3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0."

Transcrição

1 Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera S : x + + x = 0.. Achar as equações das esferas definidas pelas seguintes condições: (a) O segmento que une A(6,, 5) e B( 4, 0, 7) é um diâmetro. () Seu centro é C(,, ) e passa pelo ponto P(, 4, ). (c) Seu centro é C(6,, 4) sendo tangente ao eixo dos x.. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4,, ) e tangente ao plano π : x + 7 = Achar a equação da superfície esférica que passa pelo ponto A (, 6, ) e é tangente ao plano π : 4x = 0 no ponto T (7,, 8). 5. Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera S : x + + 6x = 0 com o plano π : x + + = Achar a equação da esfera que contém os dois círculos λ : { x + = 5 = e λ : { x + = 6 =. 7. Determine o diâmetro da superfície esférica S : x x = 0 que é perpendicular ao plano x = Achar a equação da esfera tangente aos planos π : x 8 = 0 e π : x + 5 = 0 e que tem centro na reta r : x =, = Otenha as equações dos planos contendo a reta r : x = 0, + = 0 e tangentes à esfera S : x + + x + 4 = (a) Verifique se a reta r : x = = é tangente a superfície esférica S : (x ) + + ( ) = 8, se for o caso, determine o ponto de tangência. () Calcule a para que r : x = = a seja exterior a S : x + + x+ = 0.. Achar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos dados F (0, 0, 4) e F (0, 0, 4) seja a constante 0.. Achar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos dados F (0, 5, 0) e F (0, 5, 0) seja a constante 6.

2 . Para cada uma das seguintes quádricas deduir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.em seguida, identificar e esoçar seus gráfico utiliando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados: (a) x x + = 5. () x x = 0. (c) 4x x = 0. (x ) (d) 6 (e) x + 4 = 0. (f) x + = =. (g) x =. (h) x + = 4. (i) x + 4 =. 4. Determinar as coordenadas do centro e discutir a naturea de cada uma das seguintes quádricas: (a) x + 4 8x = 0. () x 4 x 6 = 0. (c) 6 9x + 4 6x 64 4 = Discutir e representar graficamente as seguintes superfícies: (a) x + = 9. () = 4x.(c) = 4 x. 6. Identificar, esoçar e dier se é de revolução a quádrica de equação: a) x + = 0; ) x + = ; c) x 4 = 4; d) 9 = x ; e) x = 5; f) x + = ; g) x 4 = 0; h) x = + ; i) x = ; j) 4 = x ; k) 4x + 9 = Determinar a equação da superfície cilíndrica que tem como diretri a curva de equações reduidas C : = x, = 0 e cuja geratri é paralela à reta de equações reduidas r : x = +, =. 8. Achar a equação de um cilindro cuja diretri é dada pelas equações x = x, x++ = 0 e as geratries são perpendiculares ao plano da diretri. 9. Provar que a equação: x 44x 5x + 48x x + x + = 0 representa uma superfície cilíndrica, calculando os parâmetros diretores da geratri e a equação da diretri mais simples. 0. Otenha uma equação que descreva o conjunto Ω, reunião das retas paralelas ao vetor u = (,, ) que são tangentes à superfície esférica S : x + + = 0.. Achar a equação de um cone de vértice S(5, 0, 0) e cujas geratries são tangentes à esfera x + + = 9.. Otenha uma equação que descreva o conjunto Ω, reunião das retas que contém o ponto V = (4, 4, 0) e são tangentes à superfície esférica S : x + + x + = 0.

