CAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS

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1 CAPÍTULO 16 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS 161 Introdução Esta aula está baseada no Capítulo 16 do segundo volume do livro de Cálculo do Guidorii Nesta aula, estamos interessados em encontrar os máimos e mínimos de uma função f : Domf) R n R em um conjunto A Domf) Quando estudamos funções da reta na reta, utiliando o Teorema de Weierstrass, temos que, se f é uma função contínua, então f atinge um máimo e um mínimo no intervalo fechado e limitado [a, b] Isto é, eistem c, d [a, b] tais que fc) f) fd) para todo [a, b] O mesmo resultado vale para funções reais de várias variáveis Um intervalo fechado e limitado na reta é um conjunto compacto na reta Em R n, um conjunto que é fechado e limitado, é um conjunto compacto em R n Lembre-se que um conjunto A R n é dito limitado, se eiste uma bola aberta B 0, com centro na origem, tal que A B 0, e que um conjunto A R n é dito fechado, se seu complementar X R n X A} é aberto, o que equivale a dier, que A R n é dito fechado se ele contém sua fronteira, A Vamos então enunciar o Teorema de Weierstrass em R n TEOREMA 1611: Teorema de Weierstrass) Se f : Domf) R n R é uma função contínua no compacto K Domf), então f atinge um máimo e um mínimo em K Isto é, eistem C, D K tais que para todo X K fc) fx) fd) Desta forma, se f : Domf) R n R é uma função contínua no compacto K Domf), sabemos que f possui um valor máimo e um valor mínimo neste conjunto Sabemos também, que pontos no interior de um conjunto só podem ser 80

2 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise etremantes locais se forem pontos críticos de f ou se f não for diferenciável nestes pontos Desta forma, nosso trabalho será dividido em três etapas: - primeiro encontraremos os pontos no interior do conjunto K que são pontos críticos de f ou onde f não é diferenciável; - depois nos concentraremos em encontrar os pontos de máimo e mínimo na fronteira de K por inspeção, ou por conjuntos de nível, ou por parametriação da fronteira e redução do problema a um problema na reta, ou ainda por multiplicadores de Lagrange Seção 163)) e; - finalmente, vamos comparar os valores da função nos pontos críticos e nos pontos onde f não é diferenciável obtidos no interior de K, com os valores da função nos pontos de máimo e mínimo que encontramos na fronteira e assim, escolher, como máimo, o maior valor encontrado e, como mínimo, o menor valor encontrado Vamos passar aos Eemplos 16 Eemplos Vamos concentrar nossos eemplos apenas em funções reais de duas variáveis, porque foi apenas em duas dimensões que fornecemos condições suficientes para a determinação de etremantes locais em conjuntos abertos Eemplo 161: Determine os etremantes de f, ) = no conjunto K dado por K =, ) R 0 e } Eemplo 16: Determine os etremantes de f, ) = no conjunto K dado por K =, ) R + 1}

3 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Eemplo 163: Determine os etremantes de f, ) = + no conjunto K dado por K =, ) R 0, 0, + 4 e 3 + 6} 163 Método dos Multiplicadores de Lagrange para Determinação de Candidatos a Etremantes Condicionados Nesta seção, vamos estudar os máimos e mínimos de funções de duas variáveis em curvas e de funções de três variáveis em superfícies e em curvas Isto é, vamos estudar os máimos e mínimos de funções de duas ou três variáveis sobre conjuntos do tipo, ) A R g, ) = 0},,, ) A R 3 g,, ) = 0} e,, ) A R 3 g,, ) = 0 e h,, ) = 0}, onde A é um conjunto aberto em R ou R 3, dependendo do caso Vamos começar com o teorema que fornece uma condição necessária para que um ponto seja um ponto de máimo ou um ponto de mínimo de uma função f de duas variáveis no conjunto, ) A R g, ) = 0}, onde A é um conjunto aberto em R TEOREMA 1631: Seja f : Domf) R R uma função diferenciável no aberto A Domf) Seja g uma função de classe C 1 em A e seja B =, )

