CAPÍTULO 8 REGRA DA CADEIA (UM CASO PARTICULAR)

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1 CAPÍTULO 8 REGRA DA CADEIA UM CASO PARTICULAR 81 Introdução Em Cálculo 1A, aprendemos que, para derivar a função hx x 2 3x , o mais sensato é fazer uso da regra da cadeia A regra da cadeia que é uma das mais importantes regras de derivação e nos ensina a calcular a derivada de funções compostas, como é o caso da função h apresentada anteriormente De fato, podemos escrever que hx fgx, onde fu u 37 e gx x 2 3x + 2 Nesta aula, vamos enunciar uma pequena extensão da regra da cadeia estudada em Cálculo 1A Esta extensão trata-se do caso em que f é uma função escalar de várias variáveis e g é uma função vetorial de uma variável real Mais tarde, ao estudarmos as funções vetoriais de várias variáveis, veremos que esta pequena extensão da regra da cadeia nada mais é do que um caso particular da regra da cadeia para funções vetoriais de várias variáveis A seguir, vamos recordar o enunciado da regra da cadeia para funções da reta na reta TEOREMA 811: Regra da Cadeia - Funções da Reta na Reta - Lembrança de Cálculo 1A Considere as funções f : Domf R R e g : Domg R R Suponha que f é diferenciável no intervalo aberto J Domf R e que a função g é diferenciável no intervalo aberto I Domg Além disso, suponha que gt J, para todo t I Domg Nestas condições, a função f g é diferenciável em I e f g t f gtg t, t I 156

2 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Um exemplo simples em que desejamos derivar a composta de uma função escalar de várias variáveis com uma função vetorial de uma variável real, trata-se de quando queremos avaliar o comportamento de uma função f : R 2 R ao longo de uma determinada curva C contida no plano De fato, se C for parametrizada por gt xt, yt, t R estamos de fato interessados em estudar o comportamento da composta f g, que é dada por fgt fxt, yt, t R Em um exemplo real, f poderia fornecer a temperatura em pontos do plano e C representar um caminho ao longo do qual gostaríamos de avaliar o comportamento da temperatura Vamos portanto aprender a regra da cadeia para este caso particular de funções compostas 82 Um Caso Particular da Regra da Cadeia TEOREMA 821: Regra da Cadeia - Para a composta de uma função escalar de várias variáveis com uma função vetorial de uma variável real Considere as funções f : Domf R p R e g : Domg R R p Suponha que f é diferenciável no aberto A Domf R p e que a função g é diferenciável no intervalo aberto I Domg R Além disso, suponha que gt A, para todo t I Domg Nestas condições, a função f g é diferenciável em I e f g t fgt g t, t I, onde é o produto escalar e g t é o vetor derivada de g em t Para ilustrar, considere as funções diferenciáveis f e g dadas abaixo, dadas por e f : Domf R p R X x 1, x 2,, x p fx fx 1, x 2,, x p g : Domg R R p t gt g 1 t, g 2 t,, g p t, onde f é diferenciável no aberto A Domf R p, g é diferenciável no intervalo aberto I Domg R e gt A, para todo t I Domg Neste caso, a composta f g é a função real de uma variável real dada por f g : I R R t f gt fg 1 t, g 2 t,, g p t Além disto, e fx 1 X, 2 X,, p X g t g 1t, g 2t,, g pt, t I, X A

3 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Desta forma, pela regra da cadeia para este caso particular, dada no Teorema 821, temos que f g é diferenciável para todo t I é f g é dada por f g t fgt g t gt, gt,, 1 2 p gt g 1t, g 2t,, g pt 1 gtg 1t + 2 gtg 2t + + p gtg pt, t I 1 Fazendo agora p 2, temos que f : Domf R 2 R X x, y fx fx, y, g : Domg R R 2 t gt xt, yt, onde f é diferenciável no aberto A Domf R 2, g é diferenciável no intervalo aberto I Domg R e gt A, para todo t I Domg, f gt fgt fxt, yt, f x, y x, y, x, y, x, y A, e g t x t, y t, t I, f g t fgt g t fxt, yt x t, y t xt, yt xt, yt x t, y t xt, ytx t + xt, yty t, t I 2 Observação 821: Para facilitar a memorização, podemos expressar em palavras o resultado obtido em 2 como: f g t 0 derivada parcial de f com respeito a sua primeira variável avaliada em gt VEZES a derivada da função que ocupa a posição da primeira variável MAIS derivada parcial de f com respeito a sua segunda variável avaliada em gt VEZES a derivada da função que ocupa a posição da segunda variável Exemplo 821: Sejam fx, y x2 + y 2, x, y R 2 e gt t, 2t, t R Considere a composta ht fgt 5 a Determine ht

