Geometria: Perímetro, Área e Volume

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1 Geometia: Peímeto, Áea e Volume Refoço de Matemática ásica - Pofesso: Macio Sabino - 1 Semeste Noções ásicas de Geometia Inicialmente iemos defini as noções e notações de alguns elementos básicos da geometia como ponto, eta, plano e ângulo. lém disso, definiemos algumas figuas geométicas planas e espaciais de maio inteesse paa o cuso Ponto O ponto, do latim punctos, efee-se, oiginalmente, a uma dada posição específica. Este não possui dimensão ou foma, ou seja, é uma abstação paa defini um luga geomético. Um ponto é denotado po letas maiúsculas latinas:,, P, etc. Paa visualização, vamos assumi um ponto como na epesentação gáfica abaixo. P Figua 1: Repesentação Gáfica do Ponto Reta Po definição, dois pontos distintos deteminam uma única eta que passa po eles. Uma eta é denotada po letas minúsculas latinas: a,, s, etc. eta Figua 2: Repesentação Gáfica de uma eta definida po dois pontos Plano Po definição, tês pontos não colineaes deteminam um único plano que passa po eles. Um plano é denotado po letas minúsculas gegas: α, β, γ, π, etc. π Figua 3: Repesentação Gáfica de um plano definido po tês pontos não colineaes. 2. Ângulos hama-se ângulo à eunião de duas semi-etas de mesma oigem, não colineaes. O ponto O é o vétice do ângulo ˆ O; O s Figua 4: Repesentação Gáfica de um ângulo ente duas semi-etas. Existem quato denominações paa denomina conjuntos de ângulos:

2 Ângulo Reto: Quando o ângulo é igual a 90o, ou seja, θ = 90 ; Ângulo gudo: Quando o ângulo é meno que 90o, ou seja, 0 θ < 90 ; Ângulo Obtuso: Quando o ângulo é maio que 90o, ou seja, 90 < θ < 180 ; Ângulo Raso: Quando o ângulo é maio que 180o, ou seja, θ = 180 ; Vejamos as epesentações gáficas dos tipos de ângulos: Ex.: etemine o valo de x em cada caso: (a) x + 4x = 90 5x = 90 x = 90 5 x = 18 x = 18. (b) (x + 20 ) + (3x 40 ) = 180 x + 3x = 180 4x 20 = 180 4x = x = 200 x = x = 50 x = Posições Relativas ente Retas adas duas ou mais etas do plano, elas podem se paalelas, concoentes, coincidentes ou concoentes pependiculaes. onsidee o esquema abaixo: onsidee duas etas em um plano. uas etas são ditas paalelas se, e somente se, possuíem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulaes foem iguais. Podemos dize também que duas etas são paalelas quando são equidistantes duante toda sua extensão. s etas e s são paalelas, ou seja, s; uas etas são ditas concoentes se estas possuiem um único ponto em comum. Na figua, temos as seguintes etas concoentes: e x, e y, s e x, e x e y; uas etas são ditas pependiculaes se o ângulo ente estas fo de 90. s etas x e y são pependiculaes, ou seja, x y; uas etas são ditas coincidentes se, e somente se, petenceem ao mesmo plano e possuíem todos os pontos em comum.

3 2.2. Popiedades das Retas Tanvesais Se duas etas paalelas são cotadas po uma eta tansvesal, os ângulos coespondentes são conguentes, isto é, possuem as mesmas medidas. s Os ângulos opostos pelo vétice de duas etas concoente são conguentes. s Se duas etas paalelas são cotadas po uma eta tansvesal, os ângulos altenos intenos são conguentes. s Ex.: onsidee o esquema epesentando uma jogada de bilha. o bate na tabela, a bola sai com o mesmo ângulo de incidência. (a) etemine o ângulo OM. ˆ Solução: ompletando o ângulo aso, temos que OM ˆ = 180 OM ˆ = OM ˆ = 55. (b) etemine o ângulo ˆ T Q. Solução: omo OM ˆ e Tˆ Q são ângulos altenos intenos, estes são conguentes. esta foma, ˆ T Q = 55. (c) etemine o ângulo Tˆ V. Solução: omo ao bate na tabela, a bola sai com o mesmo ângulo de incidência, temos que Tˆ Q e V Tˆ P são conguentes. esta foma, completando o ângulo aso, temos que V Tˆ P + T ˆ V + T ˆ Q = T ˆ V + 55 = 180 T ˆ V = T ˆ V = 70.

