Aula 18. Método Multiplicadores Lagrange (continuação)

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1 Aula 18 Método Multiplicadores Lagrange (continuação) Na aula anterior introduzimos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve para maximizar/minimizar uma função restrita a um domínio do tipo fronteira, e demos um exemplo Nesta aula continuaremos dando exemplos de aplicação deste método Exemplo 1: Um fabricante de embalagens de leite (em forma de caixas retangulares) deseja fabricar as embalagens de modo a maximizar o volume do seu conteúdo No entanto, ele deseja fixar o custo de cada embalagem em reais, sendo que o custo das tampas superior e inferior é 4 reais por unidade de área e o custo das faces laterais é 3 reais por unidade de área Calcule as dimensões e o volume das embalagens a serem fabricadas Sejam x, y, z as dimensões de uma embalagem, como ilustrado na figura ao lado O volume de uma tal embalagem é V = xyz O custo de fabricar a tampa superior/inferior de uma tal embalagem é 4xy O custo de fabricar a face lateral da frente/trás de uma tal embalagem é 3xz O custo de fabricar a face lateral da direita/esquerda de uma tal embalagem é 3yz Portanto, o custo de fabricar uma tal embalagem é C = 8xy +6xz +6yz O nosso problema pode então ser formulado: ou Maximizar : V = xyz Restrição : C = 8xy + 6xz + 6yz = Maximizar : V = xyz Restrição : C = 4xy + 3xz + 3yz = 1 Pela natureza do problema, existe solução Vamos resolvê-lo usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange (note que a restrição já está na forma para aplicar este método): V (x, y, z) = λ C(x, y, z) C(x, y, z) = 1 yz = λ(4y + 3z) (1) xz = λ(4x + 3z) () xy = λ(3x + 3y) (3) 4xy + 3xz + 3yz = 1 (4) Salientamos que, por se tratarem de sistemas não-lineares, cada caso é um caso, não há um conjunto de técnicas que permitam resolver todos estes sistemas Neste caso, funciona bem a eliminação do parâmetro λ Como, neste caso, x, y, z > 0, todas as quantidades envolvidas no sistema são positivas, então uma 1

2 maneira simples de eliminar o parâmetro λ é dividir as equações do sistema: (1) () : y 4y + 3z = x 4x + 3z 4xy + 3yz = 4xy + 3xz y = x () (3) : z 4x + 3z = y 3x + 3y 3xz + 3yz = 4xy + 3yz z = 4 3 y z = 4 3 x Botando esta informação na equação (4) obtemos e portanto 4x + 4x + 4x = 1 x = 1 3, y = x = 1 3, z = 4 3 x = 3 3, que são as dimenões da embalagens a serem fabricadas O volume de uma tal embalagem é V = xyz = Exemplo : Calcule, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de f(x, y, z) = x + y + z no domínio x + y + z = 1 Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange (note que o domínio em questão já é do tipo fronteira, não tem interior, caso contrário teríamos de começar por determinar os pontos críticos de f no interior do domínio) Seja g(x, y, z) = x + y + z Note que g(x, y, z) 0 em todos os pontos de S : g(x, y, z) = 1 Além disso, S é um subconjunto fechado e limitado de R 3, e f é contínua, logo, pelo teorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos em S, e os pontos onde eles ocorrem têm, necessariamente, de ser soluções do sistema de Lagrange: f(x, y, z) = λ g(x, y, z) g(x, y, z) = 1 De (1) tiramos que x = 0 ou λ = Se x = 0 então De () tiramos que y = 0 ou λ = 1 4x = λx (1) y = λy 1 = λz x + y + z = 1 y = λy () 1 = λz (3) y + z = 1 (4) Se y = 0 então de (4) tiramos z = ±1 Logo, obtemos os pontos (0, 0, ±1) e f(0, 0, ±1) = ±1 Se λ = 1 então z = 1 y = 1 y = ± 3

3 Logo obtemos os pontos (0, ± 3, 1 ) e f(0, ± 3, 1 ) = 5 4 Se λ = então do sistema original tiramos que y = 4y y = 0 1 = 4z z = 1 4 x + y + z = 1 x = 1 x = ± 15 4 Logo obtemos os pontos (± 15 4, 0, 1 4 ) e f(± 15 4, 0, 1 4 ) = 17 8 Portanto, o máximo absoluto de f em S é 17 8, e o mínimo absoluto de f em S é -1 Exemplo 3: Considere o plano P dado pela equação ax + by + cz = d, onde a, b, c, d são constantes reais e o vetor (a, b, c) é não-nulo Seja (x 0, y 0, z 0 ) um ponto fixado de R 3 (não necessariamente pertencente ao plano) Determine o ponto do plano P à distância mínima do ponto (x 0, y 0, z 0 ), e o valor desta distância mínima É claro que existe um único ponto do plano à distância mínima do ponto (x 0, y 0, z 0 ) Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para calcular este ponto Pretendemos minimizar a distância de um ponto (x, y, z) P ao ponto (x 0, y 0, z 0 ): D = (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) Isto é equivalente a minimizar D, o que torna as contas mais simples Resumidamente: Minimizar : D(x, y, z) = (x x0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) Restrição : ax + by + cz = d }} g(x,y,z) Note que g(x, y, z) = (a, b, c) 0 Usando multiplicadores de Lagrange, (x x 0 ) = λa x = x 0 + λ D(x, y, z) = λ g(x, y, z) (y y 0 ) = λb a (1) y = y 0 + λ b () g(x, y, z) = d (z z 0 ) = λc z = z 0 + λ c (3) ax + by + cz = d ax + by + cz = d (4) Botando (1), () e (3) em (4), obtemos ax 0 + by 0 + cz 0 = d λ (a + b + c ) λ = d ax 0 by 0 cz 0 a + b + c Botando este valor de λ em (1), () e (3) obtemos o ponto desejado: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + d ax 0 by 0 cz 0 a + b + c (a, b, c), e a distância mínima correspondente D(x, y, z) = ax 0 + by 0 + cz 0 d a + b + c 3

