TM Estática II
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- Maria Antonieta di Castro Fortunato
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1 TM Estática II Emílio Eiji Kavamura, MSc Departamento de Engenaharia Mecânica UFPR TM-332, 2012 [email protected] (UFPR) Estática / 78
2 Roteiro da aula Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
3 Centróides e Baricentros TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
4 Centróides e Baricentros Definição Centro de gravidade (baricentro) de um corpo rígido É o ponto G onde uma única força equivalente W, chamada peso do corpo, pode ser aplicada para representar o efeito da atração exercida pela Terra no corpo. [email protected] (UFPR) Estática / 78
5 Centróides e Baricentros Definição x = dw = d(mg)ˆk y = xd(mg) mg yd(mg) [email protected] (UFPR) Estática mg / 78
6 Centróides e Baricentros Definição x = dw = d(mg) = gρadl ˆk y = z = [email protected] (UFPR) Estática / 78 xdl l ydl l zdl l
7 Definição l l l Estática Centróides e Baricentros Definição x = dw = d(mg) = gρadl ˆk y = z = xdl ydl zdl A determinação do centro de gravidade de um fio homogêneo de seção transversal uniforme contido em um plano reduz-se à determinação do centróide C da linha L que representa o fio; nós temos: { xl = x dl P = dp yl = y dl
8 Centróides e Baricentros Definição x = dw = d(mg)ˆk = gρtdaˆk y = z = xda A yda A zda A [email protected] (UFPR) Estática / 78
9 Centróides e Baricentros Definição x = dw = d(mg)ˆk = gρdv ˆk y = z = xdv V ydv V zdv V [email protected] (UFPR) Estática / 78
10 Centróides e Baricentros Para figuras Planas xa = ya = x el da x = y el da y = xel da A yel da A [email protected] (UFPR) Estática / 78
11 Para figuras Planas Estática Centróides e Baricentros Para figuras Planas xel da xa = xel da x = A yel da ya = yel da y = A Considere corpos bidimensionais, tais como placas lisas e fios contidos no plano xy. Adicionando forças no sentido vertical de z e os momentos sobre os eixos horizontais y e x, as seguintes relações são obtidas: P = dp { xp = x dp yp = y dp as quais definem o peso do corpo e as coordenadas x e y de seu centro de gravidade.
12 Centróides e Baricentros Para figuras Planas xa = ya = x el da x = y el da y = xel da A yel da A [email protected] (UFPR) Estática / 78
13 Para figuras Planas Estática Centróides e Baricentros Para figuras Planas xel da xa = xel da x = A yel da ya = yel da y = A Para uma placa lisa homogênea de espessura uniforme, o centro de gravidade G da placa coincide com o centróide C da área A da placa.
14 Centróides e Baricentros Exercícios - Centróide por integração Determine a posição do centróide da figura por integração Resolução [email protected] (UFPR) Estática / 78
15 Centróides e Baricentros Exercícios - Centróide por integração Determine a posição do centróide da figura por integração Resolução [email protected] (UFPR) Estática / 78
16 Centróides e Baricentros Exercícios - Centróide por integração Determine a posição do centróide da figura por integração Resolução [email protected] (UFPR) Estática / 78
17 Formas Compostas TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
18 Formas Compostas Formas Compostas (UFPR) Estática / 78
19 Formas Compostas Estática Formas Compostas Formas Compostas Centróides de Placas Compostas As áreas e os centróide de várias formas comuns são tabeladas. Quando uma placa lisa pode ser dividida em diversas formas comuns, as coordenadas X e Y de seu centro de gravidade G podem ser determinadas pelas coordenadas x 1, x 2, e y 1, y 2, dos centros de gravidade das formas básicas que compõem a área. Neste caso, X W = x i W i Y W = y i W i Se a placa for homogênea e da espessura uniforme, seu centro de gravidade coincide com o centróide C da área da placa, e os Momentos de Primeira Ordem da área composta são Q y = X A = xa Q x = Y A = ya
20 Formas Compostas Formas Compostas Resolução (UFPR) Estática / 78
21 Formas Compostas Formas Compostas Resolução (UFPR) Estática / 78
22 Formas Compostas Formas Compostas Resolução (UFPR) Estática / 78
23 Centros de Massa Tabelados TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
24 Centros de Massa Tabelados (UFPR) Estática / 78
25 Centros de Massa Tabelados (UFPR) Estática / 78
26 Centros de Massa Tabelados (UFPR) Estática / 78
27 Teorema de Pappus-Guldin TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
