o anglo resolve a prova da 2ª fase da FUVEST

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1 o anglo esolve É tabalho pioneio. estação de seviços com tadição de confiabilidade. Constutivo, pocua colaboa com as ancas Examinadoas em sua taefa de não comete injustiças. Didático, mais do que um simples gabaito, auxilia o estudante no pocesso de apendizagem, gaças a seu fomato: epodução de cada questão, seguida da esolução elaboada pelos pofessoes do nglo. No final, um comentáio sobe as disciplinas. a pova da ª fase da FUVEST ª fase da Fuvest consegue, de foma pática, popo paa cada caeia um conjunto distinto de povas. ssim, po exemplo, o candidato a Engenhaia da Escola olitécnica faz, na ª fase, povas de Língua otuguesa (0 pontos), atemática (0 pontos), Física (0 pontos) e uímica (0 pontos). Já aquele que petende ingessa na Faculdade de Dieito faz somente tês povas: Língua otuguesa (80 pontos), Históia (0 pontos) e Geogafia (0 pontos). o sua vez, o candidato a edicina tem povas de Língua otuguesa (0 pontos), iologia (0 pontos), Física (0 pontos) e uímica (0 pontos). aa efeito de classificação final, somam-se os pontos obtidos pelo candidato na ª e na ª fase. Vale lemba que a pova de Língua otuguesa é obigatóia paa todas as caeias. cobetua dos vestibulaes de 00 está sendo feita pelo nglo em paceia com a Folha Online.

2 E T T Á I C uestão 0 a) uantos múltiplos de 9 há ente 00 e 000? b) uantos múltiplos de 9 ou há ente 00 e 000? a) O númeo de múltiplos de 9 é o númeo de temos da.. (08, 7,, 999). a n a + (n ) (n ) 9 n b) Somamos o númeo de múltiplos de 9 com o númeo de múltiplos de e descontamos o númeo de múltiplos de (múltiplos de 9 e ) que foi computado duas vezes. ssim, m(9): n 00 m():.. (0, 0,, 990) (n ) n 60.. (, 80,, 990) m() (n ) n 0 otanto, temos: uestão 0 Um caminhão tanspota maçãs, pêas e laanjas, num total de futas. s futas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de futa), sendo que cada caixa de maçãs, pêas e laanjas, tem, espectivamente 0 maçãs, 60 pêas e 00 laanjas e custam, espectivamente, 0, 0 e 0 eais. Se a caga do caminhão tem 0 caixas e custa 00 eais, calcule quantas maçãs, pêas e laanjas estão sendo tanspotadas. Indicando po x, y e z, nessa odem, as quantidades de caixas de maçãs, caixas de pêas e caixas de laanjas, podemos conclui, do enunciado, que: 0 x + 60y + 00z 0000 x + y + z 0 0 x + 0y + 0z 00 Resolvendo esse sistema, obtemos: x 0, y 0 e z 0. quantidade de maçãs é 0x 000. quantidade de pêas é 60y 000. quantidade de laanjas é 00z maçãs, 000 pêas e 000 laanjas uestão 0 a) eta passa pela oigem do plano catesiano e tem coeficiente angula m 0. cicunfeência C passa pelos pontos (, 0) e (, 0) e tem cento no eixo x. aa qual valo de m a eta é tangente a C? b) Suponha agoa que o valo de m seja meno que aquele deteminado no item anteio. Calcule a áea do tiângulo deteminado pelo cento de C e pelos pontos de intesecção de com C. FUVEST/00 NGLO VESTIULRES

3 y a) Do enunciado, temos a figua: No tiângulo etângulo OT, temos: T C α O x tg α tg α otanto, m. b) Considee a figua, onde é o tiângulo cuja áea seá calculada. y N C Como a equação de é y mx, ou seja, mx y 0, temos: O (, 0) x N m + ( ) 0 m m + ( ) m + No tiângulo etângulo N, temos: (N) + (N) () m ( N) + N m + m m + Logo, a áea S do tiângulo é: S N ( ) ( ) S m m m + m + S m m, m, m 0 m + m m, m, m 0 m + uestão 0 Em uma equipe de basquete, a distibuição de idades dos seus jogadoes é a seguinte: idade Nº de jogadoes 6 9 Seá soteada, aleatoiamente, uma comissão de dois jogadoes que epesentaá a equipe junto aos diigentes. a) uantas possibilidades distintas existem paa foma esta comissão? b) ual a pobabilidade da média de idade dos dois jogadoes da comissão soteada se estitamente meno que a média de idade de todos os jogadoes? FUVEST/00 NGLO VESTIULRES