4 3. Tiângulos onsidee 3 pontos,,, não colineaes. eunião dos segmentos, e chama-se tiângulo. onsidee o tiângulo da Figua 5: c  b ˆ a Ĉ Figua 5: Repesentação de um tiângulo. Vétices: São definidos pelos pontos, e. Lados ou estas: Os segmentos, e, com medidas dadas espectivamente po c, b e a, são os lados do tiângulo. Ângulos: Os ângulos 3.1. lassificação ˆ (ou Â), ˆ (ou Ĉ) e Um tiângulo pode se classificado em elação aos seus lados ou ângulos. lassificação pelos Ângulos: Seguem as definições paa tiângulos em elação aos seus ângulos: Tiângulo Retângulo: Se possui um ângulo eto. Tiângulo cutangulo: Se os tês ângulos foem agudos. Tiângulo Obtusângulo: Se possui um ângulo obtuso. ˆ (ou ˆ) são os ângulos intenos do tiângulo. F I E G H Figua 6: Tiângulo Retângulo. Figua 7: Tiângulo cutangulo Figua 8: Tiângulo Obtusângulo lassificação pelos Lados: Seguem as definições paa tiângulos em elação aos seus lados: Tiângulo Equiláteo: Se 3 lados do tiângulo são conguentes. Tiângulo Isósceles: Se 2 lados do tiângulo são conguentes. Tiângulo Escaleno: Se 3 lados do tiângulo não são conguentes. F I E G H Figua 9: Tiângulo Equiláteo Figua 10: Tiângulo Isósceles Figua 11: Tiângulo Escaleno

5 3.2. Soma dos Ângulos Intenos de um Tiângulo onsidee um tiângulo qualque com ângulos intenos dados po Â, ˆ e Ĉ. soma dos ângulos intenos deste tiângulo é sempe igual a dois ângulos etos, ou seja, Ex.: etemine o valo de x em cada caso: Â + ˆ + Ĉ = 180o (a) x = 180 x = x = 70. (b) x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = x = Geometia Mética: Peímeto, Áea e Volume Nesta seção, seão tatados os conceitos de peímeto, áea de supefícies planas e volume Peímeto Peímeto é a medida de compimento de um contono ou a soma das medidas dos lados de uma figua plana. O peímeto de um tiângulo qualque é dado pela soma dos compimentos das suas tês aestas, ou seja, P = + + O peímeto de uma cicunfeência com aio é dado po P = 2 π O peímeto de um paalelogamo qualque é dado pela soma dos compimentos das suas quato aestas, ou seja, P = 2 + 2

6 5. Áea áea é a supefície compeendida dento de um peímeto. Vejamos o cálculo da áea de algumas figuas planas. áea de um tiângulo qualque é dada pelo poduto do compimento da base pelo compimento da altua dividido po dois, ou seja, = h 2. h áea de um paalelogamo qualque é dada pelo poduto do compimento da base pelo compimento da altua, ou seja, = h h áea de um etângulo é dada pelo poduto dos compimentos dos dois lados adjacentes, ou seja, = áea de um tapézio qualque é dada pelo poduto do compimento da altua pela soma dos compimentos ( ) + h da base maio e meno, dividido po dois. Temos então, = 2 h áea de uma cicunfeência qualque de aio é dada po = π 2

7 6. Volume Refee-se à gandeza física que expessa a extensão de um copo em tês dimensões (compimento, lagua e altua). O volume de um cubo é dado po V = l 3 O volume de um paalelepípedo é dado po V = a b c O volume de um cilindo é dado po V = (áea da base). (ltua) = π 2 H O volume de uma esfea é dada po V = 4 3 π R3 O volume de uma piâmide é dada po V = 1 (áea da base). (ltua) 3 O volume de um cone é dado po V = 1 3 (áea da base). (ltua) = 1 3 π 2 h

