Figura 1. Duas partículas de diferentes massas perfeitamente apoiadas pelo bastão = (1)

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1 PRÁTICA 13: CENTRO DE MASSA Centro de massa (ou centro de gravidade) de um objeto pode ser definido como o ponto em que ele pode ser equilibrado horizontalmente. Seu significado físico tem muita utilidade prática, pois podemos aproximar um sistema de várias partículas de massas diferentes como sendo apenas uma partícula com massa total localizada no seu centro de massa. O caso mais simples para se estudar o centro de massa é um sistema formado por duas partículas de massas 1 e 2 presas a um bastão de massa desprezível em lados opostos. Imaginemos que consigamos apoiá-lo perfeitamente como mostrado na Figura 1. Figura 1. Duas partículas de diferentes massas perfeitamente apoiadas pelo bastão Para o caso da Figura 1, o bastão fica apoiado perfeitamente se: = (1) Este fato experimental, primeiramente observado por Arquimedes, é designado de lei da Alavanca. Considere agora que o bastão esteja sobre a coordenada das abscissas (eixo ), deslocada com relação à origem. Desta forma, a partícula de massa está localizada na posição, enquanto a na. O centro de massa está em (Figura 2). Figura 2. Bostão com as duas massas sobre o eixo.. Detalhes no texto.

2 Analisando a Figura 2, obtemos que = e =. Substituindo na relação (1) encontramos: = (2) Os produtos e são chamados de momentos das massas e em relação à origem. Analisando a relação (2), podemos concluir que o centro de massa é obtido pela soma dos momentos das massas e divisão pela massa total. Generalizando para um sistema de partículas com massas,..., localizadas nos pontos,,...,, sobre o eixo, o centro de massa está localizado em: = = (3) Na equação (3), = é a massa total do sistema. A soma individual dos momentos, dada pela relação =, é chamada de momento do sistema em relação à origem. Fazendo estas considerações, podemos reescrever a equação (3) na forma =, que diz que se a massa total fosse considerada como concentrada no centro de massa, então sei momento deveria ser o mesmo que o momento do sistema. Considere agora um sistema contendo partículas com massas,..., localizados nos pontos cartesianos (, ), (, ),..., (, ), como mostrado na Figura 3. Definimos o momento do sistema com relação ao eixo como: e o momento do sistema com relação ao eixo como: = (4) = (5) Fisicamente, e medem a tendência do sistema girar ao redor do eixo e eixo, respectivamente. Figura 3. Sistema formado por três partículas, sendo que cada uma está situada em um ponto diferente no sistema cartesiano. Como no caso unidimensional, as coordenadas (,) do centro de massa são dadas em termos dos momentos pelas fórmulas: = (6)

3 = (7) sendo a massa total do sistema. Como = e =, o centro de massa (, ) é o ponto onde uma partícula única de massa teria os mesmos momentos do sistema. No caso de uma placa plana (lâmina) com densidade superficial uniforme, o centróide (centro geométrico) coincide com o centro de massa. Uma forma de verificar isso é considerando o princípio da simetria, que diz que se uma placa plana for simétrica ao redor de uma rela, então o centroide da placa estará em. Utilizando esse princípio, concluímos que o centróide de um retângulo, ou seu centro de massa, é o seu ponto central (para chegar à essa conclusão, basta você projetar duas retas perpendiculares no centro de simetria do retângulo. A intersecção entre elas é o centroide). Podemos utilizar essa informação para desenvolver uma relação geral objetivando determinar o centro de massa de qualquer placa plana, quando possível definir uma função para o seu formato. Para calcular o centro de massa da placa plana, dividimos um intervalo da função [a,b] (que corresponde às dimensões no eixo da placa) em subintervalos, com larguras iguais a. Escolhemos um subintervalo e identificamos o centróide (,,, 2) e, após, calculamos a massa (= ==, ) e os momentos desse subintervalo para cada eixo, sendo a área da placa. A soma do momento de cada subintervalo dividido pela massa total, como já deduzimos nas expressões (6) e (7), é a posição do centro de massa da placa em relação aos eixos. Por meio desse raciocínio, chegamos à coordenada do centro de massa (, ): = = (8) (9) Se a placa pode ser definida por uma região entre as curvas = e =, sendo, então as coordenadas do centro de massa serão dadas por: = = (10) (11) Nesta prática, estaremos encontrando o centro de massa de uma placa circular de papel cartão e de uma placa de acrílico por meio de seu centro de gravidade, e comparar com os valores teóricos, que devem ser calculados utilizando as relações (8) e (9). MATERIAIS NECESSÁRIOS Suporte com tripé universal / garra universal / massa / linha / placa de acrílico / caneta hidrocolor / papel sulfite / papel vegetal / folha milimetrada / régua / paquímetro / micrômetro / compasso / balança / papel milimetrado.

