Curso de Geometria Analítica

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1 Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I. PONTO e PONTO: Sejam, no espaço, os pontos A=(x 1,y 1,z 1 ) e B=(x 2,y 2,z 2 ). Temos duas posições relativas a considerar: i. A B, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é B-A,será igual a zero e teremos então: B-A = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 = 0. ii. A B, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é B-A,será diferente de zero e teremos então: B-A = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 0. Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso de serem distintos, esta distância os identificará. Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua distância teremos B-A = (-2) 2 + (3) 2 +(-6) 2 = 49 = 7 0, portanto os pontos são distintos. II. PONTO e RETA: Sejam no espaço o ponto Q=(x 1,y 1,z 1 ) e a reta r:(x,y,z)=(x 0,y 0,z 0 )+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=v, o vetor da direção da reta e (x 0,y 0,z 0 ) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições relativas a considerar: i. Q r, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero. ii. Q r, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará. A distância entre um ponto Q =(x 1,y 1,z 1 ) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como segue: Q (Q A) V D Qr Distância entre Q e r D Qr = V A V Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:p=a+tv, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos V = 3 e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos : (2, 3, 6) (1, -1, 1) (3, 4, 1) 26 Distância entre Q e r D Qr = = = = 26 / 3 u.c. (1,-1,1) 3 3 Concluimos assim que Q r, o ponto não está na reta, pois D Qr 0. Neste caso a distância entre Q e r é de 26 / 3 8,66 u.c (Unidades de Comprimento). III. PONTO e PLANO:

2 Sejam no espaço o ponto Q=(x 1,y 1,z 1 ) e o Plano π: ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições relativas a considerar: i. Q π, o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e π será igual a zero. ii. Q π, o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero. Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará. A distância entre um ponto Q =(x 1,y 1,z 1 ) e um Plano π: ax + by +cz + d = 0, pode ser determinada como segue: a x 1 +by 1 +cz 1 +d Distância entre Q e π : D Qπ = a 2 + b 2 + c 2 IV. RETA e RETA: Sejam no espaço as retas r 1 :(x,y,z)=(x 1,y 1,z 1 )+t(a 1,b 1,c 1 ) e r 2 :(x,y,z)=( x 2,y 2,z 2 )+t(a 2,b 2,c 2 ). Sendo (a 1,b 1,c 1 )=V 1 e (x 1,y 1,z 1 ) = A 1, (a 2,b 2,c 2 )=V 2 e (x 2,y 2,z 2 ) = A 2, os vetores da direção e os pontos conhecidos das retas r 1 e r 2 respectivamente, temos quatro posições relativas a considerar: i. r 1 r 2 : r 1 coincide com r 2, isto é as retas são coincidentes. Neste caso teremos V 1 e V 2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre r 1 e r 2 igual a zero ( D r1r2 = 0). ii. iii. iv. r 1 r 2 : r 1 é paralela à r 2, isto é as retas são paralelas. Neste caso teremos V 1 e V 2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r 1 e r 2 diferente de zero (D r1r2 0). r 1 r 2 : r 1 intercepta r 2, isto é as retas são concorrentes. Neste caso teremos V 1 e V 2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a distância entre r 1 e r 2 igual a zero ( D r1r2 = 0). r 1 ℵ r 2 : r 1 não é paralela nem intercepta r 2, isto é as retas são reversas. Neste caso teremos V 1 e V 2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a distância entre r 1 e r 2 diferente de zero (D r1r2 0). Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como segue: a) As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r 1 ) até a outra (r 2 ), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será: (A 2 A 1 ) V 1 Distância entre r 1 e r 2: D r1r2 = V 1

3 b) As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A 2 A 1 ) na direção do vetor V 1 V 2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será: (A 2 A 1 ) X (V 1 V 2 ) Distância entre r 1 e r 2: D r1r2 = (V 1 V 2 ) Observamos que: 1. Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo ϕ formado pelas direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido, será: V 1 x V 2 ϕ = arco cos V 1 V 2 2. Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é: x-x 0 y-y 0 z-z 0 = = a b c V. RETA e PLANO: Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x 1,y 1,z 1 )+t(a 1,b 1,c 1 ) e o Plano π: ax + by +cz + d = 0. Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano, V=(a 1,b 1,c 1 ), o vetor da direção da reta e A=(x 0,y 0,z 0 ) um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar: i. r π, a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e π será igual a zero e os vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0. ii. r π, a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar: a) r // π, a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância entre r e π será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à π, isto é: Distância entre r e π : a x 1 +by 1 +cz 1 +d D rπ = a 2 + b 2 + c 2 b) r π, a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V 0, isto é, o produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e π será igual a zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção P= r π, entre o plano e a reta.

4 Determinação do ângulo ϕ de incidência da reta no plano: w V V x W θ ϕ ϕ= 90 o - θ, sendo θ = arco cos A P V W r Para determinar o ponto de intersecção P= r π, entre o plano e a reta, determinamos a solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é: x-x 1 y-y 1 z-z 1 = = e ax + by + cz + d =0 a 1 b 1 c 1 VI. PLANO e PLANO: Sejam no espaço os Planos π 1 : a 1 x + b 1 y +c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y +c 2 z + d 2 = 0 Sendo W 1 =(a 1,b 1,c 1 ) o vetor normal do plano π 1 e W 2 =(a 2,b 2,c 2 ), o vetor normal do plano π 2. Temos três posições relativas a considerar: i. π 1 π 2 : π 1 coincide com π 2, isto é os planos são coincidentes. Neste caso teremos W 1 e W 2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre π 1 e π 2 igual a zero ( D π1π2 = 0). ii. π 1 π 2 : π 1 é paralela à π 2, isto é os planos são paralelos. Neste caso teremos W 1 e W 2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r e s diferente de zero (D π1π2 0). iii. π 1 π 2 : π 1 intercepta π 2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo uma reta r. Neste caso teremos W 1 e W 2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a distância entre π 1 e π 2 igual a zero (D π1π2 = 0) e um ângulo ϕ entre os dois planos. Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de π 1 á π 2 isto é: a 2 x 1 +b 2 y 1 +c 2 z 1 +d 2 Distância entre π 1 e π 2 : D π1π2 = a b c 2 2

5 Ângulo ϕ entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre π 1 á π 2 como segue: π 1 W 1 θ π 2 W 2 ϕ r W 1 x W 2 ϕ= 180 o - θ, sendo θ = arco cos W 1 W 2 Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de intersecção entre π 1 á π 2 de duas formas como segue: 1. Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a 1 x + b 1 y +c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y +c 2 z + d 2 = 0 dos planos π 1 e π 2, escrevendo em seguida a equação vetorial da reta: P = A + t V, sendo V = (B-A). 2. Determinando um ponto comum A, através das equações a 1 x + b 1 y +c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y +c 2 z + d 2 = 0 dos planos π 1 e π 2 e o vetor que tem a direção da reta através de V = W 1 W 2, obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V. Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.