3 . Demonstrar que a equação = x define um cone de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esoço. 4. Determinar a equação de um cone cujo vértice coincide com a origem das coordenadas e cuja diretri é dada pelas equações x + = 0, + = Demonstrar que o hiperolóide de uma folha x + = pode ser otido pela rotação a c da hipérole x =, = 0 em redor do eixo O, seguida de uma compressão uniforme a c do espaço em relação ao plano Ox. 6. Achar a equação de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Designar o lugar geométrico. a) Γ : x =, = 0, em torno do eixo dos x. ) Γ : x = 4, = 0, em torno do eixo dos x. c) Γ : x = 0, = 0, em torno do eixo dos x. d) Γ : x + = a, = 0, a é constante, em torno do eixo dos. e) Γ : x + 4 = 6, = 0, em torno do eixo dos. 7. Seja H : x + = o hiperolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser a c escrita como ( x a + )( x c a ( = + c) )( ). e prove que: (a) para cada número real α, a solução do sistema { ( x + ( ) a c) = α + α ( x ) ( ) a c = descreve uma reta r α. () r α esta contida no hiperolóide, para todo α. (c) se P = (h, k, l) é um ponto de H e k, então P pertence a uma das retas r α. (d) H é uma superfície regrada. 8. (a) Sejam r α, s e s como no Exercício resolvido anterior. Mostre que nenhum ponto de s pertence a reunião das retas r α e que cada ponto de s, com exceção de (0,, 0), pertence a alguma delas. () Prove que o hiperolóide de uma folha H : x + = é uma superfície regrada, a c utiliando, no lugar das retas r α do Exercício resolvido anterior, as retas { ( x s + ) ( ) a c = β β β ( ) ( ) x = + a c (c) Prove que a quádrica H : x x + = 0 é uma superfície regrada. 9. Esoce e parametrie a curva C dada pela intersecção das superfícies aaixo e compreendida entre os pontos A e B indicados, nos seguintes casos: (a) x =, = 6 A = (0, 0, 0) e B = (,, 6) (Ver Figura (a)).

4 () = x, x + =, A = (0,, 0) e B = (0,, 0) (começando em A e terminando em B = A) (Ver Figura ()) x x (a) () Figura : Curvas dada pela interseção de superfícies x (a) () Figura : Curvas dada pela interseção de superfícies 0. A intersecção da esfera x + + = com o cilindro x +( ) = fornece a união de quatro curvas C, C, C e C 4, contidas nos 4 quadrantes do semi-espaço 0. Ache parametriações que descrevam cada uma dessas curvas. (Ver Figura (a)).. De uma parametriação para a curva representada pelas equações x = 0 x + 8 = 0 e situada no primeiro octante (Ver Figura ()).. Otenha, em cada caso, uma equação cartesiana e equações paramétricas para a superfície cilíndrica cuja diretri é a interseção das superfícies S e S e cujas geratries são paralelas à reta r. (a) S : x + =, S : x + = 0 e r : P = (,, ) + λ(,, ). () S : x x + = 0, S : = 0 e r : x + = =. (c) S : x =, S : x + = 0 e r : x = =. 4

5 . Otenha as equações cartesiana e paramétricas da superfície cônica de vértice V e diretri Γ = S S, nos seguintes casos: (a) V (0, 0, 0), S : x + = 0 e S : + = 0. () V (0, 0, ), S : x + x = 0 e S : = 0. (c) V (0, 0, 0), S : x = e S : =. 4. Otenha, em cada caso, uma equação cartesiana e as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva Γ = S S torno do eixo Ox. (a) S : = 0 e S : x + =. () S : = 0 e S : x + =. (c) S : = 0 e S : (x ) + ( ) =. 5. A que condições devem oedecer os números a, e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum eixo coordenados. Especifique o eixo de rotação (a) Elipsóide: x a + + c =. ()Hiperolóide de uma folha: x a + + c =. (c) Hiperolóide de duas folhas: - x a + (d) Paraolóide elíptico: = x a + c. c =. (e) Paraolóide hiperólico: x = + c. (f) Quádrica cilíndrica hiperólica: = x a c. (g) Quádrica cônica: x = c. 6. Localiar os pontos dados em coordenadas polares (a) (, 0 ). () (, 0 ). (c) (5, 70 ). (d) (, 0 ). (e) (, π ). 7. Determinar as distâncias compreendidas pelos pares de pontos seguintes: (a) (4, 45 ) e (8, 90 ). () ( 5, 0 ) e (4, 50 ). (c) (, 50 ) e (, 60 ). 8. Calcular a área de cada um dos triângulos, cujos vértices são os pares de pontos do exercício 6 e o pólo. 9. Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto (4, 0 ) e é perpendicular a OA. 40. Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto (, 0 ) e é paralela a OA. 4. Determinar a equação polar da reta que passa por (4, π ) e é perpendicular ao segmento que liga a origem a esse ponto. 4. Achar a equação polar da reta que passa pelo ponto (, 0 ) e forma um ângulo de π 4 rad com o eixo polar. 4. Achar a equação da circunferência: (a) com centro no pólo e raio 5. () com centro em (4, 0 ) e raio 5. (c) com centro em (, 0 ) e passa no pólo r = 6 cosθ. 44. Determinar o centro e o raio do círculo λ : r 4r cos ( θ π 4) = 0. 5

