Aula 31 e 32 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL
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- Salvador Mario Nunes Gabeira
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1 Aula 31 e 32 mtm B GEOMETRIA ESPACIAL
2 Esfeas Definição Sólido de evolução geado pela otação de um semicículo em tono de um eixo que contém o diâmeto. R Áea Volume A=4π 2 3 4π V= 3
3 Esfeas Secção Plana Calota Esféica h d R R d 1 d 2 d distância de cote A calota = 2.π.R.h d 1 e d 2 distância polaes h d 1 d 1 ² = h² + ² Secção plana que passa pelo cento da esfea é chamada de cículo máximo. d + R d 2 d 2 ² = (d + R)² + ² (2R)² = d 1 ² + d 2 ²
4 Esfeas Secção Plana Exemplo 1: (UFPR) Um ponto luminoso, está a 2 cm de uma esfea de aio 6 cm. Calcule 1/π da áea iluminada. Resolução: 6 x h = x 6 8x = 36 x = 4,5 cm A calota = 2.π.R.h A calota = 2.π.6.1,5 A calota = 18π cm² h = 6 x h = 6 4,5 h = 1,5 cm 18π / π = 18
5 Esfeas Zona Esféica de uma Esfea h R Zona Esféica A zona = 2.π.R.h
6 Esfeas Fuso de uma Esfea Cunha de uma Esfea α Áea do fuso esféico π.R 2 α A fuso α Volume da cunha esféica π.R 3 /3 α V cunha
7 Esfeas Cunha de uma Esfea Exemplo 2: (CEFET) Dona Maia vende melancias no fomato esféico de aio 15 cm. Ela vai dividi uma melancia em 12 fatias iguais. Quantos cm² de papel apopiado seá utilizado paa cobi uma fatia, sabendo que seão dadas duas voltas de papel em cada fatia e que não há soba de papel? Resolução: = π A f 3 12.A f = 4.π.15² A f = 225.π/3 A f = 75π cm²
8 Esfeas Cunha de uma Esfea Exemplo 2: (CEFET) Dona Maia vende melancias no fomato esféico de aio 15 cm. Ela vai dividi uma melancia em 12 fatias iguais. Quantos cm² de papel apopiado seá utilizado paa cobi uma fatia, sabendo que seão dadas duas voltas de papel em cada fatia e que não há soba de papel? Resolução: A fatia = A F + A cic. máx. A fatia = 75π + π.15² A f = 75π cm² A fatia = 75π π 30 A fatia = 300π cm² 300π. 2 = 600π cm²
9 Inscição e Cicunscição de Sólidos Desenho Algo em Comum Pitágoas Semelhança
10 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cubo e Esfea Esfea inscita no cubo ou cubo cicunscito na esfea. R a a = 2R
11 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cubo e Esfea Cubo inscito na esfea ou esfea cicunscita no cubo. R D = a 3 a a 3 = 2R
12 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cubo e Esfea Exemplo 3: (UFSC) A azão ente o volume e a áea total de um cubo é 2. Calcule 1/3πdo volume da esfea inscita neste cubo. Resolução: V cubo A cubo a³ 6.a² = 2 = 2 a = 12 u.c. R a = 2R 12 = 2R R = 6 u.c. a 3 4π V= 3 3 4π6 V= 3 3 4π6 V= 3 V = 288π u.v. 288π 3π 96
13 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cilindo e Esfea Esfea inscita no cilindo ou cilindo cicunscito na esfea. R h h = 2R g = 2R Cilindo equiláteo
14 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cilindo e Esfea Cilindo inscito na esfea ou esfea cicunscita no cilindo. 2R h (2R)² = (2)² + h² 2
15 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cone e Esfea Esfea inscita no cone ou cone cicunscito na esfea. h R g h - R g R = h - g
16 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cone e Esfea Cone inscito na esfea ou esfea cicunscita no cone. 2R h g 2R h g h = 2R - h 2R-h
17 Inscição e Cicunscição de Sólidos Cone e Esfea Exemplo 4: (ITA) Calcule o aio da esfea inscita em um cone de aio 8 e altua 6. Resolução: = = 8(6 ) 10 = = 48 = 8/3 u.c.
18 Sólidos de Revolução Fómulas dos Pades Pappus e Guldin V = 2.π.A.d A Áea da figua que gia. d distância do cento de gavidade ao eixo. A = 2.π. l.d l Soma dos lados que giam. d distância do cento de gavidade ao eixo.
19 Sólidos de Revolução Fómulas dos Pades Pappus e Guldin Exemplo 5: (UDESC) Tomando como base a figua abaixo, calcule: a) O volume do sólido quando otacionado em tono do eixo que passa po A. b) A áea do sólido quando otacionado em tono do eixo BC. c) O volume do sólido quando otacionado em tono do eixo que passa somente po B. C 2 cm B 6 cm A
20 Sólidos de Revolução Fómulas dos Pades Pappus e Guldin Exemplo 5: a) O volume do sólido quando otacionado em tono do eixo que passa po A. Resolução: A 6 cm 2.π.6. V = 48π cm³
21 Sólidos de Revolução Fómulas dos Pades Pappus e Guldin Exemplo 5: b) A áea do sólido quando otacionado em tono do eixo BC. Resolução: C 1 2 cm x 2 6 cm x 6 2x 4 A B
22 Sólidos de Revolução Fómulas dos Pades Pappus e Guldin Exemplo 5: c) O volume do sólido quando otacionado em tono do eixo que passa somente po B. Resolução:
23 Aula 31 e 32 mtm B FIM
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GEOMETRIA ESPACIAL. a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
GEOMETRIA ESPACIAL ) Uma metalúgica ecebeu uma encomenda paa fabica, em gande quantidade, uma peça com o fomato de um pisma eto com base tiangula, cujas dimensões da base são 6cm, 8cm e 0cm e cuja altua
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