8 EXERÍIOS - Geometia: Peímeto, Áea e Volume Refoço de Matemática ásica - Pofesso: Macio Sabino - 1 Semeste 2015 Nome : Ra : P ojetos Manhã P ojetos Noite 1. onsidee o esquema nas figuas: (a) etemine os ângulos x e y. (b) etemine os ângulos x e b. (c) etemine o ângulo x. 2. onsidee os seguintes esquemas nas figuas: (a) etemine os ângulos x, y e z. (b) etemine os ângulos a, b e c. 3. onsidee os seguintes esquemas nas figuas: (a) etemine o ângulo x. (b) etemine os ângulos x, y e z. 4. onsidee um etângulo com lado maio valendo 4 [m] e diagonal intena valendo 5 [m]. (a) etemine o peímeto do etângulo. (b) etemine a áea do etângulo. (c) etemine o peímeto do tiângulo hachuado. (d) etemine a áea do tiângulo hachuado. 5. onsidee um quadado com peímeto igual a 7 [mm]: (a) etemine o compimento de cada lado do quadado. (b) etemine a áea deste quadado. 6. onsidee uma cicunfeência 1 de aio [cm] inscita em uma outa cicunfeência 2 de aio R = 4 [cm]. (a) etemine o peímeto da cicunfeência 2. (b) etemine a áea da cicunfeência 2. (c) Se a áea da cooa cicula limitada ente as duas cicunfeências é igual a 9π [cm 2 ], detemine o aio da cicunfeência 1.

9 7. onsidee o tapézio epesentado na figua com as medidas dadas em metos: (a) etemine o peímeto deste tapézio. (b) etemine a áea deste tapézio. 8. onsidee um cilindo de aio R incito em um cubo com aesta de compimento a. Uma figua mosta o esquema descito anteiomente e a outa a pojeção da base do sólido. Sabe-se que o aio da cicunfeência vale 3 [cm]. (a) etemine o volume do cubo. (b) etemine o volume do cilindo. (c) etemine o volume live ente o cubo e o cilindo. 9. onsidee uma esfea inscita em um cilindo como na figua. Sabe-se que o volume do cilindo é V = 16π [cm 3 ]. etemine o volume da esfea. 10. ois esevatóios de altua H e aio R, um cilíndico e outo cônico, estão totalmente vazios e cada um seá alimentado po uma toneia, ambas de mesma vazão. Sabe-se que o esevatóio cilíndico leva 2 hoas e meia paa fica completamente cheio. etemine o tempo necessáio paa que isto ocoa com o esevatóio cônico. 11. Na fabicação da peça na figua, feita de um único mateial que custa R$ 5, 00 o [cm 3 ], detemine o valo gasto paa a sua fabicação. 12. onsidee uma piâmide com volume de 6 [m 3 ] inscita em um cubo. etemine o volume do cubo.

10 Soluções (1a) x = 25 e x = 15 (1b) x = 20 e b = 100 (1c) x = 12 (2a) x = 50, y = 48 e z = 82 (2b) a = 50, b = 55 e c = 50 (3a) x = 50 (3b) x = 105, y = 60 e z = 15 (4a) P = 14 [m] (4b) = 12 [m 2 ] (4c) P = 12 [m] (4d) = 6 [m 2 ] (5a) x = 7 4 [mm] (5b) = [mm2 ] (6a) P = 8π [cm] (6b) = 16 [cm 2 ] (6c) = 7 [cm] (7a) P = 40 [u.c] (7b) = 88 [u.a] (8a) V = 216 [cm 3 ] (8b) V = 54π [cm 3 ] (8c) V = π [cm 3 ] (9) V = 32 3 π [cm3 ] (10) t = 50 [min] (11) = R$ 380, 00 (12) V = 18 [m 3 ]