Professor: José Junio Lopes

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Júlia Silveira Lemos
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1 Aula 2 - Tensão/Tensão Normal e de Cisalhamento Média; Tensões Admissíveis. A - Tensão Normal Média 1. Exemplo A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a Figura 1.17a. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média em cada haste. Resp: σ BA = 8, 05 MPa σ BC = 7, 86 MPa 2. Ex O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0,840 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar. Resposta: P = 27,3 kn 3. Ex A coluna está submetida a uma força axial de 8 kn no seu topo. Supondo que a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Resp.: 1,82 MPa 1

Resp: σ BA = 8, 05 MPa σ BC = 7, 86 MPa 2. Ex. 1.40. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura.

4. Determinar a tensão normal de compressão mutua (ou tensões de contato ou tensão de esmagamento") da figura ao lado, entre: a) o bloco de madeira de seção 100 mm x120 mm e a base de concreto 500 mm

2 4. Determinar a tensão normal de compressão mutua (ou tensões de contato ou tensão de esmagamento") da figura ao lado, entre: a) o bloco de madeira de seção 100 mm x120 mm e a base de concreto 500 mm x 500 mm. b) a base de concreto e o solo. Resp.: a) 3333 kpa ; b) 160 kpa 5. A viga de concreto Armado da figura é prismática (seção transversal constante) e horizontal, com peso específico de C = 25 kn/m 3. Apoiada nas suas extremidades por dois pilares iguais, com seção quadrada de 30 cm de lado, a viga suporta uma parede de alvenaria, com 18 kn/m 3 de peso específico e 30 cm de base e 80 cm de altura, sendo de 9 m o seu vão. Calcular a tensão de compressão nos pilares. Resp.: = kn/m 2 6. A junta está submetida à força de 6 kip do elemento axial. Determinar a tensão normal média que atua nas seções AB e BC. Suponha que o elemento é plano e tem 1,5 polegada de espessura. Resp: σ AB = , 41 psi σ BC = 819, 20 psi B - Tensão de cisalhamento 7. Um rebite é usado para unir duas chapas de aço, conforme a figura ao lado. O diâmetro do rebite é de 6 mm e o esforço cortante é de 10kN. Qual a tensão de cisalhamento no rebite? Resp.: 354 Mpa 2

A viga de concreto Armado da figura é prismática (seção transversal constante) e horizontal, com peso específico de C = 25 kn/m 3.

3 8. A amarra de um barco é presa a um suporte em T no deque do barco por um pino de aço inoxidável. Se a tensão cisalhamento admissível no pino for de 75 MPa e o diâmetro do pino for 7 mm, qual será a força trativa permissível T na amarra? Resp.:T = 5,77 kn 9. Duas chapas, conforme a figura, são fixadas com rebites e suportarão uma força cortante (F) de 20kN. Sabendo-se que o diâmetro de cada rebite é de 4 mm a tensão de tração suportada por cada rebite é 650 MPa. a) Calcular a quantidade mínima de rebites necessários para unir a chapa sem sofrer o cisalhamento. b) Sabendo-se que essas chapas deverão agora resistir a uma força cortante de 30 kn, com o mesmo número de arrebites, determine o diâmetro de cada rebite. (A tensão de tração do material do rebite é de 650 MPa). Resp.: a) 3 rebites b) 4,42 mm arredondando 5 mm 10. Uma placa é fixada a uma base de madeira por meio de três parafusos de diâmetro 22 mm e submetida a uma carga P = 120 kn, conforme mostra a figura ao lado. Se a placa tiver uma espessura de 3 cm e for de material que possua tensão de 10 MPa, qual deverá ser distância mínima do furo até a borda da placa? Resp.: LR = 67 mm 3

Duas chapas, conforme a figura, são fixadas com rebites e suportarão uma força cortante (F) de 20kN.

11. Um engenheiro, propõe emendar duas tábuas de 2x4 para formar um elemento comprido, submetido a tração, utilizando 4 parafusos de diâmetro de 3/8 de in, e duas placas de aço, conforme mostra a

b) Se em vez de usar parafusos, o engenheiro utilizasse cola para prender as duas tábuas, qual seria o valor da tensão cisalhamento média nas juntas coladas, para uma força trativa P = 1.500 lb? Resp.

4 11. Um engenheiro, propõe emendar duas tábuas de 2x4 para formar um elemento comprido, submetido a tração, utilizando 4 parafusos de diâmetro de 3/8 de in, e duas placas de aço, conforme mostra a figura. a) Se a tensão de cisalhamento média experimentada por cada parafuso for 2,5 ksi, qual será o valor da carga de tração P suportada pelas tábuas? b) Se em vez de usar parafusos, o engenheiro utilizasse cola para prender as duas tábuas, qual seria o valor da tensão cisalhamento média nas juntas coladas, para uma força trativa P = lb? Resp.: a) P = 1.104,46 lb ; b) = 53,6 psi 12. Ex A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvidas nas fibras da madeira orientadas ao longo da seção a-a a 15 em relação ao eixo da prancha. Resposta: = 15,2 kpa = 56,6 kpa 13. Uma amostra retangular de concreto, com 15 cm de lado e 30 cm de altura, é submetida a uma carga compressiva P = 4,5 kn, como mostrado na figura ao lado. O cilindro falha ao longo de um plano com a diagonal. a) Determine a tensão axial (compressiva) no cilindro quando ele atinge a carga de ruptura. b) Determine a tensão normal N, e a tensão de cisalhamento,, no plano de falha, para = 64º. Resp.: a) σ = 200 kpa, σ N = -39,21 kpa ; b) = -80,39 kpa 4

: 314,16 kn 15. Um parafuso de 20 mm de diâmetro é apertado contra uma peça de madeira exercendo se uma tensão de tração de 120 MPa (ver figura).