4 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise b Calcule h t diretamente da função h encontrada no item a e verifique que de fato h t fgt g t c Mostre que ht é a imagem da função f dos pontos pertencentes à reta y 2x, x R d Esboce a curva C, imagem da função βt t, 2t, ht, t R e Determine a equação da reta tangente à curva C no ponto 1, 2, 1 Solução: a Como ht fgt, temos que ht ft, 2t t2 + 4t 2 5 t 2 b Calculando h t a partir da função encontrada no item a, temos que h t 2t Vamos agora verificar que h t fgt g t Como fx, y x2 + y 2, temos que 5 2x fx, y 5, 2y, 5 de modo que 2xt fgt fxt, yt 5, 2yt 2t 5 5, 4t 5 Além disso, como gt t, 2t, temos que g t 1, 2, de modo que é fácil verificar que h t fgt g t 2t 5, 4t 1, 2 5 2t t 5 10t 5 2t c Vamos chamar de Im l f o conjunto imagem de f dos pontos pertencentes à reta y 2x, x R Isto é, Im l f {fx, y R y 2x, x R} Sabemos que a reta y 2x, x R, na forma paramétrica, pode ser escrita por Ou seja, x, y t, 2t, t R l {x, y R 2 y 2x, x R} {t, 2t R 2 t R}

5 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Sendo assim, segue que Im l f {ft, 2t R t R} {ht R t R} Imh, uma vez que ht fgt ft, 2t, t R Temos, portanto, que ht, t R, é a imagem da função f dos pontos pertencentes a reta y 2x, x R d Pelo item anterior, temos que a curva C é a curva contida no gráfico da função f dada pela interseção do gráfico da função f com o plano y 2x, uma vez que a coordenada z de um ponto arbitrário x, y, z C é a imagem de f do ponto x, y que pertencente a reta y 2x De fato, a curva C, parametrizada pela função βt t, 2t, ft, 2t, t R, é tal que y 2x, x R, e z ft, 2t e, lembrando que Grf {x, y, fx, y R 3 x, y R 2 }, temos que βt t, 2t, ft, 2t Grf, t R Além disso, conforme observado, um ponto x, y, z em C, ie é tal que xt t e xt t, para algum t R, de modo que y 2x, x R, o que significa que βt t, 2t, ft, 2t pertecence ao plano y 2x para todo t R Sendo assim, βt, pertence á interseção do plano y 2x com o gráfico f, para todo t R Por outro lado, o conjunto de pontos da interseção do plano y 2x com o gráfico f é escrito como {x, y, fx, y R 3 x, y R 2 } {t, 2t, z R 3 t R, z R} {t, 2t, ft, 2t R 3 t R} {βt R 3 t R} Com isto, temos que C é a curva contida no gráfico da função f dada pela interseção do gráfico da função f com o plano y 2x, esboçada abaixo z x y e Observe que o ponto 1, 2, 1 corresponde a t 0 1, pois βt 0 t 0, 2t 0, ht 0 1, 2, 1 se e só se t 0 1 Desta forma, temos que a equação da reta tangente à curva C no ponto β1 é dada por x, y, z β1 + λ β 1, λ R Observe que β t 1, 2, h t 1, 2, 2t, de modo que β 1 1, 2, h 1 1, 2, 2 Sendo assim, a equação da reta tangente à curva C no ponto β1 1, 2, 1 é dada por x, y, z 1, 2, 1 + λ1, 2, 2, λ R

6 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise z x y Exemplo 822: Sejam fx, y e xy e γt cos t, sen t Considere a composta ht fγt a Determine ht b Calcule h t diretamente da função h encontrada no item a e verifique que de fato h t fγt γ t c Mostre que ht é a imagem da função f dos pontos pertencentes à circunferência x 2 + y 2 1 d Conhecendo o gráfico de f, como você faria para esboçar a imagem da função βt cos t, sen t, ht, t R Solução: a Como ht fγt, temos que ht fcos t, sen t e cos t sen t b Calculando h t a partir da função encontrada no item a, temos que h t e cos t sen t sen 2 t + cos 2 t Vamos verificar agora que h t fγt γ t Como fx, y e xy e γt cos t, sen t, temos que fγt sen t e cos t sen t, cos t e cos t sen t e γ t sen t, cos t Desta forma, segue h t fγt γ t sen t e cos t sen t, cos t e cos t sen t sen t, cos t e cos t sen t sen 2 t + cos 2 t c Vamos chamar de Im Circ f o conjunto imagem de f dos pontos pertencentes à circunferência x 2 + y 2 1, x, y R 2 Isto é, Im c f {fx, y R x 2 + y 2 1, x, y R 2 } Sabemos que a circunferência x 2 + y 2 1, x, y R 2, pode, na forma paramétrica, ser escrita como x, y cos t, sen t, t R

