Propriedades Geométricas de Seções Transversais
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- Orlando Franco Bernardes
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1 D-1 pêndice D Propriedades Geométricas de Seções Transversais D.1 Momento Estático Considere uma superfície plana de área e dois eixos ortogonais x e y de seu plano mostrados na Figura D.1. Seja d um elemento diferencial de área da superfície, o qual está genericamente posicionado com relação ao sistema de referência adotado. Figura D.1: Elemento de área d numa área plana. Define-se o momento estático de um elemento de área d com relação aos eixos x e y, respectivamente, como dm sx = yd, (D.1) dm sy = xd. (D.) Por sua vez, o momento estático ou momento de primeira ordem da área com relação aos eixos x e y são obtidos somando-se a contribuição dos momentos estáticos de cada elemento diferencial d da seção. os momentos estáticos são dados pelas seguintes integrais M sx = yd, (D.3) M sy = xd. (D.4) Supondo que as dimensões da seção estejam indicadas em cm, a unidade dos momento estáticos M sx e M sy são cm 3.
2 D.. Centro de Gravidade D- Exemplo D.1 Determinar os momentos estáticos M sx e M sy para a superfície ilustrada na Figura D.(a). (a) Sistema de referência na base. (b) Sistema de referência no CG. Figura D.: Elementos de área numa seção retangular. Inicialmente, calcula-se o momento estático em relação ao eixo x. Para isso, utiliza-se (D.1) com o elemento de área d = bdy ilustrado na Figura D.(a). partir da expressão (D.1) vem que h M sx = yd = b ydy = b 0 y h 0 = bh. (D.5) O momento estático M sy é obtido empregando (D.) com o elemento de área d = bdx. Logo b M sy = xd = h xdx = h 0 x b 0 = hb. (D.6) Exemplo D. Determinar os momentos estáticos M sx e M sy do retângulo da Figura D.(b) em relação aos eixos x e y que passam ao longo do centro de gravidade da seção. O procedimento éanálogo ao do exemplo anterior devendo-se mudar apenas os limites de integração. Portanto h/ M sx = yd = b ydy = b h/ y h/ h/ = b [ (h ) ( h ) ] =0, (D.7) b/ M sy = xd = h xdx = h b/ x b/ b/ = h [ ( ) b ( b ) ] =0. (D.8) ssim, os momentos estáticos em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade são nulos. D. Centro de Gravidade O centro de gravidade de uma superfície plana de área ilustrada na Figura D. é definido como sendo opontocg de coordenadas x G e y G dadas por x G = M s y,, (D.9) (D.10)
3 D.. Centro de Gravidade D-3 sendo M sx e M sy os momentos estáticos da superfície com relação aos eixo x e y, respectivamente, e é área da seção transversal. Figura D.3: Centro de gravidade de uma área plana. Dada uma superfície plana de área, adota-se o seguinte procedimento para determinar o seu centro de gravidade: 1. Escolhe-se um sistema de referência conveniente para o cálculo do CG. Por exemplo, se a superfície é simétrica, deve-se colocar o sistema de referência ao longo da simetria.. Calculam-se os momentos estáticos M sx = yd e M s y = xd. 3. Determinam-se as coordenadas do centro de gravidade x G = M s y e. Exemplo D.3 Determinar o centro de gravidade da superfície da Figura D.(a). Neste caso, os dois primeiros passos do procedimento anterior já foram efetuados no exemplo D.1. dotou-se o sistema de coordenadas xy conforme ilustrado na Figura D.(a) e calcularam-se os momentos estáticos M sx e M sy. Lembrando que a área do retângulo é = bh, basta agora empregar as equações (D.9) e (D.10) para obter as coordenadas (x G,y G ) do centro de gravidade. x G = M s y = = hb bh = b, bh bh = h. Pode-se calcular os momento estáticos M sx e M sy apartirdadefinição do centro de gravidade dada em (D.9) e (D.10) conforme ilustrado na Figura D.. Para isso, considere uma superfície plana de área e dois eixos ortogonais x e y de seu plano. Supondo que se conheça previamente a posição do seu centro de gravidade, calculam-se M sx e M sy a partir de (D.9) e (D.10) como M sy = x G, M sx = y G. (D.11) (D.) a seguinte definição é válida: o momento estático de uma superfície de área com relação a um eixo qualquer de seu plano é igual ao produto da área da superfície pela distância do seu centro de
4 D.. Centro de Gravidade D-4 gravidade ao eixo de interesse. Por exemplo, tomando-se o retângulo da Figura D.4, os momentos estáticos M sx e M sy são dados pelo produto da área = bh do retângulo, respectivamente, pelas distâncias c + h e a + h do centro de gravidade do retângulo aos eixos x e y, ouseja, M sx = bh[c + h ], M sy = bh[a + h ]. Figura D.4: Cálculo do momento estático a partir da definição do centor de gravidade. Umapropriedadedomomentoestático é aseguinte: o momento estático de uma superfície com relação a um eixo que passa pelo seu centro de gravidade ézero,einversamenteseomomentoestático de uma superfície com relação a um eixo é zero, este eixo passa pelo seu centro de gravidade. Esta propriedade está ilustrada na Figura D.5 para as duas superfícies. Para a área da Figura D.5(a), o eixo r passa pelo CG e o momento estático em relação a r será nulo, ou seja, M sr = (0) = 0. No caso da superfície da Figura D.5(b), os momentos estáticos em relação aos eixos r e t serão dados pelo produto da área pelas respectivas distâncias d r e d t do CG da área aos eixos r e t. Portanto, M sr = d r, M st = d t. Por sua vez, como o eixo u passa pelo CG da seção, o momento estático em relação a exte eixo énulo, isto é, M su =0. Exemplo D.4 Determinar o centro de gravidade para o perfil T ilustrado na Figura D.6. Neste caso, considera-se o perfil T como constituído dos retângulos 1 e mostrados na Figura D.6. O sistema de coordenadas é colocado de tal forma que o eixo y seja um eixo de simetria da seção. a coordenada x G do centro de gravidade é nula, ou seja, x G = M s y = 0 =0. ssim, o CG sempre estará ao longo de um eixo de simetria.
