CÁLCULO II. Lista Semanal 3-06/04/2018

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1 CÁLCULO II Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro Lista Semanal 3-06/04/2018 Questão 1. Um tetraedro é um sólido com quatro vértices P, Q, R e S e quatro faces triangulares e seu volume é um terço da distância de um vértice à face oposta vezes a área da face. (a) Determine uma fórmula para o volume do tetraedro em termos das coordenadas de P, Q, R e S. Sejam os vetores P Q, P R e P S. Considerando o triângulo P QR a face da qual se calculará a área e S o vértice oposto em relação ao qual se calculará a altura, tem-se que: A área da face triangular é calculada pela norma do produto misto entre os vetores Ab = P Q P R 2. P Q e P R, assim, A altura h é dada pelo módulo da projeção do vetor P S sobre o vetor normal da face, ou seja, o vetor P Q P R, logo, h = P S ( P Q P R). P Q P R Utilizando o modo de calcular o volume do tetraedro anteriormente dita, é possível encontrar a fórmula para o seu cálculo, dados os seus vértices, assim: V = Ab.h 3 = P Q P R 2. P S ( P Q P R) P Q P R. 1 3 = P S ( P Q P R) 6 (b) Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são P = (1, 2, 1), Q = (7, 4, 3), R = (4, 6, 2) e D = (3, 3, 3). De acordo com a fórmula anterior, precisamos denir primeiramente os vetores, assim: P D = (2, 1, 2), P Q = (6, 2, 2) e P R = (3, 4, 1), assim, o volume é: Como P D ( P Q P R) = V = P D ( P Q P R) 6 = 2.( 6) = 24, Logo, V = 24 6 = 4 u.v. 1

2 Questão 2. Nos itens a seguir, faça o que se pede. (a) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, 2, 1) e que seja perpendicular às direções dos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, 2, 1). Seja r a reta que possui todas as características citadas. Seja n um vetor perpendicular aos vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, 2, 1), de forma que n é dado por: i j k n = u v = = i j k = 3i 3k Desse modo, n = (3, 0, 3). Como a reta é perpendicular às direções dos vetores u e v, ela deverá ser paralela à n, assim, n poderá ser usado como vetor diretor da reta r. Sendo OP um vetor posição que liga a origem à um ponto arbitrário da reta e OP0 um vetor que liga a origem à um ponto especíco da reta, tem-se que a equação vetorial da reta é da forma: OP = OP 0 + nt Com t R. Assim, OP = (x, y, z), OP0 = (1, 2, 1), n = (3, 0, 3), a equação vetorial da reta r é: r : (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(3, 0, 3) (b) Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2. Rescrevendo a equação 3x + 2y = 2 como (x 2 3 ) 2 = y 3, tem-se o vetor diretor da reta v = (3, 2). Desse modo, o vetor v é um vetor que possui a mesma direção da reta, ou seja, é paralelo à ela. (c) Determine a equação de do plano que passa pelo ponto (2, 1, 1) e que seja perpendicular ao vetor u = ( 2, 1, 2). um vetor genérico que esteja contido no plano cujo ponto inicial é P 0 (2, 1, 1) e o ponto nal é P (x, y, z) é P 0 P = (x 2, y 1, z + 1). Como o vetor u = ( 2, 1, 2) é normal ao plano, tem-se que tal vetor é normal à qualquer vetor contido no plano, assim: P 0 P u = (x 2, y 1, z + 1) ( 2, 1, 2) = 0 Logo, a equação do plano é: 2x + y + 2z = 5 Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 2