4 a) C, 66! 66 0!! b) média das idades de todos os jogadoes é: () + () + 6() + 9() + () + () x 7 Sendo x e x as idades dos jogadoes soteados: x + x 7 x + x ossibilidades uantidade paa x e x e e 6 e 9 e e C, e 6 6 e 6 C, 6 O númeo de casos favoáveis: pobabilidade pedida é: uestão 0 Na figua ao lado, é o ponto médio da coda da cicunfeência e 8. O segmento R é pependicula a e R. Calcule: a) O aio da cicunfeência. b) medida do ângulo Ô, onde O é o cento da cicunfeência. R Do enunciado temos a figua, onde O é o cento da cicunfeência. α R α O a) No tiângulo etângulo R, temos: tg α tg α Logo, α 0 Sendo α 0, o ângulo cental RÔ tem medida 60. FUVEST/00 NGLO VESTIULRES

5 No tiângulo etângulo O, temos: sen O sen60º O 8 O O 8 b) Sabemos que 60. Logo, a medida do ângulo Ô é, ou seja, 0. 0 uestão 06 Na figua ao lado, as cicunfeências têm centos e. O aio da maio é do aio da meno; é um ponto de intesecção delas e a eta é tangente à cicunfeência meno no ponto. Calcule: a) ˆ b) cosˆ c) cosˆ a) Do enunciado, sendo o aio da cicunfeência meno, temos a figua: α Do tiângulo temos: cos cos cos ˆ b) Como o tiângulo é isósceles, temos a figua: ssim: cos cos cos ˆ FUVEST/00 NGLO VESTIULRES

6 c) Sendo γ a medida de ˆ, da figua temos γ α. ssim: cosγ cos( α) cosγ cos cosα + sen senα Como cosα e cos, da elação fundamental temos: γ α senα e sen Logo: cos γ + cos γ 8 + cosˆ 8 + uestão 07 D C No tapézio CD, é o ponto médio do lado D ;N está sobe o lado C e N NC. Sabe-se que as áeas dos quadiláteos N e CDN são iguais e que DC 0. Calcule. N Do enunciado, temos a figua: D 0 C S 80 S α S S a N α a S... áea do tiângulo N S... áea do tiângulo N S... áea do tiângulo DN S... áea do tiângulo DCN Devemos te S + S S + S (I). Como N é mediana do tiângulo ND, então S S (II). De (I) e (II), temos: S + S S + S S + S S + S Logo, S S. otanto, temos que: 0 a senα 0 a sen(80 α) 0 uestão 08 Nos itens abaixo, z denota um númeo complexo e i a unidade imagináia (i ). Suponha z i. z + i a) aa quais valoes de z tem-se? + iz z + i b) Detemine o conjunto de todos os valoes de z paa os quais é um númeo eal. + iz z + i a) De, temos: + iz z+ i ( + iz) z + i + iz FUVEST/00 6 NGLO VESTIULRES

7 z i z i z ( i) i i z i i + i z i + i + i i i z i + i z + i b) De e IR, temos : + i z z + i + iz z iz i z ( i) i i z i + i z i + i + i i i z z i + i i + ( ) i z (Note que IR z i.) + + ( ) i z C/ z, IR + uestão 09 Detemine os valoes de x no intevalo 0, π paa os quais cosx senx +. ] [ cos x sen x cos x sen x Tocando po cos π e po sen π, temos π π π cos x cos sen x sen cos x +. ssim: π π π + h π x + + h π, h. 6 6 π π + h π x + h π, h. 6 Como x ]0, π[: π π h x 6 x IR / π π x 6 uestão 0 Um cilindo oblíquo tem aio das bases igual a, altua e está inclinado de um ângulo de 60 (ve figua). O plano é pependicula às bases do cilindo, passando po seus centos. Se e são os pontos epesentados na figua, calcule. 60º FUVEST/00 7 NGLO VESTIULRES

8 Do enunciado, o segmento O é pependicula a. Como a eta O etas são pependiculaes em O. Temos figua: O 60º está contida em e é concoente com O, então essas 60º H No tiângulo etângulo H, temos: sen60 plicando o teoema dos co-senos no tiângulo O, temos: (O) (O) + () (O) () cos60 (O) + (O) No tiângulo etângulo O, temos: () (O) + (O), ou seja, () + Obsevação: dmitimos que o ponto O é o cento da base supeio do cilindo. CO ENT ÁRI O Uma pova bem elaboada, com questões ciativas, poém pouco abangente e tabalhosa. Estanhamos a ausência da tadicional questão de Constução Geomética, poposta pela FUVEST nos últimos vestibulaes. FUVEST/00 8 NGLO VESTIULRES