Cálculo 3 Primeira Avaliação (A) 25/08/2016

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1 Cálculo 3 Primeira Avaliação A) 25/08/2016 Nome / Matrícula: / Turma: AA Nota: de 4 pontos) 1. 1 ponto) Determine a equação do plano que é: perpendicular ao plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0, 2) e 2, 1, 4) e contém a reta dada pela equação paramétrica rt) π + 2t)i + t 3)j + ln 2 4t)k ponto) Dados dois vetores e b mostre que a projeção de b sobre, proj b, e a projeção ortogonal de b sobre, orth b, são de fato ortogonais ponto) Determine a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos 2x + 3y + z 1 e x y + 2z ponto) Suponha que v 1 e v 2 são tais que v 1 3, v 2 1 e v 1 v 2 2. Considere assim os vetores v 3 proj v1 v 2, v 4 proj v2 v 3 e assim por diante. Calcule o valor de v n. n1 1

2 Cálculo 3 Primeira Avaliação B) 25/08/2016 Nome / Matrícula: / Turma: AA Nota: de 4 pontos) 1. 1 ponto) Determine a equação do plano que é: perpendicular ao plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0, 1) e 2, 1, 4) e contém a reta dada pela equação paramétrica rt) π + 2t)i + t 3)j + 2 4t)k ponto) Dados dois vetores e b mostre que a projeção de b sobre, proj b, e a projeção ortogonal de b sobre, orth b, são de fato ortogonais ponto) Determine a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos x+4y2z 2 e 3x+2y2z ponto) Suponha que v 1 e v 2 são tais que v 1 2, v 2 3 e v 1 v 2 5. Considere assim os vetores v 3 proj v1 v 2, v 4 proj v2 v 3 e assim por diante. Calcule o valor de v n. n1 2

3 Cálculo 3 Primeira Avaliação C) 25/08/2016 Nome / Matrícula: / Turma: AA Nota: de 4 pontos) 1. 1 ponto) Determine a equação do plano que é: perpendicular ao plano que passa pelos pontos 0, 3, 1), 3, 0, 1) e 2, 1, 4) e contém a reta dada pela equação paramétrica rt) π + 2t)i + t e 2 )j + 2 4t)k ponto) Dados dois vetores e b mostre que a projeção de b sobre, proj b, e a projeção ortogonal de b sobre orth b são de fato ortogonais ponto) Determine a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos 2x + 2y z 1 e x 3y + 2z ponto) Suponha que v 1 e v 2 são tais que v 1 2, v 2 2 e v 1 v 2 3. Seja v 3 proj v1 v 2, v 4 proj v2 v 3 e assim por diante. Calcule o valor de v n. n1 3

4 Gabarito A) 1. Para encontrar o vetor normal do plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0, 2) e 2, 1, 4) construímos os vetores u 0, 1, 1) 1, 0, 2) 1, 1, 3) v 0, 1, 1) 2, 1, 4) 2, 0, 3). Desta forma, o vetor normal do plano que contém os vetores u e v é dado por n i 3j 2k. Como queremos a equação do plano que contém a reta e é ortogonal ao plano formado pelos vetores u e v, então podemos encontrar o vetor normal do plano desejado fazendo o produto vetorial do vetor n com o vetor direção da reta d 2, 1, 4). Logo, Portanto, a equação do plano procurado é m i + 8j + 9k. 14x π) + 8y + 3) + 9z ln 2) Os vetores projeção e projeção ortogonal são dados por proj ) b orth b ) b. Fazendo o produto escalar entre eles, temos [ ) ] [ ) ] b ) b ) 0. 4 ) Portanto, os vetores são ortogonais. 3. Fazendo z t, podemos encontrar uma equação da reta de interseção entre os planos 2x + 3y + z 1 e x y + 2z 3 resolvendo o sistema linear Assim, 2x + 3y 1 t x y 3 2t. yt) 1 t t) 7 5t 4

5 e xt) 3 2t + yt) 3 2t + 7 5t 10 7t. Portanto, uma equação paramétrica da reta é rt) 10 7t)i + 7 5t)j + tk. 4. Temos que v 1 3, v 2 1 e v 1 v 2 2. Com isso, podemos calcular o ângulo entre os vetores v 1 e v 2 que é dado por Assim, temos que v 1 v 2 v 1 v 2 cos θ cos θ 2 3. v 3 proj v1 v 2 v 1 v 2 v Considerando que o vetor v 3 está na direção do vetor v 1, então o ângulo entre v 3 e v 2 é constante e igual a θ, assim temos De forma inteiramente análoga, temos que v 4 proj v2 v 3 v 3 v 2 v 2 v 3 v 2 cos θ v 2 v 3 cos θ Podemos ver assim que v 5 v 4 cos θ v n ) + + n /3 )