6 45. Em cada caso, apresente os intervalos de variação das coordenadas polares dos pontos situados na região hachurada. 46. Esoce as regiões nas quais a) 0 r e 0 θ π. ) 0 r e π θ π. c) r e π θ π. 47. Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas esféricas: (a) (0,, 60 ); () (0,, 45 ). 48. Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas cilíndricas: (a) (45,, ); () (0,, 4). 49. Calcular as coordenadas esféricas dos seguintes pontos de coordenadas cartesianas: (a) (, 4, 0); () (6,, ). 50. Calcular as coordenadas cilíndricas dos seguintes pontos de coordenadas cartesianas: (a) (, 4, 7); () (5,, 8). 5. Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas: a) ρ = 7; ) ϕ = 45 ; c) ρ cosϕ = Passar as seguintes equações de coordenadas cilíndricas para cartesianas: a) θ = 45 ) ρ = cosθ c) ρ =. 5. Passar as seguintes equações cartesianas, respectivamente, para coordenadas esféricas e cilíndricas: a) x + = 9; ) x + 9x = 0; c) x + + 9x = 6. 6

Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo

Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo Nos eercícios 1 ao 18 identique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações: 1. + 9 = 6. = 16. = 9.

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso: 5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u

Leia mais

Superfícies e Curvas no Espaço

Superfícies e Curvas no Espaço Superfícies e Curvas no Espaço Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de deembro de 2001 1 Quádricas Nesta

Leia mais

TURMAS:11.ºA/11.ºB. e é perpendicular à reta definida pela condição x 2 z 0.

TURMAS:11.ºA/11.ºB. e é perpendicular à reta definida pela condição x 2 z 0. FICHA DE TRABALHO N.º 3 (GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO) TURMAS:11.ºA/11.ºB 2017/2018 (JANEIRO DE 2018) No âmbito da Diferenciação Pedagógica (conjunto de exercícios com diferentes níveis de dificuldade:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Lista 5: Superfícies. (e) x = 4 tan(t) (f) x = (g) x = 1 4 csc(t) y = cosh(2t)

Lista 5: Superfícies. (e) x = 4 tan(t) (f) x = (g) x = 1 4 csc(t) y = cosh(2t) 1. Parametrize as seguintes curvas. + = 16 + 5 = 15 = 4 = 16 + 5 + 8 7 = 0 (f) + 4 + 1 + 6 = 0. Lista 5: Superfícies (g) = + (h) + = (i) + = 4 (j) + = 1 (k) 6 + 18 = 0 (l) r = sin(θ). Determine a equação

Leia mais

Vectores e Geometria Analítica

Vectores e Geometria Analítica Capítulo 1 Vectores e Geometria Analítica 1.1 Vectores em R 2 e R 3. Exercício 1.1.1 Determine um vector unitário que tenha a mesma direcção e sentido que o vector u e outro que que tenha sentido contrário

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula

Geometria Analítica II - Aula Geometria Analítica II - Aula 0 94 Aula Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano introduzimos anteriormente as coordenadas polares. No espaço

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática GAX1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Cônicas e Quádricas Prof.