5 C - Tensão Admissível Professor: José Junio Lopes 14. Um eixo vertical é suportado por um colar de escora sobre uma placa de apoio (ver figura). Determinar a carga axial máxima que pode ser aplicada ao eixo se a tensão média de corte no colar e a tensão média entre o colar e a placa são limitadas respectivamente por 40 MPa e 65 MPa. Resp.: 314,16 kn 15. Um parafuso de 20 mm de diâmetro é apertado contra uma peça de madeira exercendo se uma tensão de tração de 120 MPa (ver figura). Calcular a espessura e da cabeça do parafuso e o diâmetro externo d da arruela, dadas as tensões admissíveis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, na compressão na madeira. Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm 16. Uma chapa deve ser furada por punção, exercendo se no perfurador uma tensão de compressão de 420 MPa. Na chapa, a tensão de ruptura ao corte é de 315 MPa. a) Calcular a espessura máxima da chapa para fazer um furo de 75 mm de diâmetro; b) Calcular o maior diâmetro que pode ter o furo, se a espessura da chapa é de 6 mm. Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm 17. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 KN. Determine o diâmetro d e a espessura exigida h do suporte, de forma que a arruela não penetre ou cisalhe o suporte. A tensão normal admissível para o parafuso é adm = 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o material do suporte é adm = 35 MPa. Resp.: d = 15 mm ; h = 9,1 mm 5

O elemento B tem 50 mm de espessura. Resp.: d aço = 5,93 mm ; d mad = 25 mm 19.

6 18. Ex 1.65 A junta sobreposta do elemento de madeira A de uma treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kn. Determine o diâmetro requerido d da haste de aço C e a altura h do elemento B se a tensão normal admissível do aço é ( adm )aço = 157 MPa e a tensão normal admissível da madeira é ( adm )mad = 2 MPa. O elemento B tem 50 mm de espessura. Resp.: d aço = 5,93 mm ; d mad = 25 mm 19. Calcular o comprimento total 2L da ligação de duas peças de madeira, conforme a figura, e a altura h necessária, dados: P = 50 kn, b = 250mm e as tensões admissíveis na madeira são: 0,8 MPa ao corte e 6,5 MPa na compressão. Resp.: L = 125 mm ; h= 31mm. 20. A dobradiça da figura ao lado, tem uma articulação com um pino, que deve resistir a uma força de tração P = 60 kn. Calcule o diâmetro do pino e a espessura mínima da chapa para as tensões admissíveis de 50 MPa ao corte e 120 MPa na tração. Resp.: d = 19,54 mm ; e = 6,25 mm 21. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 2 cm 2. Determine a tensão normal média em cada elemento devido à carga. Indicar se a tensão é de tração ou de compressão. 6

22. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 2 cm 2. Determine a tensão normal média em cada elemento devido à carga. Indicar se a tensão é de tração ou de compressão. 23. Ex 1.

7 22. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 2 cm 2. Determine a tensão normal média em cada elemento devido à carga. Indicar se a tensão é de tração ou de compressão. 23. Ex 1.58 Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm 2. Se a tensão admissível for 140 MPa, determine o valor máximo P das cargas que podem ser aplicadas à treliça. Resp.: P = kn 7

Indicar se a tensão é de tração ou de compressão. 23. Ex 1.

8 24. Determine a máxima força F que pode ser aplicada na estrutura, se as áreas das seções transversais das barras são A = 5000 mm 2 e a tensão admissível de tração é σadm t = 14kgf/mm2 e a tensão admissível de compressão é σadm c = 10,5 kgf/mm 2. Resposta: A máxima força F é a de F = kgf, pois qualquer força maior que está produziria uma tensão superior a tensão admissível. 25. A estrutura em treliça executada com tubos suporta duas forças de 12 tf conforme figura abaixo. Se as tensões admissíveis são σ adm t = 14 kgf/mm 2 para tração e σ adm c= 10,5 kgf/mm 2 para compressão. Qual a menor seção transversal possível para as barras e quais são elas? Qual deve ser o diâmetro do tubo? Resposta: Perceber que, a menor área possível para as barras da estrutura é a de 1904,8 mm 2, e estão nas barras AB e DF. Estas são as duas barras mais críticas da treliça, pois qualquer área menor que esta produziria uma tensão superior a tensão admissível. O diâmetro do tubo aceito em todas as barras deverá ser de 49,25 mm ou 2 polegadas. 8

A estrutura em treliça executada com tubos suporta duas forças de 12 tf conforme figura abaixo.

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