Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

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1 Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) Derivadas Direcionais; Vetor Gradiente. (I) Derivadas Direcionais Definição: É a taxa de variação do valor de uma função em uma determinada direção, ou seja, a derivada parcial da função com relação ao vetor que representa a direção desejada. A derivada direcional de uma função f com relação ao vetor v no ponto (x 0,y 0 ) é geralmente denotada por duas formas: v D vf xₒ, yₒ A essa altura do campeonato, você já provavelmente se familiarizou com as derivadas parciais e. Essas derivadas podem igualmente serem chamadas de derivadas direcionais nos eixos x e y, respectivamente.

2 Mas como encontrar a derivada parcial na direção de um vetor v em um determinado ponto, ou seja, como medir a taxa de variação da função f no ponto (x 0,y 0 ) sobre a reta r = (x 0,y 0 ) + t v, sendo v um vetor unitário (v 1,v 2 )? f x, y, x t = xₒ + tv₁, y t = yₒ + tv₂ = dx + dy Se derivarmos as funções x e y com relação a t, é fácil verificar que teremos: dx = v₁ dy = v₂ (xₒ, yₒ) = (xₒ, yₒ) v₁ + (xₒ, yₒ) v₂ Note que temos agora a soma de dois produtos, o que pode ser escrito como o produto escalar: (xₒ, yₒ) = ( xₒ, yₒ ) ( v₁, v₂) OBS: Como a derivada depende apenas da direção do vetor v, devemos sempre usar um vetor v unitário, ou seja, de módulo igual a 1. (II) Vetor Gradiente Definição: É o vetor que indica a direção de maior crescimento de uma função em um determinado ponto. Sempre é perpendicular às curvas de nível. O gradiente é representado pelo caractere. Denota-se o gradiente da função f no ponto xₒ, yₒ por f xₒ, yₒ. E como calcular o gradiente de uma função?

3 f xₒ, yₒ = ( xₒ, yₒ ) Percebeu que o vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função com relação a x e y é o gradiente da função? Vamos retomar a equação do item 1.3: (xₒ, yₒ) = ( xₒ, yₒ ) ( v₁, v₂) Substituindo o primeiro vetor pelo gradiente, teremos: (xₒ, yₒ) = f xₒ, yₒ ( v₁, v₂) Essa é a equação mais importante que precisaremos utilizar para resolver problemas envolvendo esse conteúdo e os conteúdos posteriores, portanto, aprenda a usá-la, exercitando com as questões propostas a seguir. Exercícios Resolvidos a)(stewart, capítulo 14) Determine o gradiente de f, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor v, dados: Resolução: f x, y = 5xy 2 4x 3 y, P 1,2, v =< 5 13, > a) Para determinar o gradiente de f, primeiro devemos determinar as derivadas parciais da função. = 5y2 12x 2 y = 10xy 4x3 Substituindo esses valores na equação do gradiente, obtemos: f xₒ, yₒ = ( 5yₒ 2 12xₒ 2 yₒ, 10xₒyₒ 4xₒ 3 ) Determinado o gradiente, vamos calculá-lo no ponto P(1,2), substituindo os valores das coordenadas de P na equação acima: f 1,2 = ( , ) f 1,2 = ( 4, 16)

4 Por fim, a parte mais importante do exercício, determinar a taxa de variação de f no ponto P(1,2) na direção do vetor v. O primeiro passo deve ser sempre verificar se o módulo de v é igual a 1. v = ( 5 13 )2 + ( )2 = 1 De fato, o módulo de v é igual a 1. Então, vamos calcular a derivada na direção de v, que é simplesmente o produto escalar do gradiente de f pelo vetor direcional v. D v f = f 1,2 ( 5 13, ) D v f = ( 4, 16) ( 5 13, ) D v f = (UFRJ ) Seja z = f(x,y) uma função diferenciável no ponto (1,2) e considere os vetores u = u = ( 2 2, 2 2 ) e v = ( 2 2, 2 2 ). Sabendo-se que D u f 1,2 = 1 e D v f 1,2 = 3, calcule f x (1,2) e f y (1,2). Resolução: Perceba que para resolver esse problema vamos ter que percorrer o caminho oposto ao do exercício anterior. Perceba que ele fornece as derivadas direcionais, bem como os vetores, e pede as derivadas parciais com relação a x e y. Isto é, o problema quer as componentes do gradiente. Vamos usar novamente aquela equação mágicaessencialcapitalsensacional para os vetores nas direções de u e v. D u f 1,2 = f 1,2 u 1 = f 1,2 2 2, 2 2 D v f 1,2 = f 1,2 v e 3 = f 1,2 2 2, 2 2 Sendo f 1,2 = 1,2, 1,2 Com essas duas equações montamos um sistema: f x 1, f y 1,2 2 2 = 1 f x 1, f y 1,2 2 2 = 3

5 Resolvendo as equações acima temos: f 1,2 = 1,2, 1,2 = (2 2, 2) As componentes do gradiente são as derivadas parciais da função, conforme pedido no enunciado. É isso aí pessoal, espero que a partir de agora vocês tenham aprendido a resolver questões de gradiente e derivadas direcionais. Esse é um dos conteúdos que a P2 de Cálculo II cobra sempre, então é importante que você continue exercitando, fazendo questões de provas anteriores e de livros didáticos. E se você tiver que levar deste resumo apenas uma coisa, que seja a equação: (xₒ, yₒ) = f xₒ, yₒ ( v₁, v₂) Exercícios Recomendados: 1)(UFRJ ) (UFRJ ) Gabaritos: 1)a 2)0 3)-4/5 4) -4 Bons Estudos!! Dúvidas? Acesse o Solucionador na página ou mande para [email protected].