Cálculo Diferencial e Integral II

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade 1. Esboce os conjuntos seguintes: (a {(x, y R : x + y 1 ; x + y 1} (b {(x, y R : x 1 y 1 x } (c {(x, y R : x y = 0} (d {(x, y R : cos(x + y = 1} (e {(x, y, z R 3 : x + y + z ; x > 1 ; y > 0 ; z > 0} (f {(x, y, z R 3 : x + y > 1 ; x + y + z 4} (g {(x, y, z R 3 : z > x + y ; x + y + z } (h {(x, y, z R 3 : z = x + y ; y = 1} (i {(x, y, z R 3 : z = x }. Esboce os cortes perpendiculares aos eixos coordenados dos seguintes conjuntos: (a {(x, y, z R 3 : x + y + z ; x > 1 ; y > 0 ; z > 0} (b {(x, y, z R 3 : x + y > 1 ; x + y + z 4} (c {(x, y, z R 3 : z > x + y ; x + y + z } 3. Para cada um dos seguintes conjuntos determine o interior, o exterior e a fronteira e diga, justificando, se é aberto, fechado, limitado ou compacto. a {(x, y R : x + y 1} b {(x, y R : ln(xy 0} c {(x, y, z R 3 : x + y z < 1} d {(x, y, z R 3 : x + y + z 1 ; y = x} 4. Calcule ou mostre que não existem os limites seguintes: x y a lim (x,y (0,0 x + y (x y b lim (x,y (,0 (x + y x y c lim (x,y (0,0 x 4 + y x y d lim (x,y (0,0 (x + y sin(x + y x y e lim (x,y (0,0 x + y f lim x ln(xy. (Sugestão: Considere a linha dada por y = e 1/x. (x,y (0,0 5. Estude as funções seguintes quanto à continuidade: a f(x, y = e x +3y, (x, y R { x x+y, se (x, y (0, 0 b f(x, y = +y 0, se (x, y = (0, 0

2 c f(x, y = e f(x, y = { ( cos π + x y x +y, se (x, y (0, 0 0, se (x, y = (0, 0 { x, se (x, y (0, 0 x +y d f(x, y = 0, se (x, y = (0, 0 { ( xy sin, se y 0 1 y 0, se y = 0

3 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho (Diferenciabilidade. Derivada da Função Composta (1 de Março de Usando a definição, calcule a derivada no ponto P segundo o vector v da função seguinte: f(x, y = x y ; P = (1, 1 ; v = (0, 1. Calcule as derivadas parciais de cada uma das funções seguintes: a f(x, y = x y b g(x, y = log 1 + xy c h(x, y = x + y x y 3. Calcule as derivadas parciais na origem da função seguinte: { x x+y, se (x, y (0, 0 f(x, y = 4 0, se (x, y = (0, 0 4. Determine um campo escalar ϕ : R 3 R tal que ϕ = F, onde F (x, y, z = (x + ye xy, z + xe xy, y. 5. Calcule a matriz Jacobiana de cada uma das funções seguintes: ( x a f(x, y = y, xy b g(x, y, z = ( yz, e xyz 6. Determine um vector segundo o qual a derivada direccional da função f(x, y = x y x + y, no ponto (1, 1 é nula. 7. Calcule a derivada no ponto P segundo o vector v da função seguinte: g(x, y, y = e x + yz ; P = (1, 1, 1 ; v = (1, 1, 1 8. Considere as funções: { xy x i f(x, y = +y, se (x, y (0, 0 0, se (x, y = (0, 0 { x y ii g(x, y = x +y, se (x, y (0, 0 4 0, se (x, y = (0, 0 Qual destas funções é diferenciável na origem? Justifique 9. Calcule a derivada D(f g(1, 1 em que f(u, v = (tan(u 1 e v, u v ; g(x, y = (e x y, x y. 10. Considere as funções F (x, y, z = x + y + z, γ(t = (cos t, sen t, t e σ(t = F (γ(t. Calcule a derivada σ (t.

4 11. Calcule a derivada parcial h x em que h(x, y = f(u(x, y, v(x, y ; f(u, v = u + v u v ; u(x, y = e x y ; v(x, y = e xy 1. Considere a função f(x, y, z = e x yz e seja g : R R 3 uma função de classe C 1 tal que g(0, 0 = (0, 1, e Dg(0, 0 = Calcule a derivada direccional D v (f g(0, 0 em que v = (1,. 13. Sejam F : R R e g : R R funções de classe C 1 e tais que se verifica a equação F (x, g(x = 0. Supondo que F y (x, y 0 calcule a derivada g (x.

