CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE.

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Thalita Sabala Veiga
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Beer e Johnston, 1995 CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE. Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em i pequenos elementos.

1 Beer e Johnston, 1995 CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE. Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso P1, P2 e Pi, respectivamente. Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos elementares. Fz P = P1+ P2+... Pi ou seja: Fz P = dp Momento Axial no eixo Y: My = x.p = xi. Pi Momento Axial no eixo X: Mx = y.p = yi. Pi Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P deve ser aplicada, temos: My = xg.p = x1. P1 + x2. P2 + xi. Pi Mx = yg.p = y1. P1 + y2. P2 + yi. Pi Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma: G = (xg ; yg ) xg = xdp/ dp yg = ydp/ dp Página nº 1

2 Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas: (Murat, S.D.) Y O Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas. Trocando a força aplicada pela área, temos: xgi ygi A dx dy da=dx.dy X Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.) Baricentro ou centro de gravidade = G. Eixos baricêntricos = XG e YG. Momentos Estáticos = Msx e Msy. Pontos do baricentro = xg e yg. Área da Figura Plana = A Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X e Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições: xg = M sy /A yg = M sx /A Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana: M sy = xg.a M sx = yg.a Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes. yg = yg 1.A 1 + yg 2.A 2 + yg i.a i + /A 1 + A 2 + A i xg = xg 1.A 1 + xg 2.A 2 + xg i.a i + /A 1 + A 2 + A i Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será: yg = M sx (i)/ A(i) xg = M sy (i)/ A(i) Página nº 2

3 Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro: Para um Triângulo: Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado Calcularemos sua área e momento estático, bem como, seu baricentro. Y a dx A variação da figura em relação aos eixos serão: 0 < X < b - b.y/a dy Cálculo da Área: 0 < Y < a b X Área = dx.dy = dx. dy = (b - b.y/a)dy = b. dy - b.y.dy/a = b.y (0 a) - b.y 2 /2.a (0 a) Área = b.a - b.a/2 = Área = b.a/2 Da definição de Momento Estático temos: Msy = ( A) x.d A Msx= ( A) y.d A Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg, yg). xg = Msy/A = (2/b.a) x.dx.dy = (2/b.a) x.dx. dy = (2/b.a) (b-b.y/a) 2 /2.dy xg = (2/b.a) (b 2-2.b 2.y/a +(b.y/2) 2 )/2.dy = (b 2.a - b 2.a + b 2.a/3)/b.a = b 2.a/3.b.a = xg = b/3 yg = Msx/A = (2/b.a) y.dy.dx = (2/b.a) dx. y.dy = (2/b.a) (b.y - b.y 2 /a).dy yg = (2/b.a).[(b.y 2 /2) - (b.y 3 /3.a)]0 a = (2/b.a).[(b.a 2 /2) - (b.a 3 /3.a)] = yg = (2.b.a 2 /2.b.a) - (b.a 2.2/3.b.a) = a - 2.a/3 yg = a/3 Página nº 3

4 BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS Retângulo Figuras Áreas Baricentros A = B.H G = (B/2 ; H/2) Triângulo Retângulo A = (B.H)/2 G = (B/3 ; H/3) Quarto de Círculo A = (.R 2 )/4 G = (4.R/3. ; 4.R/3. ) Semi Círculo A = (.R 2 )/2 G = (0 ; 4.R/3. ) Círculo A =.R 2 G = (0 ; 0) (Miranda,2000) Página nº 4

5 Determinar o Baricentro das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993). Exemplo 14: (Resolvido) Baricentro: Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 = 55,27 cm 2 ou 55,27 x 10-4 m 2. G da figura composta: xg = 28,27.(-8/ ) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16 cm ou 0,16 x 10-2 m yg = 28,27.(8/ ) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27 = 2,77 x 10-2 m ou 2,77 cm Preliminares: Separar a figura principal (composta) em figuras planas simples. Calcular as áreas e posição dos baricentros de cada figuras em relação aos eixos de referência X e Y da figura principal. Quarto de Círculo: Área =.R 2 /4 = 28,27 x 10-4 m 2 ou 28,27 cm 2 xg = -4.R/3. = -8/ yg = 4.R/3. = 8/ Triângulo Superior: Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm 2 xg = B/3 = 3 x 10-2 m ou 3 cm yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm. Triângulo Inferior: Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10-4 m 2 xg = 3 cm yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10-2 m Exercício 13: (Resolver em Aula) Preliminares: Baricentro: Página nº 5

6 Exercícios Propostos: (Para estudo). Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas figuras: Exercício 14: Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10-2 m Exercício 15: Resposta: G = (1,5; -1,91) cm Exercício 16: Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm Exercício 17: Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10-2 m Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993) Exercício 16: Exercício 17: (Murat, S.D.) Página nº 6

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