3 Questão 3. Use vetores para mostrar que: (a) as diagonais de um losango são perpendiculares. Seja um losango formado pelos vetores u e v, de modo que as diagonais do losango podem ser escritas como uma combinação linear dos vetores u e v, de forma que, D = u + v e d = u v, com D e d as diagonais maior e menor, respectivamente. Segua uma imagem para o auxílio da visualização: Como o losango é um quadrilátero que possui os lados iguais, tem-se que v = u Para vericar se as diagonais são perpendiculares, segue: D d = ( v + u) ( u v) = u 2 v 2 + v u u v Como v = u, tem-se que v 2 u 2 = 0, logo, D d = 0, assim, as diagonais do losango são perpendiculares. (b) um paralelogramo é um retângulo se e somente suas diagonais possuem o mesmo comprimento. De forma análoga a anterior, seja um paralelogramo formado pelos vetores u e v. Como o a equivalência é dupla, teremos que provar a ida e a volta da proposição. Assim, para quando a hipótese é o tamanho das diagonais serem iguais, tem-se que, como o tamanho das suas diagonais são dadas por D 1 = u + v e D 2 = v u. Assim, o tamanho de ambas as diagonais é: D 1 = u 2 + v u v e D 2 = u 2 + v 2 2 u v. Usando a hipótese de que os lados tem o mesmo tamanho, tem-se: D 1 = D 2 u 2 + v u v = u 2 + v 2 2 u v 4 u v = 0 Assim, se as diagonais do paralelogramo possuirem o mesmo comprimento, u v = 0, ou seja, os lados adjacentes são perpendiculares, assim, o paralelogramo é um retângulo. Para provar a volta da proposição, usa-se como hipótese o paralelogramo ser um retângulo, ou seja, que u v = 0, logo: Dada que u v = 0, isso implica que D 1 = u 2 + v 2 e D 2 = u 2 + v 2, ou seja, que D 1 = D 2, logo, quando o paralelogramo é um retângulo isso implica que as diagonais são iguais. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 3

4 Questão 4. Faça a correspondência entre as equações paramétricas e os grácos. Justique sua escolha. (a) F (t) = (cos t, sin t, bt), t 0 b > 0. Note que a curva formada somente pelas duas primeiras coordenadas,(x,y), da equação é uma circunferência no plano xy. Dessa forma, a trajetória descrita é a de uma circunferência no plano xy (caso se faça a projeção dessa curva no plano xy) enquanto a sua coordenada z aumenta com o aumento de t. É um movimento helicoidal, análogo ao movimento de espiral. Além disso, é possível vericar que, como t 0, a trajetória está restrita aos primeiros 4 octantes. A gura que aprensenta esse movimento é a gura C. (b) F (t) = (t, t, t) t 0. A curva evidenciada é uma reta que passa pela origem e só possui coordenadas não negativas, pois a curva pode ser escrita do modo F (t) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1), assim, é mais fácil perceber que tal curva é uma reta que passa pela origem e seu vetor diretor é v = (1, 1, 1). Além disso, como t 0, a trajetória está restrita ao primeiro octante. A gura que apresenta tais característica é a gura A. (c) F (t) = (cos 2 t, sen 2 t, t + 1) Dado as coordenadas (x, y) = (cos 2 t, sen 2 t) tem-se que x 2 + y 2 = cos 4 t + sen 4 t = (cos 2 t + sen 2 t) 2 2 cos 2 t sen 2 t = 1 sen 2 2t Dessa forma, a trajetória descrita é a de um movimento periódico cuja distância em relação a origem varia da forma x 2 + y 2 = 1 sen 2 (2t), assim,a distância mínima é 0 a máxima é 1 (quando se faz a projeção do plano xy) e a coordenada z aumenta com o aumento de t. Além disso, como as coordenadas x e y da curva nunca são negativas, a trajetória está restrita ao primeiro e oitavo octantes. A curva que apresenta tais características é a curva da gura D. (d) F (t) = (t, t, t 2 ) Sabendo que a curva que parametriza a parábola y = x 2 é a curva cujas coordenadas x e y são da forma (x, y) = (t, t 2 ), tem-se que a trajetória descrita é a de uma parábola, pois as coordenadas x e y variam linearmente e a coordenada z varia de forma quadrática. Além disso, como as coordenadas x e y apresentam o mesmo sinal e a coordenada z é sempre não negativa, a trajetória está restrita ao primeiro e terceiro octantes. A gura que apresenta tais características é a gura B. A) Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 4

5 B) C) D) Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 5

6 Questão 5. Dada a curva r(t) = (1 + cos t)i + (2 + sen t)j e t = π/6. (a) Faça o esboço o gráco da curva plana, com o vetor posição e o vetor tangente para o valor de t dado. (b) Encontre r (t). Como a derivada de uma curva, é dada pela derivada de cada uma de suas funções coordenadas, tem-se: r (t) = (1 + cos t) i + (2 + sen t) j = ( sen t )i + (cos t )j Nota: O vetor tangente em t = π/6, é encontrado substituindo tal ponto em r (t), assim:. ( r π ) = i + 2 j Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 6