5 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 3 ( (Propriedades do vector gradiente. Teorema de Lagrange. Derivadas de Ordem Superior. Extremos. Função Inversa. Função Impĺıcita 1. Determine o valor máximo que uma derivada direccional de f(x, y, z = x xy + z 3 no ponto (1, 1, pode tomar.. Calcule um vector normal ao gráfico da função f(x, y = x + y 4 + e xy no ponto (1, 0. Escreva a equação do plano tangente a z = f(x, y neste ponto. 3. Seja D = {(x, y R : x > 0, y > 0} e f : D R dada por f(x, y = log ( x+y. Aplique o Teorema de Lagrange para provar que ( x + y log 1 x + y, x + y. Sugestão: Considere p = (1, 1, q = (x, y. 4. Calcule a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes: ( x a f(x, y = x arctan y ( b f(x, y = cos x + y c f(x, y, z = e xz tan(yz 5. Mostre que o potencial de Newton V = GMm, em que r = x r + y + z, verifica a equação de Laplace: V x + V y + V = 0, (x, y, z (0, 0, 0 z 6. Seja w = f(x + y, x y, em que f : R R é uma função de classe C. Mostre que se tem em que u = x + y e v = x y. 4 f u v = w x w y, 7. Obtenha os polinómios de Taylor de primeira e segunda ordem da função f(x, y = e x+y no ponto (0, 0. Obtenha valores aproximados de f(1, 3 usando estes polinómios. Compare os valores obtidos com o valor exacto da função. Indique o erro cometido. 8. Determine e classifique os pontos de estacionaridade de cada uma das funções seguintes: a f(x, y = x + y + xy b f(x, y = x + y + 3xy c f(x, y = e 1+x y d f(x, y = xy + 1 x + 1 y e f(x, y, z = x + y + z + xy 9. Determine os valores máximo e mínimo da função f(x, y = x + y x y + 1 no disco D = {(x, y R : x + y 1}.

6 10. Determine os valores de dois parâmetros a, b R de modo a que a função f(x, y = e ax+y + bsen(x + y tenha um extremo no ponto (0, 0 e o polinómio de Taylor do segundo grau de f na origem tome o valor 6 no ponto (1,. Classifique o ponto (0, 0 para os valores obtidos. 11. Para cada um dos casos seguintes determine o conjunto dos pontos do domínio de f em que o respectivo Jacobiano é não nulo. Determine se f é injectiva no respectivo domínio. Descreva o conjunto f(s. Se f for injectiva em S, determine f 1 explicitamente. a f(x, y = (x + y, x y, S = R. ( 1 b f(x, y = log xy, (x + y, S = {(x, y : 0 < y < x}. 1. Considere a função f : R R definida por f(x, y = (xy, x y. a Mostre que f não é injectiva. b Determine, justificadamente, o conjunto de pontos em que f tem inversa local. c Determine a matriz Jacobiana, no ponto (, 0, de uma das funções inversas locais f 1 da função f. 13. O tempo t e as coordenadas (x, y de um ponto em movimento no plano satisfazem o seguinte sistema { x + y = e t + 1 x sen( π x = t. a Mostre que este sistema define, numa vizinhança do ponto (t 0, x 0, y 0 = (1, 1, e, uma função de classe C 1, dada por α(t = (x(t, y(t. b Calcule α ( Considere o sistema de equações u = xy + sen(x + y v = e x+y + x y. Mostre que existe uma vizinhança de (u, v = ( 1, 0 e uma vizinhança de (x, y = ( 1, 1 em que o sistema define (x, y como função, de classe C 1, de (u, v e calcule x ( 1, 0. u 15. Mostre que a equação x cos(xy = 0 define, implicitamente, y como função de x em alguma vizinhança do ponto (1, π df e calcule a derivada dx ( Considere a função F : R 3 R definida por F (x, y, z = (x + y + z, x y e o conjunto C = {(x, y, z R 3 : F (x, y, z = (, 0}. Use o teorema da função impĺıcita para justificar que, numa vizinhança do ponto (1, 1, 0, o conjunto C é o gráfico de uma função f : I R, em que I é um intervalo aberto em R.

