 80 x. = 80 x Obseve que essa equação pode se eduzida a uma equação quadática: Se x = t então t 2 80t 27 = 0 Resolvendo, temos as aízes: t = 27 x = 27 x = t = (não convém) Potanto x = 4 ± 6 6 2( ) = 4 ± 20 2( ) = 2 ± i 5 As outas aízes são 2 + i 5 e 2 i 5.

3 CPV o cusinho que mais apova na GV Fgv 9/0/ As medidas dos lados de um tiângulo etângulo fomam uma pogessão aitmética de azão igual a 4. a) Calcule a medida de cada um dos lados desse tiângulo. b) Calcule a áea do cículo inscito nesse tiângulo. Aplicando Pitágoas temos (x + 4) 2 = x 2 + (x 4) 2 x 4 x 2 + 8x + 6 = x 2 + x 2 8x + 6 x = 0 (não convém) x 2 6x = 0 x = 6 a) Os lados são 2, 6 e 20. b) 20 = = 8 = 4 2 S = π 2 = 6π x + 4 x x 2y + z = 06. Seja o sistema linea x + y z = 4 4x y + kz = 5 de incógnitas x, y e z, onde k é um paâmeto eal. Detemine o valo de k paa que o sistema seja possível e indeteminado. x 2y + z = x + y z = 4 4x y + kz = 5 Escalonando temos: x 2y + z = 0 + 7y 4z = 0 + 7y + (k 4) z = E finalmente: x 2y + z = 0 + 6y 4z = kz = 0 x ( ) x ( 4) Paa que seja SPI, devemos te k = 0. + x ( ) +

4 4 fgv 9/0/2008 CPV o cusinho que mais apova na GV 07. No plano catesiano, são dados o ponto P(0; ) e a eta de equação y = Uma esfea de aio está inscita em um cone cicula eto cuja base tem aio. Detemine a altua desse cone. a) Obtenha a equação do conjunto dos pontos (x,y) eqüidistantes do ponto P e da eta. b) Calcule a áea do tiângulo cujos vétices são os pontos de intesecção desse conjunto com os eixos coodenados. A O g D H 5 y = 5 B C R V Indicando a altua (H) e a geatiz do cone (y), temos a semelhança: Δ P B Δ ABC ~ ΔADO OD AO AD = = H g = = CB AC AB g H a) Pela definição, o Luga Geomético é uma paábola de equação (x x v ) 2 = 4p (y y v ) onde V (0; ) e p = 2 (x 0) 2 = 4(2) (y ) x 2 = 8 (y ) b) Se y = 0 x 2 = 24 x = ± 2 6 Δ áea do ΔVAB é S = S = 6 6 g = H H = g 9 H = (H ) 9 H = 9 4 9

5 CPV o cusinho que mais apova na GV Fgv 9/0/ Um fumante define a seguinte estatégia paa deixa de fuma: do total que atualmente fuma diaiamente, eduzi cigaos no pimeio dia, aumenta um cigao no segundo dia, diminui no teceio dia, aumenta no quato dia, epetindo essa otina até que a quantidade de cigaos fumados diaiamente seja eduzida a zeo. Consideando que hoje ele fume 4 cigaos: a) contando com o dia de hoje, po quantos dias ele ainda fumaá até o pimeio dia em que zee seu consumo? b) quantos cigaos, incluindo os consumidos no dia de hoje, ele ainda iá fuma até o pimeio dia em que zee o seu consumo? a) Podemos monta uma tabela, simulando o total de cigaos fumados dia a dia: Dia Cigaos Uma bandeia com tês listas hoizontais e uma vetical, como é mostado na figua abaixo, deve se coloida de modo que egiões adjacentes tenham coes difeentes. Sabendo que há seis coes disponíveis, de quantos modos a bandeia pode se pintada? A A: qualque co B C D Há = 480 modos de pinta a bandeia B: qualque co, menos a da faixa A D: qualque co, menos as das faixas A e C C: qualque co, menos as das faixas A e B Os temos indicados acima, efeentes aos dias paes (8, 6, 4...), compõem uma PA com a = 8, = 2 e temo final a n = 0. Assim: a n = a + ( n ). 0 = 8 + (n ). 2 n = 20 Logo, a séie atinge o valo zeo no 20 o dia pa da sequência, ou seja, após 40 dias. b) A soma pode se obtida a pati das somas de 2 PAs: ( + ) = temos de dias ímpaes ( + ) = temos de dias paes = = 80 2 Logo, o fumante ainda consumiá 820 cigaos.

6 6 fgv 9/0/2008 CPV o cusinho que mais apova na GV COMENTÁRIO PROVA MATEMÁTICA APLICADA A avaliação consistiu em 0 questões. No geal, pevaleceam situações objetivas, com enunciados simples e esolução elativamente imediata. Como exceções, citamos as questões 4, 5b, 7 e 8, que exigiam um tabalho de cálculo mais extenso. Quanto aos tópicos exigidos, notou-se laga divesidade: Questão Geometia Plana e Tigonometia Questão 2 Equação e Inequação de º. Gau Questão Deteminantes e Equações Algébicas Questão 4 Potências e Equações Redutíveis a 2º. Gau Questão 5 Geometia Plana (Popiedades de Tangência) e PA Questão 6 Sistemas Lineaes (Discussão) Questão 7 Geometia Analítica (Cônicas e Áea de Tiângulos) Questão 8 Geometia Espacial (Cones) Questão 9 Sequências e PA (Soma de Temos) Questão 0 Análise Combinatóia Finalmente, analisando essa incidência, nota-se também um equilíbio na distibuição po assuntos, com ligeio favoecimento das Geometias: Funções, Equações, Inequações 25% Análise Combinatóia 0% Aplicações em Álgeba 0% Geometias e Tigonometia 5%