28 Teorema de Pappus-Guldin O Teorema de Pappus-Guldin permite determinar a área de uma superfície de revolução ou o volume de um corpo de revolução. [email protected] (UFPR) Estática / 78
29 Teorema de Pappus-Guldin A área A da superfície gerada pela rotação de uma curva de comprimento L sobre um eixo fixo é dada por: A = 2 π y L onde y representa a distância do centróide C até o eixo de revolução x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
30 Teorema de Pappus-Guldin A área A da superfície gerada pela rotação de uma curva de comprimento L sobre um eixo fixo é dada por: A = 2 π y L onde y representa a distância do centróide C até o eixo de revolução x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
31 Teorema de Pappus-Guldin O volume V do corpo gerado pela rotação de uma área A sobre um eixo fixo é dada por: V = 2 π y A onde y é a distância do centróide C da área até o eixo de revolução x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
32 Teorema de Pappus-Guldin O volume V do corpo gerado pela rotação de uma área A sobre um eixo fixo é dada por: V = 2 π y A onde y é a distância do centróide C da área até o eixo de revolução x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
33 Teorema de Pappus-Guldin Exercícios - Teorema de Pappus-Guldin Sabendo que duas calotas iguais foram cortadas de uma esfera de madeira de 25 cm de diâmetro, determine a área total da parte resultante. [email protected] (UFPR) Estática / 78
34 Teorema de Pappus-Guldin Exercícios - Teorema de Pappus-Guldin Determine o volume e a área do corpo da figura. [email protected] (UFPR) Estática / 78
35 Teorema de Pappus-Guldin Exercícios - Teorema de Pappus-Guldin Determine o volume e o peso do botão sólido de bronze da figura. (O peso específico do bronze é 83, N/m 3 ). [email protected] (UFPR) Estática / 78
36 Teorema de Pappus-Guldin Exercícios - Teorema de Pappus-Guldin MOMENTOS DE ÁREA DE PRIMEIRA ORDEM As coordenadas do centróide são definidas pelas relações: xa = x da ya = y da Momentos de Primeira Ordem da Área A são estas integrais apresentadas acima, e denotadas por Q y e Q x, Q y = xa em relação ao eixo y Q x = ya em relação ao eixo x [email protected] (UFPR) Estática / 78
37 Tarefa Mínima Tarefa mínima Determine a posição do centróide da figura [email protected] (UFPR) Estática / 78
38 Tarefa Mínima Tarefa mínima Determine a posição do centróide da figura [email protected] (UFPR) Estática / 78
39 Tarefa Mínima Tarefa mínima Resolver os exercícios 9.5, 9.18, 9.35, 9.11, 9.49, 9.89 e Fazer os exercícios propostos: 9.124; 9.126; 9.129; [email protected] (UFPR) Estática / 78
40 Tarefa Mínima EXTRAS Determine o centróide das figuras: [email protected] (UFPR) Estática / 78
41 Tarefa Mínima EXTRAS Determine o centróide das figuras: [email protected] (UFPR) Estática / 78
42 Tarefa Mínima EXTRAS Determine o centróide das figuras: [email protected] (UFPR) Estática / 78
43 Tarefa Mínima EXTRAS Determine o centróide das figuras: [email protected] (UFPR) Estática / 78
44 Tarefa Mínima EXTRAS Determine o centróide das figuras: [email protected] (UFPR) Estática / 78
45 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração da {}}{ x = x da A x =. x x h a dx A = b 2 h 3 bh 2 = 2 3 b [email protected] (UFPR) Estática / 78
46 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração y = y da A y = y da {}}{ (b x)dy = A b h 2 6 bh 2 = 1 3 h. Próximo exercício [email protected] (UFPR) Estática / 78
47 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração x = x da A x =. a x 0 a 0 da {}}{ b(1 k x 3 )dx b(1 k x 3 )dx = a 2 b 2 a5 b k 5 a b (a3 k 4) 4 = 4 a a 5 a 3 k [email protected] (UFPR) Estática / 78
48 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração y da.y = y = A Próximo exercício da {}}{ y x dy = A a = 3 a3 b ( 4 a 3 k 7 ) 7 (a 3 k 4) 0 (b(1 k x 3 )) x ( 3bx 2 )dx a b (a3 k 4) 4 [email protected] (UFPR) Estática / 78
49 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração x = x da A x = x 0.5 da {( }} ) { x k k x 2 dx ( x k k x 2) dx = ( ) 2 k 1 0 [email protected] (UFPR) Estática / 78
50 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Resolução Determine a posição do centróide da figura por integração y da y = y = A y da ( {}} ) { y k ky 2 dy ( ) y k ky 2 dy = 2 k k k 12 3 [email protected] (UFPR) FormasEstática Compostas / 78 2 k.