7 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Ou seja, Sendo assim, segue que Circ {x, y R 2 x 2 + y 2 1, x, y R 2 } {cos t, sen t R 2 t R} Im Circ {fcos t, sen t R 2 t R} {ht R t R} Imh, uma vez que ht fgt fcos t, sen t, t R Temos, portanto, que ht, t R, é a imagem da função f dos pontos pertencentes à circunferência x 2 +y 2 1, x, y R 2 d Pelo item anterior, temos que a curva C é a curva contida no gráfico da função f dada pela interseção do gráfico da função f com o cilindro x 2 + y 2 1, uma vez que a coordenada z de um ponto arbitrário x, y, z C é a imagem de f do ponto x, y que pertencente à circunferência x 2 + y 2 1 De fato, a curva C, parametrizada pela função βt cos t, sen t, fcos t, sen t, t R, é tal que x 2 + y 2 1, x, y R 2 xt 2 + yt 2 cos 2 t + sen 2 t + 1, e z fcos t, sen t e, lembrando que Grf {x, y, fx, y R 3 x, y R 2 }, temos que βt cos t, sen t, fcos t, sen t Grf, t R Além disso, conforme observado, um ponto x, y, z em C, ie é tal que xt cos t e xt sen t, para algum t R, de modo que x 2 + y 2 1, x, y R 2, o que significa que βt cos t, sen t, fcos t, sen t pertecence ao plano y 2x, para todo t R Sendo assim, βt, pertence á interseção do cilindro x 2 + y 2 1 com o gráfico f, para todo t R Por outro lado, o conjunto de pontos da interseção do cilindro x 2 +y 2 1 com o gráfico f é escrito como {x, y, fx, y R 3 x, y R 2 } {cos t, sen t, z R 3 t R, z R} {cos t, sen t, fcos t, sen t R 3 t R} {βt R 3 t R} Com isto, temos que C é a curva contida no gráfico da função f dada pela interseção do gráfico da função f com o cilindro x 2 + y 2 1, esboçada abaixo z x y

8 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Exemplo 823: Seja zu fe u, u 2, onde f é uma função diferenciável Expresse z em função das derivadas parciais de f Solução: Opção 1: Vamos introduzir a função vetorial gu e u, u 2, de modo que zu fgu fe u, u 2 Observe que f é diferenciável, por hipótese, e que a função vetorial g também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que z u fgu g u Vamos supor que f é função das variáveis x e y Sendo assim, como fx, y x, y, x, y, temos que fgu fe u, u 2 Além disso, como gu e u, u 2, segue que de modo que, z u gu g u e u, u 2, e u, u 2, g u e u, 2u, e u, u 2 u e e u, u 2 + 2u e u, u 2 Opção 2: Aplicando diretamente o resultado obtido em 3, temos que e u, u 2 e u, 2u z u e u, u 2 e u + e u, u 2 u 2 u e e u, u 2 + 2u e u, u 2 Exemplo 824: Seja ht fe t2, sen t, onde f é uma função de classe C 1 a Expresse h t em função das derivadas parciais de f b Calcule h 0 supondo que 1, 0 5

9 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Solução: a Opção 1: Vamos introduzir a função vetorial gt e t2, sen t, de modo que ht fgt fe t2, sen t Como f é uma função de classe C 1, temos que f é diferenciável Além disso, a função vetorial g também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que h t fgt g t Vamos supor que f é função das variáveis x e y Sendo assim, como f x, y x, y, x, y, temos que fgt fe t2, sen t et2, sen t, Além disso, como gt e t2, sen t, segue que de modo que, h t fgt g t et2, sen t, g t 2t e t2, cos t, et2, sen t t2 2t e et2, sen t + cos t et2, sen t et2, sen t 2t e t2, cos t a Opção 2: Aplicando diretamente o resultado obtido em 2, temos que h t et2, sen te t2 + et2, sen t sen t t2 2t e et2, sen t + cos t et2, sen t b Fazendo t 0 na equação de h t encontrada acima, temos que h 0 1, 01 Desta forma, supondo que 1, 0 5, temos que h 0 5