4 PROCEDIMENTO a) Faça um desenho esquemático da placa de acrílico no Esquema 1, anotando as dimensões encontradas. Esquema 1 b) Meça a massa da placa de acrílico. c) Por meio dos dados do Esquema 1, determine a área () da placa. d) Meça, em cinco diferentes pontos da placa, a sua espessura utilizando o micrômetro. Anote os valores na Tabela 1 (Nota Nota: Não se esqueça de anotar o desvio do instrumento) Tabela 1. Dados de massa, área e espessura da placa de acrílico Massa (kg): Área (m 2 ): Medidas da espessura da placa Leitura Espessura (mm) Resultados da Espessura Média Desvio padrão Desvio padrão da média Desvio total e) A placa possui uma espessura homogênea? (Dica. Para podermos calcular teoricamente o centro de massa de uma placa, ele deve ter espessura e densidades homogêneas). f) Faça a montagem experimental conforme Figura 4a para determinação experimental do centro de massa. Os detalhes da montagem são comentados a seguir. g) Amarre a massa à haste do suporte universal. Ela terá a função de servir como fio de prumo (instrumento utilizado para a determinação da direção vertical).

5 Figura 4. (a) Montagem geral do experimento. (b) Replicando as retas no papel vegetal. Posicione o papel vegetal com o contorno da placa exatamente sobre a placa e replique as retas. (c) Exemplo de medida ( ( ) entre os pontos de interseção das retas. (d) Área ampliada do item (c). Por meio da média dos valores de, é possível o círculo com raio que contenha a maior número possível de intersecções.. O centro deste círculo é o centro de massa da placa obtido experimentalmente. h) Passe uma linha por um dos furos das extremidades da placa de acrílico. A seguir pendure-a no suporte universal, onde está o fio de prumo. i) Com o auxílio de uma régua e de uma caneta tipo hidrocor risque na placa de acrílico uma reta sobre a linha vertical definida pelo fio de prumo. Repita os procedimentos g e h para os outros diferentes furos. (Atenção: cuidado para não apagar ou borrar as retas desenhadas com a caneta hidrocor, pois elas serão usadas como modelo para réplica na folha de papel). Nota: As intersecções entre as várias retas verticais demarcam a região onde deve estar localizado o centro de gravidade da placa de acrílico. j) Desenhe o contorno da placa, em mesma escala, no papel vegetal. k) Marque as retas obtidas na placa na folha de papel vegetal. Para isso, posicione o papel vegetal com o contorno do formato da placa (item j) sobre a placa e trace no papel, com um lápis, as retas obtidas (Figura 4b). l) Com o paquímetro, anote na Tabela 2 os valores das distâncias d entre, pelo menos, três diferentes pontos de intersecção das retas verticais na folha de papel vegetal. Estas distâncias fornecem o diâmetro experimental da região da placa que contém o centro de gravidade. Veja as Figuras 4c e 4d. Tabela 2. Valores das distâncias Leitura Diâmetro m) Calcule o valor médio e o desvio padrão do diâmetro da região das intersecções (região do centro de gravidade). Determine o raio da região (r=d 2), escrevendo-o a seguir:

6 = ± = (..±..) mm = ± = (..±..) mm n) Com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência de raio na folha de papel, com o centro (ponta seca do compasso) escolhido de modo que a circunferência contenha a maioria dos pontos de intersecção das retas, conforme a Figura 4c. o) Trace os eixos e na folha de papel, de modo que fiquem alinhados com os lados retos da chapa de acrílico, conforme mostrado na figura 4b. p) A posição experimental do centro de gravidade é dada pelo centro da circunferência em relação ao referencial e (, ). Escreva as coordenadas e o vetor posição do centro de gravidade (obtidos experimentalmente): Resultados obtidos pelos dados experimentais. = e = Em notação vetorial (vetor posição): = + = + Em valor modular: = + = q) Calcule o centro de massa da placa de acrílico. Para isso, divida a figura da placa em duas partes e encontre o centro de massa para cada parte utilizando as relações (8) e (9). Como o centro de massa de cada parte contém a massa total da parte, podemos encontrar o centro de massa da placa por meio das relações (6) e (7). Resultados obtidos pelo cálculo teórico: = e = Em notação vetorial (vetor posição): = + = + Em valor modular: = + =

7 r) Compare com o encontrado experimentalmente por meio do cálculo do erro: s) Discuta os resultados. ó %=100 ó Perguntas 1. Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3 kg, 4kg e 8 kg nos pontos (-1,1), (2,-1) e (3,2). Utilizando um papel milimetrado, esboce as coordenadas de cada ponto e a do centro de massa. 2. Demonstre que o centro de massa de um bastão retangular de espessura e comprimento é a coordenada dada pela metade de cada dimensão. 3. Calcule o centro de massa de uma placa semicircular de raio. 4. Encontre o centro de massa da região limitada pela reta = e a parábola = (Figura 5) f(x)=x f(x)=x 2 y x Figura 5. Exercício Três partículas de massas =1,2 kg, =2,5 kg e =3,4 kg formam um triângulo equilátero cujos lados medem = 140. Encontre o centro de massa e plote as coordenadas no plano cartesiano utilizando papel milimetrado. 6. Prove que o centro de massa de uma chapa triangular de lados iguais () é o ponto localizado na posição central. Referências Halliday, Renick, Walker. Fundamentos de Física, v. 1. Editora LTC, 2002, 6 edição André Koch Torres Assis, Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca. Editora Apeiron Montreal, James Stewart. Cálculo, v.1. Editora Pioneira, 2005, 4 edição.