51 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Próximo exercício (UFPR) Estática / 78
52 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO Próximo exercício (UFPR) Estática / 78
53 Tarefa Mínima RESOLUÇÃO r CM = r 1 V 1 + r 2 V 2 + r 3 V 3 r 4 V V 1 + V 2 + V 3 V 4 Tabelados [email protected] (UFPR) Estática / 78
54 Momento de Inércia TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
55 Momento de Inércia Momento de Inércia O momento de inércia de uma área tem origem nos casos em que devemos calcular o momento de uma carga distribuída que varia em relação a um eixo. [email protected] (UFPR) Estática / 78
56 Momento de Inércia Momento de Inércia Exemplos clássicos podem ser encontrados : na Resistência dos Materiais, como o caso da flexão pura; na Mecânica dos Fluidos, como o caso de carregamento devido à pressão de um líquido atuante sobre a superfície submersa de uma placa. [email protected] (UFPR) Estática / 78
57 Momento de Inércia Cálculo Considere: (UFPR) Estática / 78
58 Momento de Inércia Cálculo Considere: O módulo da resultante R das forças elementares F sobre a seção inteira é: R = ky da = k y da = k Q x }{{} Q x Assim, R = o, visto que o centróide da seção está localizado sobre o eixo x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
59 Momento de Inércia Cálculo O sistema de forças apresentado reduz-se a um binário. O módulo desse binário M é dado por: M = ky 2 da = k y 2 da A última integral obtida é o momento estático de 2 a ordem ou momento de inércia em relação ao eixo x e é representado por I x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
60 Momento de Inércia Cálculo de I y A mesma idéia pode ser aplicada ao eixo y e, assim, calcular o momento de inércia I y. Os Momentos de Inércia, I x e I y, de uma área são definidos como: I x = y 2 da I y = x 2 da [email protected] (UFPR) Estática / 78
61 Momento de Inércia As integrais, I x e I y, podem ser facilmente calculadas se considerarmos a definição dos seguintes elementos infinitesimais: [email protected] (UFPR) Estática / 78
62 Momento de Inércia Exercícios Exercícios Ex. 1) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
63 Momento de Inércia Exercícios Exercícios Ex. 2) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
64 Momento de Inércia Exercícios Exercícios Ex. 3) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x. [email protected] (UFPR) Estática / 78
65 Momento de Inércia Exercícios Exercícios Ex. 4) Determine, por integração, o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo y. [email protected] (UFPR) Estática / 78
66 Momento Polar de Inércia TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
67 Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia O Momento Polar de Inércia de uma área A em relação ao pólo O é definido como: J o = r 2 da A distância de O ao elemento diferencial de área da é r. Observando que r 2 = x 2 + y 2, a seguinte relação pode ser estabelecida: J o = I x + I y [email protected] (UFPR) Estática / 78
68 Raio de Giração TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
69 Raio de Giração Raio de Giração O Raio de Giração de uma área A em relação a um eixo x é definido como a distância k x, onde I x = k 2 x A. Com definição similar para o raio de giração de A em relação ao eixo y e com relação a O, nós temos: k x = Ix A ; k y = Iy A e k Jo o = A [email protected] (UFPR) Estática / 78
70 Raio de Giração Exercício Exercício Ex. 5) Determine o momento polar de inércia da superfície sombreada em relação à origem do sistema. Determine o raio de giração em relação ao eixo y. [email protected] (UFPR) Estática / 78
71 Tarefa Mínima Tarefa mínima Ler e entender os exercícios resolvidos 10.1, 10.2 e Fazer os exercícios propostos: 10.1; 10.8; 10.11; 10.15; 10.21; [email protected] (UFPR) Estática / 78
72 Tarefa Mínima Tarefa mínima - Beer & Johnston Ler e entender os exercícios resolvidos 9.1, 9.2 e 9.3. Fazer os exercícios propostos: 9.1; 9.5; 9.4; 9.8; 9.16; [email protected] (UFPR) Estática / 78
73 Tarefa Mínima Roteiro da aula Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
74 Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