4 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise A g, ) = 0} Suponha que g, ) 0 para todo, ) B Se 0, 0 ) B é um ponto de máimo ou de mínimo de f em B, então eiste λ real tal que f 0, 0 ) = λ g 0, 0 ) Desta forma, os candidatos a etremantes de f em B, são os pontos, ) B que satisfaem o sistema abaio para algum λ real f, ) = λ g, ) g, ) = 0 Eemplo 1631: Determine os etremantes de f, ) = 3 + sujeita à restrição + = 1 Eemplo 163: Estude, com respeito a máimos e mínimos, a função f, ) = + 3 sujeita à restrição 3 = 0 Eemplo 1633: Determine a reta tangente à curva + = 1, > 0 e > 0, que 4 forma com os eios coordenados um triângulo de área mínima

5 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Vamos agora passar ao teorema que fornece uma condição necessária para que um ponto seja um ponto de máimo ou um ponto de mínimo da função f de três variáveis no conjunto B =,, ) A R 3 g,, ) = 0}, onde A é um conjunto aberto em R 3 TEOREMA 163: Seja f : Domf) R 3 R uma função diferenciável no aberto A Domf) Seja g uma função de classe C 1 em A e seja B =,, ) A g,, ) = 0} Suponha que g,, ) 0 para todo,, ) B Se 0, 0, 0 ) B é um ponto de máimo ou de mínimo de f em B, então eiste λ real tal que f 0, 0, 0 ) = λ g 0, 0, 0 ) Desta forma, os candidatos a etremantes de f em B, são os pontos,, ) B que satisfaem o sistema abaio para algum λ real f,, ) = λ g,, ) g,, ) = 0 Eemplo 1634: Determine o ponto do elipsóide = 1, cuja soma das coordenadas seja máima Solução: A restrição do ponto pertencer ao elipsóide, traduida pela condição do ponto satisfaer a equação = 1, fornece a função g, que é dada por g,, ) = Observe que g é polinomial, portanto de classe C em R 3, e que seu gradiente é igual a g,, ) =, 4, 6), o qual não se anula quando o ponto,, ) pertence ao elipsóide Além disso, como a função f a ser maimiada é a soma das coordenadas, temos que f,, ) = + + f também é polinomial, portanto de classe C em R 3 em particular contínua), e que seu gradiente é igual a f,, ) = 1, 1, 1) Como f é contínua e B =,, ) R = 0} é um conjunto fechado e limitado, temos, pelo Teorema de Weierstrass, que f atinge um máimo e um mínimo em B Desta forma, utiliando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos que os etremantes devem tornar o sistema abaio compatível f,, ) = λ g,, ) g,, ) = 0 1, 1, 1) = λ, 4, 6) = 0

6 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Desta forma, temos que λ 0, de modo que podemos escrever, e em função de λ e substituir na equação = 0 Segue portanto, que = 1 λ, = 1 4λ e = 1, de modo que 6λ = 0 ) ) ) = 0 λ = ± λ 4λ 6λ Concluímos assim que os candidatos a etremante são os pontos 1 X 1 = 11, , 1 ) e X = , , 1 6 ) 11 Como sabemos que f atinge um máimo e um mínimo em B pois B é compacto, ie B é fechado e limitado), substituindo X 1 e X em f, temos que X 1 é o ponto de máimo e X é o ponto de mínimo Portanto, o ponto procurado é o ponto X 1 = 1 11, , ) Vamos agora passar ao teorema que fornece uma condição necessária para que um ponto seja um ponto de máimo ou um ponto de mínimo da função f de três variáveis no conjunto B =,, ) A R 3 g,, ) = 0 e h,, ) = 0}, onde A é um conjunto aberto em R 3 TEOREMA 1633: Seja f : Domf) R 3 R uma função diferenciável no aberto A Domf) Sejam g e h funções de classe C 1 em A e seja B =,, ) A g,, ) = 0 e h,, ) = 0} Suponha que g,, ) h,, ) 0 para todo,, ) B Se 0, 0, 0 ) B é máimo ou mínimo de f em B, então eistem λ 1 e λ reais tal que f 0, 0, 0 ) = λ 1 g 0, 0, 0 ) + λ h 0, 0, 0 ) Desta forma, os candidatos a etremantes de f em B, são os pontos,, ) B que satisfaem o sistema abaio para dois reais λ 1 e λ f,, ) = λ 1 g,, ) + λ h,, ) g,, ) = 0 h,, ) = 0