Leia mais

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1 Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e

Leia mais

1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1

1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos (a) e (b) e cos θ nos casos (c) e (d): = z 3 e s : { 3x + y 5z = 0 x 2y + 3z = 1 14 a lista de exercícios - SMA0300 - Geometria Analítica Estágio PAE - Alex C. Rezende Medida angular, distância, mudança de coordenadas, cônicas e quádricas 1. Seja θ = ang (r, s). Calcule sen θ nos casos

Leia mais

(b) { (ρ, θ);1 ρ 2 e π θ } 3π. 5. Representar graficamente

(b) { (ρ, θ);1 ρ 2 e π θ } 3π. 5. Representar graficamente Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática isciplina : Geometria nalítica (GM003) ssunto: sistemas de coordenadas; vetores: operações com vetores, produto escalar, produto vetorial, produto

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a Lista de exercícios MAT 41 - Cálculo III - 01/II Coordenadas no espaço 1. Determinar o lugar geométrico

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 16 CONE E CILINDRO. Professor Haroldo Filho

MATEMÁTICA MÓDULO 16 CONE E CILINDRO. Professor Haroldo Filho MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho MÓDULO 16 CONE E CILINDRO 1. CILINDRO CIRCULAR Considere dois planos paralelos, α e β, seja R um círculo no plano α, seja s uma reta secante aos dois planos que não intersecta

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA3 - CÁLCULO B UNIDADE II - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualiada 13.1 Coordenadas Polares [1] Dados os pontos P 1 (3, 5π 3 ), P ( 3, 33 ),

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT CÁLCULO II-A. Última atualização:

INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT CÁLCULO II-A. Última atualização: INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 4 - CÁLCULO II-A Última atualização: --4 ) Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas: A) Interior

Leia mais

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que:

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: retas; planos; interseções de retas e planos; posições relativas entre retas e planos; distância

Leia mais

A GEOMETRIA DO GLOBO TERRESTRE

A GEOMETRIA DO GLOBO TERRESTRE Sumário A GEOMETRIA DO GLOBO TERRESTRE Grupo de Pesquisa em Matemática para o Ensino Médio GPMatEM Prof Luciana Martino: lulismartino@gmail.com Prof Marcos: profmarcosjose@gmail.com Prof Maria Helena:

Leia mais

BC Geometria Analítica. Lista 4

BC Geometria Analítica. Lista 4 BC0404 - Geometria Analítica Lista 4 Nos exercícios abaixo, deve-se entender que está fixado um sistema de coordenadas cartesianas (O, E) cuja base E = ( i, j, k) é ortonormal (e positiva, caso V esteja

Leia mais

Cálculo II - Superfícies no Espaço

Cálculo II - Superfícies no Espaço UFJF - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cálculo II - Superfícies no Espaço Prof. Wilhelm Passarella Freire Prof. Grigori Chapiro 1 Conteúdo 1 Introdução 4 2 Plano 6 2.1 Parametrização do plano...................................

Leia mais

Lista 5. Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo (O; i, j, k)

Lista 5. Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo (O; i, j, k) UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM045 - Geometria Analítica Prof. José Carlos Eidam Lista 5 Em toda a lista, as coordenadas referem-se a um sistema de coordenadas fixo

Leia mais

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma equação do segundo grau, nas variáveis, e, da forma: A + B + C + D + E + F + G + H + I + K = 0, que

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC. 1 a Avaliação escrita de Cálculo IV Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC. 1 a Avaliação escrita de Cálculo IV Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/2008 1 a Avaliação escrita de Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/008 1. Seja R a região do plano delimitada pelos gráficos de y = x, y = 3x 18 e y = 0. Se f é continua em R, exprima f ( x, y) da em termos

Leia mais

Geometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Considere dois pontos distintos

Leia mais

Exercícios de Geometria Analítica - Prof. Ademir

Exercícios de Geometria Analítica - Prof. Ademir Exercícios de Geometria nalítica - Prof. demir Vetores 1. onsidere o triângulo, onde = (1, 1, 1), = (2, 1, 0) e = (3, 2, 3). Verifique que este triângulo é retângulo, diga qual vértice contém o ângulo

