CAPÍTULO IV GEOMETRIA DAS MASSAS

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1 CPÍTULO IV GEOMETRI DS MSSS I. SPECTOS GERIS pesar de não estar incluída dentro dos objetivos principais de Resistência dos Materiais, vamos estudar algumas grandezas características da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessários ao estudo das solicitações que provoquem a rotação, como o Momento Fletor e o Momento Torsor. II. MOMENTOS ESTÁTICOS E BRICENTRICOS DE SUPERFÍCIES PLNS.. INTRODUÇÃO: Peso de um ponto material á a força definida por: p = m. g sendo esta força, aplicada no referido ponto. O pêso de um sistema material é a resultante dos pesos dos infinitos pontos que compõem este sistema. o ponto de aplicação desta resultante (G), chamamos de centro de gravidade ou baricentro do sistema material. G P Quando este sistema material apresentar massa específica constante (homogêneo), o seu baricentro vai depender exclusivamente de sua forma geométrica, e por este motivo falase em centro de gravidade de um volume, de uma superfície e de uma linha, encarando-os como elementos geométricos puros. Neste capítulo trabalharemos com estas grandezas referidas a uma superfície plana. analogia que se propõe para melhor visualização física das grandezas expostas seria o de considerarmos as nossas superfícies como placas com a forma indicada e de pequeníssimas espessuras. B. CONCEITO dmitimos uma superfície plana qualquer de área "", referida à um sistema de eixos ortogonais x,y. Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 1

2 Sejam: d - elemento de área componente da superfície x e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eixos Define-se: Momento estático de um elemento de área d em relação a um eixo é o produto da área do elemento por sua ordenada em relação ao eixo considerado. Notação : s Expressão analítica : s x = y. d s y = x. d Define-se: Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a um mesmo eixo dos elementos que a constituem. Notação : S Expressão analítica: Sx = y. d Sy = x. d OBSERVÇÕES: 1. unidade: cm 3, m 3, sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida. Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 2

3 3. O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eixo que passe pelo centro de gravidade desta superfície. C. SUPERFÍCIES FORMDS POR ELEMENTOS CONHECIDOS Nos casos práticos, a superfície em estudo será a seção transversal de um elemento estrutural, normalmente seções conhecidas (retângulos) ou constituídas por elementos que tem conhecidos sua área e seu centro de gravidade (perfilados). Nos casos citados devemos dividir a seção em estudo em elementos conhecidos e podemos substituir nas equações a integral por seu equivalente que é o somatório, considerando cada elemento como um elemento de área, e as expressões ficam: S x = i. y i S y = i. x i onde i varia de 1 a n ( número de elementos que constituem a superfície). Exemplo 1: Calcule o momento estático da superfície abaixo em relação a um eixo horizontal que passe por sua base: Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 3

4 . DETERMINÇÃO DO BRICENTRO DE SUPERFÍCIE utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do centro de gravidade de figuras planas, que em nosso estudo serão as seções transversais de nossas estruturas (vigas, pilares, etc...). Seja: G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar (xg ; y G ) por definição: Se o baricentro da superfície fosse conhecido poderíamos calcular seu momento estático pela definição: S x = y G. y G = S Como apenas conhecemos as características de seus elementos x S x = i. y i ou ainda como (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem: = i então : y G = n i. y 1 n e analogamente: x G = n 1 i i. x 1 n 1 i i i Estas expressões nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seção desde que se conheçam os elementos que a constituem. São chamadas genericamente de "teorema dos momentos estáticos". OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade estará obrigatoriamente neste eixo. Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 4

5 Exemplo 2: Utilize a figura do exemplo 1 e determine a posição do centro de gravidade desta superfície. ]II. MOMENTOS DE INÉRCI. MOMENTO DE INÉRCI DE MSS Seja uma pequena massa m` presa a um fio de massa desprezível e comprimento r, que pode girar livremente em torno de um eixo -. r m plicando um conjugado ao sistema, o fio e a massa, inicialmente em repouso, começarão a girar em torno do eixo. Se desejássemos que o corpo adquirisse uma determinada velocidade em um tempo T, experimentalmente observaríamos que o valor deste tempo é proporcional a massa do corpo e é também proporcional ao quadrado da distância r. T = f(m) e T = f(r 2 ) É claro que quanto maior o tempo T necessário, claramente maior é a resistência ao giro do sistema. Sendo a inércia do sistema, sua resistência quando tentamos colocá-lo em movimento(no caso o movimento é o giro em relação ao eixo ), e representando-a pela letra J ela será medida por: J ' = r 2. m também chamada de Momento de inércia da massa m em relação ao eixo -. Se nos referíssemos a um corpo de massa M, que devesse girar em torno do eixo, haveríamos de dividi-lo em infinitos elementos de massa dm, a resistência oferecida ao movimento, ou seja, o momento de inércia do corpo seria: dm1 dm2 dm4 dm3 Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 5

