AULA 02 - TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO

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1 AULA 02 - TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO Observação: Este texto não deverá ser considerado como apostila, somente como notas de aula. 1 - INTRODUÇÃO O projeto da estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento qualquer é um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os esforços para as condições de uso a que serão submetidas. Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A analise de tensões, esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os principais aspectos da resistência dos materiais. A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando a mesma são solicitadas por agentes externos ( cargas, variações térmicas, movimentos de seus apoios, etc.) são os principais aspectos da análise estrutural. 2 - TENSÃO A fim de estudar a capacidade de resistência das peças de uma estrutura deveremos analisar os esforços internos que se desenvolvem nas partículas de uma determinada seção transversal TENSÃO NORMAL A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente A, é definida como tensão normal, (sigma). Visto que Fz é normal à área, então: 1

2 Se a força normal ou tensão tracionar o elemento de área A, como mostra a figura, ela será denominada tensão de tração, ao passo que, se comprimir o elemento A, ela será denominada tensão de compressão. Onde: = tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal. P = força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio. A = área da seção transversal da barra. A carga interna P deve passar pelo centroide da seção transversal, visto que a distribuição de tensão uniforme produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e y que passem por esse ponto. 2

3 Exemplo: O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0,840 MPa, determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar. Resposta: P = 27,3 kn TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL Frequentemente, elementos estruturais ou mecânicos são compridos e delgados. Além disso, estão sujeitos a cargas axiais que normalmente são aplicadas às extremidades do elemento. Pendurais, parafusos e elementos de treliças são exemplos típicos. Nesta seção, determinaremos a distribuição de tensão média que age na seção transversal de uma barra com carga axial, como aquela cuja forma geral é mostrada na figura abaixo. Esta seção define a área da seção transversal da barra e, como todas as outras seções transversais são iguais, a barra é denominada prismática. 3

4 Antes de determinarmos a distribuição da tensão média que age sobre a área da seção transversal da barra, é necessário adotar duas premissas simplificadoras em relação à descrição do material e à aplicação específica da carga. 1º premissa - É necessário que a barra permaneça reta antes e depois da aplicação da carga; além disso, a seção transversal deve permanecer achatada ou plana durante a deformação, isto é, durante o tempo em que ocorrer a mudança no volume e na forma da barra. 2ª premissa - Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção transversal e que o material seja homogêneo e isotrópico. Materiais homogêneos têm as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume e materiais isotrópicos têm as mesmas propriedades em todas as direções. Muitos materiais de engenharia podem ser considerados homogêneos e isotrópicos por aproximação. Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular. 4

5 2.3 - TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA. Em nossa análise, a força interna P e a área da seção transversal A eram constantes ao longo do eixo longitudinal da barra e, como resultado, a tensão normal = P/A também é constante em todo o comprimento da barra. Entretanto, ocasionalmente, a barra pode estar sujeita a várias cargas externas ao longo de seu eixo ou pode ocorrer uma mudança em sua área da seção transversal. O resultado é que a tensão normal no interior da barra poderia ser diferente de uma seção para outra e, se quisermos determinar a tensão normal média máxima, torna-se importante determinar o lugar onde a razão P/A é um máximo. Para isso, é necessário determinar a força interna P em várias seções ao longo da barra. Neste caso, pode ser útil mostrar essa variação por meio de um diagrama de força axial ou normal. Exemplo: Sabendo que P = 177,9 kn, determine a máxima tensão normal média na barra composta ABC; Solução: É necessário determinar a força interna de cada trecho, a qual, é determinada por meio do MÉTODO DAS SEÇÕES: 1º passo: indicar as seções fundamentais: início e fim de barra Pontos com cargas aplicadas 2º passo: realizar a análise: esquerda direita ou direita esquerda 3º passo: determinar o esforço imediatamente antes e depois de cada seção para traçar o diagrama da tensão Normal. Tensão normal média. Aplicando a Equação = P/A, temos: AB = + 90,6 MPa BC = - 18,58 MPa Máx = + 90,6 MPa 5

6 3 - TENSÃO DE CISALHAMENTO. A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente a A, é denominada tensão de cisalhamento, (tau). Aqui estão as componentes da tensão de cisalhamento Para mostrar como essa tensão pode desenvolver-se, consideraremos o efeito da aplicação de uma força F à barra na Figura 1.20a. Se considerarmos apoios rígidos e F suficientemente grande, o material da barra irá deformar-se e falhar ao longo dos planos identificados por AB e CD. Um diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra (Figura 1.20b) indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada a cada seção para manter o segmento em equilíbrio. A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por Nessa expressão, τ méd = tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos ser a mesma em cada ponto localizado na seção. V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada pelas equações de equilíbrio. A = área na seção 6

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8 Cisalhamento simples. (V = F) Falha de um parafuso em cisalhamento simples Exemplo 01 - A amarra de um barco é presa a um suporte em T no deque do barco por um pino de aço inoxidável. Se a tensão cisalhamento admissível no pino for de 75 MPa e o diâmetro do pino for 7 mm, qual será a força trativa T permissível na amarra? Resp.:T = 5,77 kn Exemplo 02 - A barra mostrada na figura abaixo, tem área de seção transversal quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Uma força axial de 800 N é aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área da seção transversal da barra. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do (a) plano de seção a-a e do (b) plano de seção b-b. 8