6 Gabarito B) 1. Para encontrar o vetor normal do plano que passa pelos pontos 0, 1, 1), 1, 0, 1) e 2, 1, 4) construímos os vetores u 0, 1, 1) 1, 0, 1) 1, 1, 2) v 0, 1, 1) 2, 1, 4) 2, 2, 3). Desta forma, o vetor normal do plano que contém os vetores u e v é dado por n i j 4k. Como queremos a equação do plano que contém a reta e é ortogonal ao plano formado pelos vetores u e v, então podemos encontrar o vetor normal do plano desejado fazendo o produto vetorial do vetor n com o vetor direção da reta d 2, 1, 4). Logo, Portanto, a equação do plano procurado é m i + 20j + 9k. 8x π) + 20y + 3) + 9z ln 2) Os vetores projeção e projeção ortogonal são dados por proj ) b orth b ) b. Fazendo o produto escalar entre eles, temos [ ) ] [ ) ] b ) b ) 0. 4 ) Portanto, os vetores são ortogonais. 3. Fazendo z t, podemos encontrar uma equação da reta de interseção entre os planos x + 4y 2z 2 e 3x + 2y 2z 3 resolvendo o sistema linear Assim, x + 4y 2 + 2t 3x + 2y 3 + 2t. xt) 1 [23 + 2t) 2 2t] t) 5 6

7 e yt) 1 [2 + 2t xt)] t 4 2t) t). 20 Portanto, uma equação paramétrica da reta é rt) t) i t) j + tk. 4. Temos que v 1 2, v 2 3 e v 1 v 2 5. Com isso, podemos calcular o ângulo entre os vetores v 1 e v 2 que é dado por Assim, temos que v 1 v 2 v 1 v 2 cos θ cos θ 5 6. v 3 proj v1 v 2 v 1 v 2 v Considerando que o vetor v 3 está na direção do vetor v 1, então o ângulo entre v 3 e v 2 é constante e igual a θ, assim temos De forma inteiramente análoga, temos que v 4 proj v2 v 3 v 3 v 2 v 2 v 3 v 2 cos θ v 2 v 3 cos θ Podemos ver assim que v 5 v 4 cos θ n1 v n [ / ) ] 6 7

8 Gabarito C) 1. Para encontrar o vetor normal do plano que passa pelos pontos 0, 3, 1), 3, 0, 1) e 2, 1, 4) construímos os vetores u 0, 3, 1) 3, 0, 1) 3, 3, 2) v 0, 3, 1) 2, 1, 4) 2, 2, 3). Desta forma, o vetor normal do plano que contém os vetores u e v é dado por n i + 5j 12k. Como queremos a equação do plano que contém a reta e é ortogonal ao plano formado pelos vetores u e v, então podemos encontrar o vetor normal do plano desejado fazendo o produto vetorial do vetor n com o vetor direção da reta d 2, 1, 4). Logo, Portanto, a equação do plano procurado é m i + 28j + 3k. 8x π) + 28y + e 2 ) + 3z 2) Os vetores projeção e projeção ortogonal são dados por proj ) b orth b ) b. Fazendo o produto escalar entre eles, temos [ ) ] [ ) ] b ) b ) 0. 4 ) Portanto, os vetores são ortogonais. 3. Fazendo z t, podemos encontrar uma equação da reta de interseção entre os planos 2x + 2y z 1 e x 3y + 2z 1 resolvendo o sistema linear Assim, 2x + 2y 1 + t x 3y 1 2t. yt) 1 [2 4t t] t 8

9 e xt) 3yt) 1 2t ) 4 t 1 2t t. Portanto, uma equação paramétrica da reta é rt) t)i t)j + tk. 4. Temos que v 1 2, v 2 2 e v 1 v 2 3. Com isso, podemos calcular o ângulo entre os vetores v 1 e v 2 que é dado por Assim, temos que v 1 v 2 v 1 v 2 cos θ cos θ 3 4. v 3 proj v1 v 2 v 1 v 2 v Considerando que o vetor v 3 está na direção do vetor v 1, então o ângulo entre v 3 e v 2 é constante e igual a θ, assim temos De forma inteiramente análoga, temos que v 4 proj v2 v 3 v 3 v 2 v 2 v 3 v 2 cos θ v 2 v 3 cos θ Podemos ver assim que v 5 v 4 cos θ v n [ n ) /4 16. ] 9