5 D.. Centro de Gravidade D-5 (a) Eixo r passa pelo CG. (b) Eixos r e t não passam pelo CG. Figura D.5: Centro de gravidade de uma área plana. Para o cálculo de y G, emprega-se (D.). Observa-se que a área e o momento estático M sx da seção são dados pela soma das áreas e momentos estáticos dos dois retângulos. Portanto, = 1 +, M sx = (M sx ) 1 +(M sx ) Da Figura D.6, vem que Portanto, Figura D.6: Perfil T. = (8)() + ()(5) = 6cm, M sx = 1 d 1 + d = (8)()(6) + ()(5)(, 5) = 1cm 3. = 1 =4, 65cm. 6
6 D.. Centro de Gravidade D-6 Figura D.7: Perfil L. Exemplo D.5 Determinar o centro de gravidade para a superfície da Figura D.7. Neste caso, os eixos x e y do sistema de referência adotado não são eixos de simetria. Deve-se, então, calcular as duas coordenadas (x G,y G ) do centro de gravidade. Novamente, a área e os momentos estáticos são dados pela soma das respectivas áreas e dos momentos estáticos dos retângulos 1 e ilustrados na Figura D.7. Para o cálculo de x G, emprega-se (D.11), sendo = 1 + = (1)(8) + (5)(1) = 13cm, M sy = ( ) M sy 1 + ( ) M sy = (1)(8)(0, 5) + (5)(1)(3, 5) = 1, 5cm3. x G = M s y = 1, 5 =1, 65cm. 13 De forma análoga para y G,tem-seque Portanto, M sx =(M sx ) 1 +(M sx ) = (1)(8)(4) + (1)(5)(0, 5) = 34, 5cm 3. = 34, 5 =, 65cm. 13 Exemplo D.6 Determinar o centro de gravidade da superfície ilustrada na Figura D.8. dotando o sistema de referência xy da Figura D.8, deve-se calcular as duas coordenadas (x G,y G ) do centro de gravidade. Para o cálculo de x G, observa-se que = = (5)(1) + (10)(1) + (5)(1) = 0cm, M sy = ( ) M sy 1 + ( ) M sy + ( ) M sy 3 = (1)(5)(0, 5) + (1)(10)(6) + (1)(5)(11, 5) = 0cm3. x G = M s y = 0 0 =6cm.
7 D.3. Momento de Inércia D-7 Figura D.8: Perfil U. De forma análoga para o cálculo de y G, vem que M sx =(M sx ) 1 +(M sx ) +(M sx ) 3 = (1)(5)(, 5) + (1)(10)(0, 5) + (1)(5)(, 5) = 30cm 3. Portanto, = 30 =1, 5cm. 0 D.3 Momento de Inércia Considere uma superfície plana de área e dois eixos ortogonais x e y de seu plano. Seja d um elemento de superfície genericamente posicionado com relação ao sistema de referência conforme ilustrado nafigura D.1. Define-se o momento de inércia de um elemento de superfície de área d com relação aos eixos x e y, respectivamente, por di x = y d, di y = x d. (D.13) (D.14) partirdaí, o momento de inércia de área com relação aos eixos x e y são dados pela seguintes integrais I x = y d, (D.15) I y = x d. (D.16) Exemplo D.7 Determinar os momentos de inércia I xg e I yg em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade do retângulo da Figura D.(b). Paraocálculo de I xg emprega-se (D.15) e o elemento de área d = bdy mostrado na Figura D.(a). I xg = + h y d = b y dy = b h 3 y3 + h h = b 3 [ (h ) 3 ( h ) ] 3 = bh3. (D.17)
8 D.3. Momento de Inércia D-8 nalogamente, utiliza-se (D.16) para determinar I yg e o elemento de área d = hdx ilustrado na Figura D.(a). Portanto, I yg = + b x d = h x dx = h b 3 x3 + b b = h 3 [ ( ) b 3 ( b ) ] 3 = hb3. (D.18) dimensão que vai ao cubo é sempre aquela cortada pelo eixo em relação ao qual está secalculando o momento de inércia do retângulo. D.3.1 Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos ou de Steiner éoseguinte:o momento de inércia de uma superfície plana de área com relação a um eixo qualquer de seu plano é igual ao momento de inércia da superfície com relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade e é paralelo ao eixo anterior mais o produto da área da superfície