Leia mais

Exercícios Resolvidos Variedades

Exercícios Resolvidos Variedades Instituto Superior Técnico Departamento de atemática Secção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Variedades Eercício 1 Considere o conjunto = {(,, ) R : + = 1 ; 0 < < 1}. ostre que é uma variedade,

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 11 O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: CADERNO I (60 minutos com calculadora) 1 Em R, a equação ( π) cos x = π : (A) admite a solução x = π ; (B)

Leia mais

Superfícies Quádricas

Superfícies Quádricas Superfícies Quádricas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Superfícies de Revolução São superfícies criadas pela rotação

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 7 178

Geometria Analítica II - Aula 7 178 Geometria Analítica II - Aula 7 178 Aula 8 Superfícies Regradas Dizemos que uma superfície S é regrada quando por todo ponto P pertencente a S passa pelo menos uma reta r P inteiramente contida em S. Fig.

Leia mais

Aula 4. Coordenadas polares. Definição 1. Observação 1

Aula 4. Coordenadas polares. Definição 1. Observação 1 Aula Coordenadas polares Nesta aula veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 5 108

Geometria Analítica II - Aula 5 108 Geometria Analítica II - Aula 5 108 IM-UFF Aula 6 Superfícies Cilíndricas Sejam γ uma curva contida num plano π do espaço e v 0 um vetor não-paralelo ao plano π. A superfície cilíndrica S de diretriz γ

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse

Leia mais

21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário

21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário 21 e 22 Superfícies uádricas Sumário 21.1 Introdução....................... 2 21.2 Elipsoide........................ 3 21.3 Hiperboloide de uma Folha.............. 4 21.4 Hiperboloide de duas folhas..............

Leia mais

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [janeiro 2015]

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [janeiro 2015] Proposta de Teste Intermédio [janeiro 015] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta. Escreve, na folha de respostas: o número

Leia mais

MAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 29 de junho de 2017

MAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 29 de junho de 2017 MAT 112 Turma 2017146 Vetores e Geometria Prof. Paolo Piccione Prova 2 29 de junho de 2017 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas

Leia mais

MAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 29 de junho de 2017

MAT 112 Turma Vetores e Geometria. Prova 2 29 de junho de 2017 MAT 112 Turma 2017146 Vetores e Geometria Prof. Paolo Piccione Prova 2 29 de junho de 2017 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 5 (entregar no dia 6 ou )

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 5 (entregar no dia 6 ou ) Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº (entregar no dia 6 ou 7 1 010) 1. Considere, num cubo de 8 cm de aresta, a secção que resulta

Leia mais

d{p, s) = R. Mas, d(p, s) = d(p, Q), onde Q(0, 0, z). Logo, P{x, y, z) pertence ao cilindro se, e somente se,

d{p, s) = R. Mas, d(p, s) = d(p, Q), onde Q(0, 0, z). Logo, P{x, y, z) pertence ao cilindro se, e somente se, 134 Geometria Analítica \ Vamos deduzir uma equação do cilindro, em relação a um sistema de coordenadas que contém s como eixo z. Seja R a distância entre r es. Então, um ponto P(x, y, z) pertence ao cilindro

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2).

3. Obter a equação do plano que contém os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2). Lista II: Retas, Planos e Distâncias Professora: Ivanete Zuchi Siple. Equação geral do plano que contém o ponto A = (,, ) e é paralelo aos vetores u = (,, ) e v = (,, ).. Achar a equação do plano que passa

Leia mais

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica

Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS Bacharelado em Ciência e Tecnologia ª Lista de Exercícios - Geometria Analítica 008. ) São dados os pontos

Leia mais

Capítulo 3 - Geometria Analítica

Capítulo 3 - Geometria Analítica 1. Gráficos de Equações Capítulo 3 - Geometria Analítica Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação. Assim, o gráfico

Leia mais

LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h)

LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h) 1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y 1 2 2 x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 +

Leia mais

Aula Exemplos diversos. Exemplo 1

Aula Exemplos diversos. Exemplo 1 Aula 3 1. Exemplos diversos Exemplo 1 Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = ( 1, ) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Como as assíntotas da hipérbole são os