6 ou no limite, quando n J = 2 n ' n. 1 J r dm 2. ' = r. dm B. MOMENTO DE INÉRCI DE SUPERFÍCIES PLNS n analogia das figuras planas às chapas delgadas pode continuar a ser feita. Quando o corpo em estudo constituir-se de uma chapa de pequena espessura t e massa específica ρ constantes, podemos dizer que: dm=ρ.dv= ρ.t d J ' = M r 2.dm = ρ.t. r 2. d Sendo ρ e t valores constantes e por analogia, chamamos de Momento de Inércia de uma área ou momento de 2ª ordem a grandeza: Devido a grande importância do assunto na ciência das construções, desenvolvemos este assunto em especial para o caso particular das figuras planas Podemos definir momentos de inércia de uma superfície, usando como referência a mesma superfície de área referida à um sistema de eixos x,y: Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 6

7 1. MOMENTO DE INÉRCI XIL Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eixo é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado." - Notação : j (índice com o nome do eixo) - Expressão analítica: jx = y2. d jy = x2. d - Unidade : cm 4, m 4,... - Sinal : sempre positivo Define-se : "Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia em relação ao mesmo eixo dos elementos de área que a constituem." 2 Jx = d 2 y. ou Jy = d x. OBS: 1- Sendo o momento de inércia axial de uma superfície o somatório de valores sempre positivos, ele só admite valores positivos também. 2- O momento de inércia axial representa fisicamente, e por analogia, a resistência ao giro em torno de um eixo que a seção apresenta, devido as suas características geométricas (tamanho e forma). 2. MOMENTO DE INÉRCI POLR Define-se: "Momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado." - Notação: j (índice com o nome do ponto) - Expressão analítica: j o = r2. d - Unidade : cm 4, m 4,... - Sinal: sempre positivo Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 7

8 Define-se: "Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos que a constituem." J o 2 = r. d OBS: 1. O momento de inércia polar, só admite valores positivos 2. O momento de inércia polar representa físicamente, e por analogia, a resistência ao giro de determinada seção em relação a um ponto devido as suas propriedades geométricas (tamanho e forma). IV. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPIS CENTRIS DE INÉRCI Partindo do sentido físico do momento de inércia que representa resistência ao giro, seja ele axial ou polar, nota-se a importância do cálculo desta grandeza quando do estudo das solicitações que envolvem giro (Momento Fletor e Momento Torsor). O momento de inércia de uma seção transversal depende basicamente de sua forma e de seu tamanho (propriedades geométricas). Vimos que o momento de inércia de uma seção tem valores diferentes de acordo com o eixo que tomarmos por referência. Chamamos de eixos principais centrais de inércia aqueles eixos que passam pelo centro de gravidade da seção e em relação aos quais o momento de inércia admite valores extremos ( máximo e mínimo). Em problemas práticos, normalmente nos interessa o valor do momento de inércia máximo da seção transversal, para então aproveitarmos integralmente as suas características geométricas, para que a mesma tenha a maior resistência ao giro possível. Observações: 1. Os eixos principais centrais de inércia devem ser ortogonais entre si. 2. Se a seção tiver eixo de simetria, este será, necessáriamente, um eixo principal central de inércia. determinação destes eixos nas seções simétricas é muito simples, pois identificado o eixo de simetria, basta determinarmos a posição do seu centro de gravidade, pois perpendicular ao eixo de simetria e passando pelo centro de gravidade da seção obtemos o outro eixo principal central de inércia. Só determinamos o eixo de máximo após calculados os momentos de inércia correspondentes a estes dois eixos. V. DETERMINÇÃO DOS MOMENTOS DE INÉRCI Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 8

9 determinação dos momentos de inércia de uma seção pode se dar diretamente pela sua definição, desde que se identifique o elemento de área representativo da mesma. Exemplo 3: Determine o momento de inércia de uma seção retangular de dimensões b x h (base e altura respectivamente), em relação a um eixo horizontal(x) que passe por sua base. x Em figuras básicas e em perfilados comerciais estes momentos de inércia normalmente estão tabelados. Se necessitarmos conhecer estas características em uma seção projetada fora destes padrões, então surge a necessidade de usarmos teoremas que nos permitam, a partir de valores tabelados, chegarmos a valores que não estão tabelados. VI. TRNSLÇÃO DE EIXOS (TEOREM DE STEINER) Este teorema nos permite relacionar momentos de inércia em relação a eixos quaisquer com momentos de inércia relativos a eixos baricêntricos, desde que eles sejam paralelos. FORMULÁRIO: Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 9

10 Jx = JxG +.dy2 J y = J yg +.dx2 Jo = JG +. r 2 OBS: PR UTILIZÇÃO DO TEOREM DE STEINER, OS EIXOS BRICÊNTRICOS DEVEM NECESSÁRIMENTE ESTR ENVOLVIDOS N TRNSLÇÃO. EXERCÍCIOS: Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 10

11 1. Determine o momento de inércia de uma seção retangular b x h em relação aos seus eixos baricentricos. 2. Determinar a posição do centro de gravidade das figuras abaixo, com as medidas em cm: a. b. R: xg= 5 cm R: xg = 5 cm yg = 9,66 cm yg= c. d. Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 11

12 3. Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eixos baricêntricos horizontal e vertical (medidas em cm): a. b. R: J x = 3.541,33 cm 4 R: J x = 553 cm 4 J y = 1.691,33 cm 4 J y = 279,08 cm 4 c. d. R: Jx = 687,65 cm 4 Jy= 207,33 cm 4 Estruturas I Faculdade de rquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 12