pela distância entre os eixos ao quadrado. Tomando-se a superfície ilustrada na Figura D.9, o momento de inércia em relação ao eixo r édadopelasomadomomentodeinércia em relação ao eixo r G, que passa pelo CG da superfície e é paralelo a r, mais o produto da área pelo quadrado da distância entre os eixos r e r G. I r = I rg + d r. nalogamente, para o eixo s, tem-se que I s = I sg + d s. Figura D.9: Teorema dos eixos paralelos. Exemplo D.8 Determinar os momentos de inércia I xg e I yg em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade do perfil T da Figura D.10(a). De forma análoga aos momentos estáticos, os momentos de inércia da seção são dados pelas somas dos respectivos momentos de inércias dos retângulos 1 e ilustrados na Figura D.10(a). no cálculo de I xg vem que. Para calcular (I xg ) 1 e (I xg ), emprega-se o teorema dos eixos paralelos, ou seja,
9 D.3. Momento de Inércia D-9 (a) Perfil T. (b) Perfil U. (c) Perfil L. (d) Perfil I. Figura D.10: Cálculo de momento de inércia. (I xg ) 1 = (8)()3 (I xg ) = ()(5)3 + (8)()(6 4, 65) =34, 5cm 4, + (5)()(4, 65, 5) =67, 1cm 4. I xg =34, 5+67, 1 = 101, 6cm 4 Para o cálculo de I yg, observa-se que I yg =(I yg ) 1 +(I yg ) = (8)3 () + ()3 (5) =85, 3+3, 3=88, 6cm 4. Exemplo D.9 Determinar os momentos de inércia I xg e I yg em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da superfície da Figura D.10(b). No caso de I xg, verifica-se que +(I xg ) 3. Os momentos de inércia de cada um dos 3 retângulos são calculados utilizando-se o teorema dos eixos paralelos, ou seja, (I xg ) 1 = (5)3 (1) (I xg ) = (5)3 (1) (I xg ) 3 = (1)3 (10) + (5)(1)(, 5 1, 5) =15, 4cm 4, + (5)(1)(, 5 1, 5) =15, 4cm 4, + (10)(1)(1, 5 0, 5) =10, 8cm 4. +(I xg ) 3 =41, 6cm 4.
10 D.3. Momento de Inércia D-10 Por sua vez, I yg é dado por I yg =(I yg ) 1 +(I yg ) +(I yg ) 3. Utilizando o teorema dos eixos paralelos (I yg ) 1 = (1)3 (5) (I yg ) = (1)3 (5) (I yg ) 3 = (10)3 (1) + (1)(5)(6 0, 5) = 151, 7cm 4, + (1)(5)(6 0, 5) = 151, 7cm 4, + (10)(1)(0, 65 0, 5) =83, 5cm 4. I yg =(I yg ) 1 +(I yg ) +(I yg ) 3 = 386, 9cm 4. Exemplo D.10 Determinar os momentos de inércia I xg e I yg em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da superfície da Figura D.10(c). De forma análoga, aos exemplos anteriores, tem-se para I xg sendo, (I xg ) 1 = (8)3 (1) (I xg ) = (1)3 (5) I xg =80, 8cm 4. + (1)(8)(4, 65) =57, 3cm 4, + (5)(1)(, 65 0, 5) =3, 5cm 4. sendo nalogamente, para I yg I yg =(I yg ) 1 +(I yg ), (I yg ) 1 = (1)3 (8) (I yg ) = (5)3 (1) Portanto, I yg =38, 8cm 4. + (1)(8)(1, 65 0, 5) =11, 3cm 4, + (1)(5)(3, 5 1, 65) =7, 5cm 4.
11 D.3. Momento de Inércia D-11 Exemplo D.11 Determinar I xg e I yg para a superfície da Figura D.10(d). Inicialmente, calculam-se as coordenadas do centro de gravidade. = (M s x ) 1 +(M sx ) +(M sx ) Substituindo os valores vem que y G = (5)(5)(, 5) + (5)(30)(0) + (5)(30)(37, 5) (5)(5) + (5)(30) + (5)(30) = 38937, 5 45 =1, 0cm. coordenada x G é zero, pois o a seção ésimétrica em relação ao eixo vertical adotado. O momento de inércia I xg é dado por +(I xg ) 3. Pelo teorema dos eixos paralelos (I xg ) 1 = (5)3 (5) (I xg ) = (30)3 (5) (I xg ) 3 = (30)(5)3 I xg = 95591, 31cm 4. + (5)(5)(1, 03, 5) = 43180, 53cm 4, + (5)(30)(1, 03 0) = 11409, 14cm 4, + (3)(50)(37, 5 1, 03) = 41001, 63cm 4. Finalmente, o momento de inércia I yg é dado por +(I xg ) 3 = (5)3 (5) + (5)3 (0) + (5)3 (5) = 1807, 9cm 4.
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