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 0. Áreas de figuras planas em coordenadas cartesianas [] Determine a área

Leia mais

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução MATEMÁTIA A - 10o Ano Geometria Propostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios 1. omo os pontos A, B e têm abcissa 1, todos pertencem ao plano de equação = 1. Assim a secção produida no

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa. MAT Cálculo Diferencial e Integral III 2a Lista /II

Universidade Federal de Viçosa. MAT Cálculo Diferencial e Integral III 2a Lista /II Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências xatas e Tecnológicas epartamento de Matemática MAT 43 - Cálculo iferencial e Integral III a Lista - 8/II Máximos e mínimos. A distribuição de temperatura

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 00. Áreas de figuras planas em coordenadas cartesianas [] Determine a área

Leia mais

Cálculo 2. Guia de Estudos P1

Cálculo 2. Guia de Estudos P1 Cálculo 2 Guia de Estudos P1 Resuminho Teórico e Fórmulas Parte 1 Cônicas Conceito: Cônicas são formas desenhadas em duas dimensões, considerando apenas os eixos x (horizontal) e y (vertical). Tipos de

Leia mais

Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Superfícies Prof Marcelo Maraschin de Souza Superfícies Quadráticas A equação geral do 2º grau nas três variáveis x,y e z ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q

Leia mais

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?

A(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante? Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:

Leia mais

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1. Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Nome: DATA: 09/11/016 Alexandre Uma elipse tem centro na origem e o eixo maior coincide com o eixo Y. Um dos focos é 1 F1 0, 3 e a

Leia mais

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T.

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M

Leia mais

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria

MATEMÁTICA A - 10o Ano Geometria MTEMÁTI - 10o no Geometria Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., um cilindro de revolução de altura 3 o ponto tem coordenadas (1,2,0) e

Leia mais

Lista 3: Geometria Analítica

Lista 3: Geometria Analítica Lista 3: Geometria Analítica A. Ramos 25 de abril de 2017 Lista em constante atualização. 1. Equação da reta e do plano; 2. Ângulo entre retas e entre planos. Resumo Equação da reta Equação vetorial. Uma

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-454 Cálculo Diferencial e Integral II (Escola Politécnica) Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores BONS ESTUDOS!.

Leia mais

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r.

Estudante: Circunferência: Equação reduzida da circunferência: Circunferência: Consideremos uma circunferência de centro C (a, b) e raio r. Gênesis Soares Jaboatão, de de 014. Estudante: Circunferência: Circunferência: A circunferência é o conjunto de todos os pontos de plano equidistantes de outro ponto C do mesmo plano chamado centro da

Leia mais

MAT VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE Suponha fixado um sistema de coordenadas ortogonal cuja base é positiva.

MAT VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE Suponha fixado um sistema de coordenadas ortogonal cuja base é positiva. MAT 11 - VETORES E GEOMETRIA - IF/IME 1 o SEMESTRE 015 LISTA Suponha fixado um sistema de coordenadas ortogonal cuja base é positiva. 1. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1,

Leia mais

,,,,,,,, e são constantes com,,,, e, não todas nulas. Uma equação desse tipo é a equação de uma quádrica. Observe que a equação

,,,,,,,, e são constantes com,,,, e, não todas nulas. Uma equação desse tipo é a equação de uma quádrica. Observe que a equação Capítulo 5 As Superfícies O estudo das superfícies do espaço, iniciado com os planos no capítulo anterior, tem como sequência natural a classi cação das superfícies que podem ser expressas por equações

Leia mais

CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE:

CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 9.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 07 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Como o número a formar deve ser maior que 0 000, então para o algarismo das dezenas de milhar existem apenas 3 escolhas

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

PARTE 4. ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa)

PARTE 4. ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa) PARTE 4 REVISÃO DE PLANOS, CILINDROS, SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO, ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa) Vamos agora faer uma revisão de planos, cilindros, superfícies de revolução,