10 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Exemplo 825: Seja ht fut 2, ve t, onde f, u e v são funções de classe C 1 Expresse h t em termos de u, v e das derivadas parciais de f Solução: a Opção 1: Vamos introduzir a função vetorial gt ut 2, ve t, de modo que ht fgt fut 2, ve t Como f, u e v são funções de classe C 1, temos que f, u e v são funções diferenciáveis Além disso, a função vetorial g também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis, pois ambas são compostas de funções diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que h t fgt g t Vamos supor que f é função das variáveis u e v Sendo assim, como fu, v u, v, u, v, temos que u v fgt fut 2, ve t u ut2, ve t, Além disso, como gt ut 2, ve t, segue que de modo que, h t fgt g t u ut2, ve t, a Opção 2: g t 2t u t 2, e t v e t, v ut2, ve t v ut2, ve t 2t u t 2 u ut2, ve t + e t v e t v ut2, ve t 2t u t 2, e t v e t Aplicando diretamente o resultado obtido em 2 e supondo que f é função das variáveis u e v, ie f fu, v, temos que h t u ut2, ve t ut 2 + v ut2, ve t ve t 2t u t 2 u ut2, ve t + e t v e t v ut2, ve t

11 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Exemplo 826: Seja f : R 2 R x, y fx, y uma função de classe C 1 em R 2, tal que f1, 2 2, 1, 2 3 e 1, 2 4 Suponha que a curva C, imagem da função γt t 2, 3t 1, zt, t R, está contida no gráfico de f a Determine zt b Determine a equação da reta tangente à curva C no ponto γ1 Solução: a Sabemos que o gráfico de f é o conjunto dado por Grf {x, y, fx, y R 3 x, y R 2 } Em outras palavras, o gráfico de f é o conjunto de pontos em R 3 que obedece a equação z fx, y, x, y R 2 Além disso, a imagem de γ é o conjunto dado por Imγ {t 2, 3t 1, zt R 3 t R} Desta forma, como, por hipótese, a imagem de γ está contida no gráfico de f para todo t, quando xt t 2, yt 3t 1, devemos ter zt fxt, yt ft 2, 3t 1, t R b Já vimos que a equação da reta tangente à curva C no ponto γ1 é dada por x, y, z γ1 + λ γ 1, λ R Observe que γ1 1, 2, z1 1, 2, f1, 2 1, 2, 2 e que γ t 2t, 3, z t, de modo que γ 1 2, 3, z 1 Devemos portanto, determinar z t para achar a equação pedida Para isto, vamos introduzir a função vetorial gt t 2, 3t 1, de modo que zt fgt ft 2, 3t 1 Como f é uma função de classe C 1, temos que f é diferenciável Além disso, a função vetorial g também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que h t fgt g t Sendo assim, como fx, y x, y, x, y fgt ft 2, 3t 1 t2, 3t 1, Além disso, como gt t 2, 3t 1, segue que de modo que, h t fgt g t t2, 3t 1, g t 2t, 3, t2, 3t 1 2t t2, 3t t2, 3t 1, temos que t2, 3t 1 2t, 3

12 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Alternativamente, para determinar z, podemos aplicar diretamente o resultado obtido em 2 Desta forma, temos que z t t2, 3t 1t 2 + t2, 3t 13t 1 2t t2, 3t t2, 3t 1, o que leva a z 1 2 1, , 2 Substituindo então os valores dados na equação acima, ficamos com z Temos portanto, que γ 1 2, 3, z 1 2, 3, 18 Sendo assim, a equação da reta tangente à curva C no ponto γ1 1, 2, 2 é dada por x, y, z 1, 2, 2 + λ2, 3, 18, λ R Exemplo 837: Seja f uma função de classe C 1 e defina a função g como gx fx, fx, x Determine g x Solução: Vamos introduzir a função vetorial hx x, fx, x, de modo que gx fhx fx, fx, x Como f é uma função de classe C 1, temos que f é uma função diferenciável Além disso, a função vetorial h também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que g x fhx h x Vamos supor que f é função das variáveis x e y Sendo assim, como fx, y x, y, x, y, temos que fhx fx, fx, x x, fx, x, x, fx, x Além disso, como hx x, fx, x, segue que h d x 1, fx, x dx