4 Multiplicadores de Lagrange com restrições Suponha que queremos maximizar/minimizar uma função diferencíavel f(x, y, z) num domínio C dado pelas duas restrições g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c, onde g e h também são funções diferenciáveis Note que o domínio C é uma curva em R 3 dada pela interseção das superfícies de nível S 1 : g(x, y, z) = k e S : h(x, y, z) = c Resumidamente, queremos resolver o seguinte problema: Max/Min : f(x, y, z) Restrições : g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c (curva C em R 3 ) Assumindo que tal máximo/mínimo existe (por exemplo, se C fôr um conjunto limitado e fechado), como calculá-los? Como anteriormente, f(x, y, z) deverá ser um vetor normal a C Sabemos que g(x, y, z), se não-nulo, é um vetor normal à superfície de nível S 1 : g(x, y, z) = k, logo, como C S 1, g(x, y, z) também é normal a C Do mesmo modo, h(x, y, z), se nãonulo, é um vetor normal à superfície de nível S : h(x, y, z) = c, logo, como C S, h(x, y, z) também é normal a C Se os dois vetores g(x, y, z) e h(x, y, z) forem linearmente independentes, que é equivalente a dizer que g(x, y, z) h(x, y, z) 0, então estes vetores geram o plano perpendicular a C, no ponto (x, y, z) (note que C é uma curva em R 3, logo o que é tangente é uma reta, e o que é perpendicular é um plano) Deste modo, f(x, y, z) perpendicular a C significa que f(x, y, z) pertence ao plano perpendicular a C que é o plano gerado pelos vetores g(x, y, z) e h(x, y, z): f(x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) Mult Lagrange Restrições g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c se g(x, y, z) h(x, y, z) 0 Neste sistema λ e µ são chamados de multiplicadores de Lagrange, e são para serem considerados incógnitas Exemplo 4: Calcule, se existir, o máximo da função f(x, y, z) = x + y + z na curva C obtida pela interseção das superfícies z = x + y e x + z = 1 Neste caso daria para parametrizar a curva C e reduzir o problema a 1 varíavel (veja Exercício ) Em geral, parametrizar curvas dadas pela interseção de superfícies é um problema difícil O método de multiplicadores de Lagrange permite que não tenhamos de parametrizar C (isto é, não necessitamos de resolver as equações que dão C) Primeiro observamos que C é um conjunto limitado e fechado (e f é contínua), logo, pelo teorema de Weierstrass, existem o máximo e mínimo de f em C Sejam g(x, y, z) = x + y z e h(x, y, z) = x + z Deixamos para o leitor verificar que, em C, os vetores g(x, y, z) e h(x, y, z) são linearmente 4

5 independentes Então deveremos resolver: x = λ g x + µ h x f(x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) y = λ g y + µ h y g(x, y, z) = 0 z = λ g z + µ h z h(x, y, z) = 1 g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 1 1 = λx + µ 1 = λx λ x = 1 1 = λy (em particular λ 0) y = 1 λ 1 = λ + µ µ = 1 + λ z = x + y z = x + y x + z = 1 x + z = 1 z = = 3 x = 1 z = 3 z = x + y y = 5 4 y = ± 5 Obtemos os pontos ( 1, ± 5, 3 ) (um é o ponto de mínimo, o outro é o ponto de máximo) Como f( 1, 5, 3 ) = 5+ e f( 1, 5, 3 ) = 5, o maior valor de f em C é 5+ Exercício 1: (Exercício tirado do texto do livro da Diomara et al) Encontre as dimensões da caixa retangular de maior volume dentro do elipsóide x 9 + y 4 + z = 1, cujas arestas sejam paralelas aos eixos coordenados Sugestão: Use multiplicadores de Lagrange, e use a técnica de eliminação do parâmetro λ, assim como no Exemplo 1 Exercício : (a) Parametrize a curva C dada no Exemplo 4 (b) Use a parametrização de C para encontrar o maior valor de f(x, y, z) = x + y + z restrita a C (Compare com o resultado encontrado no Exemplo 4) 5