Leia mais

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2

6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é ortogonal x 2 Lista 2: Retas, Planos e Distâncias - Engenharia Mecânica Professora: Elisandra Bär de Figueiredo x = 2 + 2t 1. Determine os valores de m para que as retas r : y = mt z = 4 + 5t sejam: (a) ortogonais (b)

Leia mais

Hewlett-Packard. Cilindros. Aulas 01 a 02. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Hewlett-Packard. Cilindros. Aulas 01 a 02. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Hewlett-Packard Cilindros Aulas 01 a 02 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário Cilindros... 1 Cilindro... 1 Elementos do cilindro... 1 O cilindro possui:... 1 Classificação... 1 O cilindro

Leia mais

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno

Leia mais

Aula Exemplos e aplicações - continuação. Exemplo 8. Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos.

Aula Exemplos e aplicações - continuação. Exemplo 8. Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos. Aula 1 Nesta aula continuamos com mais exemplos e aplicações dos conceitos vistos. 1. Exemplos e aplicações - continuação Exemplo 8 Considere o plano π : x + y + z = 3 e a reta r paralela ao vetor v =

Leia mais

O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.

O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 2 o semestre 08/09 Nome: Número: Curso: Sala: 1 o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL-II LEIC-Taguspark, LERC, LEGI, LEE 4 de Abril de 2009 (11:00)

Leia mais

P1 de Álgebra Linear I

P1 de Álgebra Linear I P1 de Álgebra Linear I 2008.1 Gabarito 1) Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e marque COM CANETA sua resposta no quadro a seguir. Itens V F N 1.a x 1.b x 1.c x 1.d x 1.e x 1.a) Para

Leia mais

Lista 3.2: Retas - Planos e Distâncias PARTE 1: RETAS. 1. Verificar se os pontos P 1 (5, 5,6) e P 2 (4, 1,12) pertencem à reta r : x 3 1 = y + 1

Lista 3.2: Retas - Planos e Distâncias PARTE 1: RETAS. 1. Verificar se os pontos P 1 (5, 5,6) e P 2 (4, 1,12) pertencem à reta r : x 3 1 = y + 1 Curso:Licenciatura em Matemática Professor: Luis Gustavo Longen Lista 3.: Retas - Planos e Distâncias PARTE 1: RETAS 1. Verificar se os pontos P 1 (5, 5,6) e P (4, 1,1) pertencem à reta r : x 3 1 = y +

Leia mais

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2º TRIMESTRE FORMULÁRIO

EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA 2º TRIMESTRE FORMULÁRIO EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE GEOMETRIA º TRIMESTRE Nome: nº: Ano:ºA E.M. Data: / / 018 Professora: Lilian Caccuri x A x B ya y Ponto médio: M ; yb ya Coeficiente angular: m x x 1) As retas x - y = 3 e

Leia mais

A integral definida Problema:

A integral definida Problema: A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y

Leia mais

MAT Cálculo a Várias Variáveis I. Período

MAT Cálculo a Várias Variáveis I. Período MAT116 - Cálculo a Várias Variáveis I Integração Tripla Período 01.1 1 Exercícios Exercício 1 Considere a região = {(x, y, z) R 3 x + y z 1}. 9 1. Calcule o volume de.. Determine o valor de b de forma

Leia mais

MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria - Equações de retas e planos

MATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria - Equações de retas e planos MTMÁTI - 11o no Geometria - quações de retas e planos ercícios de eames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., um cilindro de revolução de altura 3 o ponto

Leia mais

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a.

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a. GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação 2-201/2 Questão 1. (pontuação: 2) As retas r, s e t são paralelas, como mostra a figura abaixo. A distância entre r e s é igual a e a distância entre s e t é igual

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Escrevendo i na f.t. temos i i = ρe iα, onde: ρ = i i = + ) = tg α = = ; como

Leia mais

Lista 2 de Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

Lista 2 de Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Lista 2 de Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 9 de abril de 2017 1. Dados os pontos R = (1, 2) e S = ( 2, 2) (a) Encontrar as coordenadas do vetor que tem origem no ponto R e o extremos

Leia mais

Sistemas de Projeções Cartográficas:

Sistemas de Projeções Cartográficas: Sistemas de Projeções Cartográficas: Todos os mapas são representações aproximadas da superfície terrestre. Isto ocorre porque não se pode passar de uma superfície curva para uma superfície plana sem que

Leia mais

A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas).