13 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Para calcular d dx fx, x, vamos definir a função g 1x fx, x e a função vetorial h 1 x x, x, de modo que g 1 x fh 1 x fx, x e repetir o processo Sendo assim, temos que d dx fx, x g 1x fh 1 x h 1 x x, x, x, x 1, 1 x, x + x, x Desta forma, segue que h x d 1, fx, x dx 1, x, x + x, x Tendo determinado h, vamos voltar a calcular g g x fhx h x x, fx, x, x, fx, x + x, fx, x x, fx, x 1, x, x + x, x + x, x x, x Alternativamente, para determinar g, podemos aplicar diretamente o resultado obtido em 2 Vamos supor que f é função das variáveis x e y Desta forma, temos que g x x, fx, xx + d x, fx, x fx, x dx d x, fx, x1 + x, fx, x fx, x dx d Para calcular fx, x, vamos aplicar 2 novamente e repetir o processo Desta dx forma, segue que d fx, x dx x, xx + x, xx x, x1 + x, x1 Portanto, temos que g x x, fx, x + x, fx, x x, x + x, x

14 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Exemplo 838: Seja f : R 2 R uma função de classe C 2 e seja g a função definida como gt t 2 t2, t 3 Expresse g t em função das derivadas parciais de f Solução: Como estamos diante do produto de duas funções que dependem de t, vamos aplicar em primeiro lugar a regra da derivada do produto Neste caso, temos que g t 2t t2, t 3 + t 2 d dt t2, t 3 Temos assim que determinar d dt t2, t 3 Para isto,vamos introduzir a função vetorial gt t 2, t 3 e a função F, de modo que ht F gt t2, t 3 Como f é uma função de classe C 2, temos que F é uma função de classe C1 e, portanto, diferenciável Além disso, a função vetorial g também diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Portanto, temos que h t F gt g t F Sendo assim, como F x, y x, y, x, y, temos que F F gt F t 2, t 3 2 f 2 t2, t 3, Além disso, como gt t 2, t 3, segue que de modo que, Desta forma, segue que h t F gt g t 2 f 2 t2, t 3, t2, t 3, t2, t 3 t 2, t 3, 2 f t2, t 3 g t 2t, 3t 2, 2t 2 f 2 t2, t 3 + 3t 2 g t 2t t2, t 3 + t 2 2 f t2, t 3 2 f t2, t 3 2t 2 f 2 t2, t 3 + 3t 2 t 2, t 3 2t, 3t 2 2 f t2, t 3

15 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise Alternativamente, para determinar d dt t2, t 3, podemos aplicar diretamente o resultado obtido em 2 Desta forma, temos que d dt t2, t 3 t 2, t 3 t 2 + t 2, t 3 t 3 2t 2 f 2 t2, t 3 + 3t 2 2 f t2, t 3 Desta forma, segue que g t 2t t2, t 3 + t 2 2t 2 f 2 t2, t 3 + 3t 2 2 f t2, t 3 Exemplo 839: Seja f uma função de classe C 2 e defina a função g como gt f3t, e t Determine g t Solução: Primeiro vamos calcular g t Como f é uma função de classe C 2, temos que f é diferenciável pois f é de classe C 1 Além disso, definindo a função vetorial h como ht 3t, e t, temos que h também é diferenciável, uma vez que suas funções coordenadas são diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar a regra da cadeia Como já estamos bem experientes, vamos aplicar diretamente o resultado obtido em 2 Supondo que f é função das variáveis x e y, temos que g t 3t, et 3t + 3t, et e t 3 3t, et + e t 3t, et Derivando mais uma vez a função g, temos que g t 3 d dt 3t, et + e t 3t, et + e t d dt 3t, et Como f é uma função de classe C 2, temos que e são funções de classe C1 e, portanto, diferenciáveis Desta forma, podemos aplicar novamente a regra da cadeia para ambas as derivadas Calculando separadamente d dt 3t, et e d dt 3t, et, temos que d dt 3t, et 3t, e t 3t + 3t, e t e t 3 2 f 3t, 2 et + e t 2 f 3t, et

16 Cálculo 2B - Notas de Aula em construção - Prof a Denise e d dt 3t, et 3t, e t 3t f 3t, et + e t 2 f 2 3t, et 3t, e t e t Segue portanto que g t 3 d dt 3t, et + e t f 3t, 2 et + e t 2 f 3t, et Como f é de classe C 2, temos que 3t, et + e t d dt 3t, et + e t 3t, et + e t 2 f 2 f Desta forma, segue que g t 9 2 f 2 3t, et + 6e t 2 f 3t, et + e t 3t, et + e 2t 2 f 2 3t, et 3 2 f 3t, et + e t 2 f 3t, 2 et