9 Parte (a) Carga interna. A barra é secionada (figura abaixo), e a carga interna resultante consiste somente em uma força axial para a qual P = 800 N. Tensão média. A tensão normal média é determinada pela Equação: Não existe nenhuma tensão de cisalhamento na seção, visto que a força de cisalhamento na seção é zero. τ méd = O OBSERVAÇÃO: A distribuição da tensão normal média na seção transversal é mostrada na figura c. Parte (b) Carga interna. Se a barra for secionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado na figura 1.24d. Neste caso, a força normal (N) e a força de cisalhamento (V) agem na área secionada. A utilização dos eixos x, y resulta: 9

10 Tensões médias. Neste caso, a área secionada tem espessura e profundidade de 40 mm e 40 mm/sen 60 = 46,19 mm, respectivamente (figura 1.24a). Portanto, a tensão normal média é: 10

11 A distribuição das tensões é mostrada na figura 1.24e. Ligações com rebites Em qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligação rebitada deve-se analisar os seguintes itens: a. Cisalhamento nos rebites. O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas. Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes. Sendo: n - número de rebites que resiste à carga P. m - número de seções resistentes por rebite. d - diâmetro dos rebites. b. Compressão nas paredes dos furos. A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite. Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligação rebitada. 11

12 c. Tração nas chapas enfraquecidas. Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seção transversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, mais enfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida. Nas ligações por superposição simples, sempre estará em pior situação a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. d. Espaçamento mínimo entre rebites. Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado. Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulos de tensões nestas áreas comuns. Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados. Exemplo 03: Duas chapas, conforme a figura, são fixadas com rebites e suportarão uma força de 24 kn. Sabendo-se que o diâmetro de cada rebite é de 4 mm e que a tensão de tração suportada por cada rebite é de 650 MPa, calcule: a) A quantidade mínima de rebites necessários para unir a chapa sem sofrer o cisalhamento. b) A distância mínima do furo até a borda da placa se a espessura da placa for de 2 cm e seu material possua tensão de 10 MPa. Resp.: a) 3 rebites b) 2 cm N a) σ = = = n = 2,45rebites Assim sendo: usaremos 3 2 S n.π.(4.10 ) 4 3 rebites. τ = l. 0,02 12

13 4 - TENSÃO ADMISSÍVEL Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou mecânico deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser analisada periodicamente para que se verifique quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar. Portanto, vale repetir, é necessário fazer os cálculos usando uma tensão segura ou admissível. Uma peça estrutural deve ser projetada de tal forma que a tensão existente nas condições de utilização (trabalho) da peça seja consideravelmente menor que a Tensão de ruptura do material utilizado para confeccionar a peça. Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente. Há várias razões para isso. Por exemplo, a carga para a qual o elemento é projetado pode ser diferente das cargas realmente aplicadas. As dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura ou máquina podem não ser exatas, na realidade, por causa de erros de fabricação ou cometidos na montagem de seus componentes. É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou cargas acidentais desconhecidas, que não tenham sido contemplados no projeto. Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por exposição a intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço. Por fim, as propriedades mecânicas de alguns materiais como madeira, concreto ou compósitos reforçados com fibras podem apresentar alta variabilidade. FATOR DE SEGURANÇA Um método para especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um elemento é o uso de um número denominado fator de segurança. Este fator depende: Consistência da qualidade do material; Durabilidade do material; Comportamento elástico do material; Espécie de carga e de solicitação; 13

14 Tipo de estrutura e importância dos elementos estruturais; Precisão na avaliação dos esforços; Qualidade da mão de obra. O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura, Frup, e a carga admissível, Fadm. Neste contexto, Frup é determinada por ensaios experimentais do material, e o fator de segurança é selecionado com base na experiência. Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tensão desenvolvida no interior do elemento, como no caso da utilização de = P/A e méd = V/A, então podemos expressar o fator de segurança como a razão entre a tensão de rup ou (rup ) e a tensão admissível (adm (ou adm); isto é, Em qualquer dessas equações o fator de segurança escolhido é maior que 1, para evitar o potencial de falha. Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados e da finalidade pretendida da estrutura. Exemplo: A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é sustentada por uma haste de aço AC de 20 mm de diâmetro e por um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1800 mm 2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Considerando as tensões de ruptura do aço e do alumínio definidas respectivamente por rup_aço = 680 MPa e rup alum = 70 MPa, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada pino for rup_pino = 900 MPa, determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique um coeficiente de segurança ou fator de segurança FS = 2. 14

15 Na engenharia é comum encontrar catálogos e manuais com informações indicadas com unidades inglesas; kip ó quilolibras força (kipf) = 1000 lbf BIBLIOGRAFIA ANTÔNIO NETO, Aiello Giuseppe Resistência dos Materiais I - Universidade Presbiteriana Mackenzi. GASPAR, Ricardo MECÂNICA DOS MATERIAIS - Notas de aula da disciplina Resistência dos Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein. HIBBELER, R. C. Resistencia dos materiais 7ª Ed. Pearson JUDICE, Flávia Moll de Souza e PERLINGEIRO,Mayra Soares Pereira Lima Resistência Dos Materiais IX - Universidade Federal Fluminense BEER, Ferdinand P. JOHNSTON, E. Russel Jr - Resistência dos Materiais -. Ed. PEARSON - 3ª edição Prof.: Marcos VINICIOS Notas de Aulas da disciplina Resistência dos Materiais- Universidade Candido Mendes BAÊTA, Fernando da Costa SARTOR, Valmir Resistência dos Materiais e Dimencionamento de Estruturas para Construções Rurais Universidade Federal de Viçosa