A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas). MAT 105- Lista de Exercícios 1. Prolongue o segmento com extremos em (1, -5) e (3, 1) de um comprimento de (10) unidades. Determine as coordenadas dos novos extremos. 2. Determine o centro e o raio da

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução MATEMÁTICA A - o Ano N o s Complexos - Conjuntos e condições Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Escrevendo i na f.t. temos i i = ρ cis α, onde: ρ = i i = + ) = tg α = = ;

Leia mais

1. Qual éolugar geométrico dos pontosequidistantes de A = (1,0,0),B = ( 1,1,0),C = (0,2,0) e D = (0,0,0).

1. Qual éolugar geométrico dos pontosequidistantes de A = (1,0,0),B = ( 1,1,0),C = (0,2,0) e D = (0,0,0). Universidade Federal Fluminense PURO Instituto de Ciência e Tecnologia Departamento de Física e Matemática Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 7 a Lista de Exercícios 1/2011 Distâncias Observação: Todos

Leia mais

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola

Leia mais

4.1 Superfície Cilíndrica

4.1 Superfície Cilíndrica 4. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS CÁLCULO VETORIAL - 2017.2 4.1 Superfície Cilíndrica Uma superfície cilíndrica (ou simplesmente cilindro) é a superfície gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva plana,

Leia mais

UC: Análise Matemática II. Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes

UC: Análise Matemática II. Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes ETI / EI, 1 o Ano UC: Análise Matemática II Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano Departamento de Métodos Quantitativos Fevereiro

Leia mais

MAT Cálculo II - POLI

MAT Cálculo II - POLI MAT25 - Cálculo II - POLI Primeira Lista de Exercícios - 2006 TAYLOR 1. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: (a) 3 8, 2 (b) ln(1, 3) (c) sen (0, 1)

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto

Leia mais

Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d)

Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d) Integrais uplas Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas epartamento de Matemática Sexta Lista de Exercícios MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III - 7/I Em cada caso,

Leia mais

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 03 de Julho de Prof o. E.T.

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 03 de Julho de Prof o. E.T. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia de Computação 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M é

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

Ricardo Bianconi. Fevereiro de 2015

Ricardo Bianconi. Fevereiro de 2015 Seções Cônicas Ricardo Bianconi Fevereiro de 2015 Uma parte importante da Geometria Analítica é o estudo das curvas planas e, em particular, das cônicas. Neste texto estudamos algumas propriedades das

Leia mais

Equações paramétricas das cônicas

Equações paramétricas das cônicas Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:

Leia mais

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 9

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 9 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo A Lista 9 Eercício : eja uma superfície parametriada por com u π e v. ϕu,v) vcosu, vsenu,

Leia mais

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1 Aula 1 Sejam r 1 = P 1 + t v 1 t R} e r 2 = P 2 + t v 2 t R} duas retas no espaço. Se r 1 r 2, sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 r 2 ) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade

Leia mais

Cálculo diferencial de Funções de mais de uma variável

Cálculo diferencial de Funções de mais de uma variável MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 Cálculo diferencial de Funções de mais de uma variável 1. Funções de mais de uma variável 2. Limites de funções de mais de uma variável 3. Continuidade

Leia mais

a definição de derivada parcial como limite do que aplicar as regras de derivação.)

a definição de derivada parcial como limite do que aplicar as regras de derivação.) 2 a LISTA DE MAT 2454 - CÁLCULO II - POLI 2 o semestre de 2003. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções : (a f(x, y = arctg y (b f(x, y, z, t = x y x z t 2. Seja f : IR IR uma função derivável.

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA 4 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4.2 Superfícies 4.2.1 Superfícies planas 4.2.2 Superfícies

Leia mais