75 Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Teorema dos eixos paralelos: Este teorema nos permite relacionar momentos de inércia em relação a eixos quaisquer com momentos de inércia relativos a eixos baricêntricos, desde que eles sejam paralelos. [email protected] (UFPR) Estática / 78
76 Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Os momentos de inércia I de uma seção com relação a eixos paralelos aos eixos principais de inércia podem ser determinados pelo teorema dos eixos paralelos: I = I + A d 2 onde: I é o momento de inércia em relação ao centróide, A é a área da superfície e d é a distância entre os eixos. [email protected] (UFPR) Estática / 78
77 Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Por analogia, o mesmo pode ser dito para o momento polar de inércia, ou seja: J = J o + A d 2 [email protected] (UFPR) Estática / 78
78 Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) O teorema dos eixos paralelos também pode ser utilizado quando se quer determinar o momento de inércia em relação ao centróide I e se conhece o momento de inércia em relação a outro eixo. I = I A d 2 [email protected] (UFPR) Estática / 78
79 Exercícios TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
80 Exercícios Ex. 1) Determine, o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x, sabendo que o momento de inércia em relação ao centróide I x é igual a bh3 12. [email protected] (UFPR) Estática / 78
81 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
82 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Momentos de Inércia de Superfícies Compostas: Figuras compostas O momento de inércia de uma superfície é a soma dos momentos de inércia das diversas superfícies nas quais ela pode ser decomposta. Isto evita, muitas vezes, a necessidade de integrações, desde que se decomponha a superfície dada em figuras geométricas básicas tais como retângulos, círculos, etc, para os quais já se conhecem previamente o valor dos momentos de inércia. [email protected] (UFPR) Estática / 78
83 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Formas Tabeladas-1 Forma plana y y y y h G b x x r Área b h π r 2 I x b h 3 3 G 1 4 πr 4 I y b 3 h 3 =I x I x b h 3 12 =I x I y b 3 h 12 =I x x x [email protected] (UFPR) Estática / 78
84 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Formas Tabeladas-1 Forma plana y y y y c Área h G b h 2 I x b h 3 12 I y b 3 h 12 I x b h 3 36 I y b 3 h 36 b x x h G b b h 2 b h 3 12 x x b h 12 (3b2 3b c + c 2 ) b h 3 36 b h 36 (b2 b c + c 2 ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
85 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Formas Tabeladas-1 Forma plana r 4r 3π y y G x x y r y G 4 r 3 π x x Área π r 2 2 π r 2 4 I x Teor. Steiner πr 4 16 I y =I y =I x I x 9π π r 4 9π π r 4 I y πr 4 8 =I x [email protected] (UFPR) Estática / 78
86 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Formas Tabeladas-1 y 2α G x r y Forma plana 2r 3 3 x sen 3 (α) A Área r 2 (α sen(α)cos(α)) θr 2 I x =I x =I x I y I x r 4 12 I y r 4 4 Teor. Steiner [ ] 3α + sen(2α) 2 (cos(2α) 4) y r y G 2θ x x 3 sen(θ) 2 θ 1 4 r 4 (θ sen(2θ)) 1 4 r 4 (θ 1 2 sen(2θ)) [ α 1 4 sen(4α)] Teor. Steiner [email protected] (UFPR) Estática / 78
87 Exercícios TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
88 Exercícios Ex. 3) Determine os momentos de inércia, I x e I y, em relação ao centróide. [email protected] (UFPR) Estática / 78
89 Exercícios Ex. 9.25) Determine os momentos de inércia, I x e I y, em relação ao centróide; com a=20 mm. [email protected] (UFPR) Estática / 78
90 Tarefa Mínima TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
91 Tarefa Mínima Tarefa mínima - Beer & Johnston Ler e entender os exercícios resolvidos 9.4 e 9.5. Fazer os exercícios propostos: 9.22; 9.26; 9.27; 9.28; 9.33; [email protected] (UFPR) Estática / 78
92 Tarefa Mínima (UFPR) Estática / 78
93 Tarefa Mínima Roteiro da aula Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
94 Produto de Inércia TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
95 Produto de Inércia Produto de Inércia O produto de inércia de um elemento de área da, localizado num ponto (x, y), é calculado pela expressão: di xy =xyda. I xy = xyda [email protected] (UFPR) Estática / 78