7 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise Eemplo 1635: Determine os pontos da curva dada pela interseção do elipsóide = 4 com o plano + + = 1, que estão mais afastados da origem Solução: A restrição do ponto pertencer ao elipsóide, traduida pela condição do ponto satisfaer a equação = 4, fornece a função g, que é dada por g,, ) = Da mesma forma, a restrição do ponto pertencer ao plano, traduida pela condição do ponto satisfaer a equação + + = 1, fornece a função h, que é dada por h,, ) = Observe que g e h são polinomiais, portanto de classe C em R 3, e que seus gradientes são dados por g,, ) =, 8, ) e h,, ) = 1, 1, 1) Além disso, g h),, ) = i j k = 8,, 8 ), que não se anula quando o ponto,, ) pertence à interseção do elipsóide com o plano Além disso, a função a ser maimiada é a distância do ponto,, ) à origem, que é dada por,, ), 0, 0, 0)) = + + Porém, como maimiar d equivale a maimiar d, vamos trabalhar com a função f como sendo d, ie f,, ) = + + f também é polinomial, portanto de classe C em R 3 em particular contínua), e que seu gradiente é igual a f =,, ) Como f é contínua e B =,, ) R = 0 e = 0} é um conjunto fechado e limitado, temos, pelo Teorema de Weierstrass, que f atinge um máimo e um mínimo em B Desta forma, utiliando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos que os etremantes devem tornar o sistema abaio compatível f,, ) = λ g,, ) + µ g,, ) g,, ) = 0 h,, ) = 0 que equivale a = λ + µ = 8λ + µ = λ + µ = = 0 1 λ) = µ 1) 1 4λ) = µ ) 1 λ) = µ 3) = 0 4) = 0 5) Vamos começar supondo que λ 1 Desta forma, de 1) e 3) segue que = Substituindo que = em 4) e 5), obtemos que + 4 = 4 6) + = 1 )

8 Cálculo B - Notas de Aula em construção) - Prof a Denise De ), temos que = 1 Sendo assim, substituindo = 1 em 6), obtemos + 41 ) = = = 0 = 0 ou = Obtemos assim os pontos X 1 = 0, 1, 0) e X = 9, 9, 8 ) 9 Vamos supor agora que λ = 1 De 1) e 3), encontramos que µ = 0 Substituindo µ = 0 e λ = 1 em ), encontramos que = 0 Substituindo agora = 0 em 4) e 5), obtemos que + = 4 9) + = 1 10) De 10), temos que = 1 Sendo assim, substituindo = 1 em 9), obtemos + 1 ) = = 4 3 = 0 = 1 ± Obtemos assim os pontos X 3 =, 0, 1 ) 1 e X 4 =, 0, 1 + ) Concluímos assim que os candidatos a etremantes são os pontos X 1 = 0, 1 0), 8 X = 9 9, 1 8 ) X 3 =, 0, 1 ) 1 e X 4 =, 0, 1 + ) 9 Como sabemos que f atinge um máimo e um mínimo em B pois B é compacto, ie B é fechado e limitado), substituindo X 1, X X 3 e X 4 em f, temos que fx 1 ) = f0, 1 0) = 1, 8 fx ) = f 9 9, 1 8 ) = , fx 3 ) = f, 0, 1 ) = 4 e 1, 0, 1 + ) = 4 fx 4 ) = f Concluímos assim que X 3 =, 0, 1 ) 1 e X 4 =, 0, 1 + ) são os pontos de máimo, o que significa que são os pontos mais afastados da origem e que e X 1 = 0, 1 0) é o ponto de mínimo, o que significa que é o ponto mais próimo da, 0, 1 ) e origem Portanto, os pontos procurados são os pontos X 3 = 1 X 4 =, 0, 1 + )