96 Produto de Inércia Produto de Inércia O produto de inércia pode ser positivo, negativo e nulo: [email protected] (UFPR) Estática / 78
97 Produto de Inércia Produto de Inércia Para que o produto de inércia seja nulo é necessário que ele seja calculado sobre um eixo de simetria. [email protected] (UFPR) Estática / 78
98 Produto de Inércia Teorema de Steiner para produto de inércia Vale também o teorema de Steiner: I xy = I x y + x Cy C A [email protected] (UFPR) Estática / 78
99 Produto de Inércia Produto de inércia de figuras compostas Para simplificar o cálculo do produto de inércia pode-se decompor a figura em figuras mais simples e conhecidas: I xy = n I xy i = i=1 n ( ) Ix y i + A i x i y i i=1 [email protected] (UFPR) Estática / 78
100 Eixos rotacionados TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
101 Eixos rotacionados (UFPR) Estática / 78
102 Eixos rotacionados REVISÃO (UFPR) Estática / 78
103 Eixos rotacionados REVISÃO (UFPR) Estática / 78
104 Eixos rotacionados REVISÃO (UFPR) Estática / 78
105 Eixos rotacionados REVISÃO (UFPR) Estática / 78
106 Eixos rotacionados REVISÃO u v = cos(θ) sen(θ) sen(θ) x cos(θ) y [email protected] (UFPR) Estática / 78
107 Eixos rotacionados Efetuando a rotação... u v = cos(θ) sen(θ) sen(θ) cos(θ) x y u = xcos(θ) + ysen(θ) v = xsen(θ) + ycos(θ) I u = A v 2 da = A (xcos(θ) + ysen(θ))2 da I v = A u2 da = A ( xsen(θ) + ycos(θ))2 da I uv = A uvda = (xcos(θ) + ysen(θ)) ( xsen(θ) + ycos(θ)) da A [email protected] (UFPR) Estática / 78
108 Eixos rotacionados Efetuando a rotação... I u = cos 2 (θ)i x 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I v = cos 2 (θ)i y + 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I uv = ( cos 2 (θ) sen 2 (θ) ) I xy cos(θ)sen(θ)i x + cos(θ)sen(θ)i y [email protected] (UFPR) Estática / 78
109 Eixos rotacionados Efetuando a rotação... I u = cos 2 (θ)i x 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I v = cos 2 (θ)i y + 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I uv = ( cos 2 (θ) sen 2 (θ) ) I xy cos(θ)sen(θ)i x + cos(θ)sen(θ)i y Lembrando que: cos(2θ) = cos 2 (θ) sen 2 (θ) sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
110 Eixos rotacionados Efetuando a rotação... I u = cos 2 (θ)i x 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I v = cos 2 (θ)i y + 2cos(θ)sen(θ)I xy + sen 2 (θ)i y I uv = ( cos 2 (θ) sen 2 (θ) ) I xy cos(θ)sen(θ)i x + cos(θ)sen(θ)i y Lembrando que: cos(2θ) = cos 2 (θ) sen 2 (θ) sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) I u = I v = I uv = Ix +Iy Ix Iy cos(2θ) I xysen(2θ) Ix +Iy Ix Iy 2 2 cos(2θ) I xysen(2θ) Ix Iy 2 sen(2θ) I xycos(2θ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
111 Eixos rotacionados Efetuando a rotação... I u = I v = I uv = Ix +Iy Ix Iy cos(2θ) I xysen(2θ) Ix +Iy Ix Iy 2 2 cos(2θ) I xysen(2θ) Ix Iy 2 sen(2θ) I xycos(2θ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
112 Eixos rotacionados I u = I v = I uv = Ix +Iy Ix Iy cos(2θ) I xysen(2θ) Ix +Iy Ix Iy 2 2 cos(2θ) + I xysen(2θ) Ix Iy 2 sen(2θ) I xycos(2θ) { Iu + I v = I x + I y I u I v = (I x I y ) cos(2θ) 2I xy sen(2θ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
113 Eixos rotacionados { Iu + I v = I x + I y I u I v = (I x I y ) cos(2θ) 2I xy sen(2θ) [email protected] (UFPR) Estática / 78
114 Eixos rotacionados (UFPR) Estática / 78
115 Eixos rotacionados { Iu + I v = I x + I y I u I v = (I x I y ) cos(2θ) 2I xy sen(2θ) J o = I z = I x + I y = I u + I v [email protected] (UFPR) Estática / 78
116 Tarefa Mínima TÓPICOS Centróides e Baricentros Formas Compostas Centros de Massa Tabelados Teorema de Pappus-Guldin Momento de Inércia Momento Polar de Inércia Raio de Giração Translação de Eixos de Inércia (TEOREMA DE STEINER) Exercícios Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Exercícios Tarefa Mínima Produto de Inércia Eixos rotacionados Tarefa Mínima Trabalho [email protected] (UFPR) Estática / 78
117 Tarefa Mínima Tarefa mínima - Hibeller Ler e entender os exercícios resolvidos 10.6 a 10.9 Fazer os exercícios propostos: 10.64; 10.73; 10.72; 10.76; 10.82; 10.89; 10.95; ; ; [email protected] (UFPR) Estática / 78
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