7 17. Mostre que numa vizinhança do ponto (x 0, y 0, t 0 = (0, 1, 1 o sistema de equações yt + e x + e xy = 3 y x y + t = 1. define implicitamente duas funções x = f(t, y = g(t de classe C definidas numa certa vizinhança T do ponto t 0 = 1. Seja h(t = f(t + g(t + t, t T. Mostre que h tem um mínimo relativo no ponto t 0 = Seja F : R 3 R uma função de classe C 1 e suponhamos que a equação F (x, y, z = 0 determina cada uma das variáveis como função das restantes, ou seja, x = x(y, z ; y = y(x, z ; z = z(x, y. Mostre que se tem ( x z ( z y ( y = 1 x 3

8 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 4 (Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal. Extremos Condicionados. Parametrizações. ( Mostre que cada um dos conjuntos seguintes é uma variedade e determine a respectiva dimensão: a {(x, y R : x + y 4 = 1}. b {(x, y R : y = tan x ; π < x < π }. c {(x, y, z R 3 : x + y = 1 ; y > x ; z < }. d {(x, y, z R 3 : 0 < z = 1 x y }. e {(x, y, z R 3 : ( x + y 4 + z = 1 ; z > 0}. f {(x, y, z R 3 : x + y + z = 1 ; z > 1 }. g {(x, y, z R 3 : x + y = z + 1 ; z < 1}.. Considere o conjunto A = {(x, y, z R 3 : z = x + y, x = y, x > 0}. a Mostre que A é uma variedade e determine a sua dimensão. b Determine um vector tangente a A no ponto ( 1, 1, Determine a recta normal e o plano tangente ao cone no ponto (3, 4,. C = {(x, y, z R 3 : z = 3 x + y } 4. Determine o espaço tangente e o espaço normal à variedade no ponto (1, 0, 1. L = { (x, y, z R 3 : x + y = 1 ; z = x y }, 5. Determine o espaço tangente e o espaço normal à variedade no ponto (1, 0, 1. S = { (x, y, z R 3 : z = x y ; x + y < }, 6. Para cada um dos casos seguintes, determine os extremos da função f no conjunto S: a f(x, y, z = x + y + z, S = {(x, y, z R 3 : x + y = ; x + z = 1}. b f(x, y, z = xyz, S = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 1}. 7. Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos de máximo da função f(x, y = x + y x y + 1 no disco de raio 1 e centro na origem de R. 8. Determine os extremos absolutos da função f(x, y, z = x + y z que se encontram na bola B = {(x, y, z R 3 : x + y + z 1}. 9. As faces de uma caixa rectangular sem tampa têm área total igual a 16 m. Determine as dimensões da caixa que maximizam o respectivo volume. 10. Determine os extremos da função f(x, y, z = x + y + z na superfície definida por xyz = Parametrize cada uma das variedades estudadas no exercício 1.

9 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 5 (Teorema de Fubini. Mudança de Variáveis de Integração ( Calcule R (x + y dx dy onde R = [ 1, 1] [0, 1].. Calcule (y cos x + dx dy, onde R = [0, π/] [0, 1]. R 3. Calcule R (x + y + 3z dx dy dz, onde R = [0, 1] [ 1/, 0] [0, 1/3]. 4. Calcule 3 0 ( x +1 xy dy dx. x Invertendo a ordem de integração, calcule 1 ( 3 e 1 6. Calcule Esboce a região de integração. 7. Considere a região y ( arcsen y 0 e x dx dy y sen x dx dy. ( x ( 3 dz 0 x +y dy dx. V = {(x, y, z R 3 : x + y + z 1, x + y z 1, x 0, y 0}. Escreva uma expressão para o volume de V na forma ( ( dx dy dz, e calcule-o. 8. Considere a região U = {(x, y, z R 3 : x + y + z 1, z 0}. Escreva expressões para o volume de U na forma: a b ( ( ( 9. Considere a região dx dy dz. ( dz dy dx. D = {(x, y, z R 3 : x y x, 0 z x, x 1}. Escreva expressões para o volume de A na forma:

10 a b ( ( ( 10. Considere a região dz dy dx. ( dx dy dz. V = {(x, y, z R 3 : x + y 1, x + y z x y }, com densidade de massa dada por α(x, y, z = z. a Escreva uma expressão para a coordenada z do centro de massa de V utilizando integrais da forma ( ( dx dy dz. b Calcule a massa total de V. c Calcule a coordenada z do centro de massa de V. 11. Considere a região U = {(x, y, z R 3 : 1 x + y + z 4, z x + y, x 0, y 0}, com densidade de massa dada por α(x, y, z = (x + y z. a Calcule a massa de U utilizando coordenadas esféricas e coordenadas ciĺındricas. b Calcule o momento de inércia de U relativamente ao eixo Oz. 1. Calcule o volume da região B R 3 definida pelas condições { 0 z 4 (x + y, se 0 x + y 1 0 z 3 (x + y, se 1 x + y Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região A = {(x, y R : 1 x 1, x y 1}. 14. Considere o conjunto D = {(x, y R : x + y < 1, 0 < y < x}, e seja f : D R definida por f(x, y = e (x+y4 (x y. Calcule f utilizando uma transformação de coordenadas apropriada. Justifique cuidadosamente. D 15. Considere o sólido S = {(x, y, z R 3 : 1 x + z 4, 0 y (x + z 1 4, x 0, z 0}, com densidade de massa dada por α(x, y, z = e y. Calcule a massa total de S. 16. Calcule o volume da região B = {(x, y, z R 3 : 0 z 1 ( x + y 1, x 0, y 0}.

11 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 6 (Integrais de Campos Escalares em Variedades. Trabalho. Campos Gradientes. Potenciais 1. Calcule o comprimento do arco de curva y = x 3 entre os pontos (1, 1 e (, 8.. Calcule a área do cilindro dado pelas equações x + y = 1 e 0 z. 3. Calcule a área da superfície A = {(x, y, z R 3 : z = 1 x + y, 3 y < x, z > 0}. 4. Considere a variedade-1 definida por C = {(x, y, z R 3 : x + y = z, x + y + z = 1}, e com densidade de carga eléctrica por unidade de comprimento dada por Calcule a carga eléctrica total de C. 5. Considere a variedade- α(x, y, z = 5 8(x + 1(y + 1. S = {(x, y, z R 3 : z = (x + y, x + y < 1}, com densidade de massa dada por σ(x, y, z = (x + y 3. Calcule a massa total de S. 6. Considere a superficíe B = {(x, y, z R 3 : z = xy, 1 < x <, 1 < y < }, 1 com densidade de massa dada por α(x, y, z =. Calcule o momento de inércia (1+x 1+x +y de B relativamente ao eixo Ox. 7. Determine se os campo vectoriais f(x, y = (x, xy e g(x, y, x = (zy, xy, xz são campos fechados nos seus respectivos domínios. São campos gradientes? 8. Considere os campos vectoriais seguintes: { f(x, y = (x + y, x, g(x, y = (3 + xy, x 3y. Determine se f e g são ou não campos gradientes. Em caso afirmativo, calcule um potencial. 9. Considere o campo vectorial f(x, y = ( y, x. a Calcule o trabalho realizado pelo campo f ao longo da elipse de equação x + 4y = 1, orientada no sentido anti-horário. b Calcule o trabalho realizado por f ao longo da linha poligonal que une os pontos (1, 0, (0, 0 e (0, 1. c Represente geometricamente o campo f e, sem efectuar os cálculos, confirme o resultado da aĺınea anterior. 10. Calcule o trabalho do campo vectorial h(x, y, z = (xy z, x yz, x y ao longo do caminho g(t = (t, t, t, t ] 1, 1[.

12 11. Considere os campos vectoriais seguintes: f(x, y, z = (e x, e y, e z, g(x, y, z = (e yz, xze yz, xye yz, x y h(x, y, z = ( 1+x +y, 1+x +y, z. a Determine se f, g e h são ou não conservativos. Em caso afirmativo, calcule um potencial. b Calcule o trabalho de f, g e h ao longo da curva definida pelas equações y = x 3, z = 0, percorrida desde o ponto (0, 0, 0 até ao ponto (1, 1, 0. x 1. Calcule o trabalho de f(x, y = (, y x ao longo da elipse definida por x +y x +y y 0 = 1, percorrida no sentido anti-horário. Será f um gradiente no seu domínio?

13 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 7 (Caminhos fechados homotópicos. Teorema de Green. Teorema da Divergência. Teorema de Stokes ( Considere o campo vectorial ( y h(x, y, z = (x 1 + y + yz, (x 1 (x 1 + xz, xy. + y a Diga justificadamente se h é fechado no seu domínio. b Calcule o trabalho de h ao longo da elipse definida por (x 1 +y = 1, z = 0, percorrida no sentido anti-horário de um observador colocado no ponto (1, 0, 1. c Calcule o trabalho de h ao longo da circunferência definida por x + y = 1, z = 0. d Será h conservativo no seu domínio? Em caso negativo, indique uma região onde o seja.. Considere o campo vectorial ( f(x, y = y (x 1 + y + y (x y, x 1 (x + 1 (x y (x y a Será f conservativo no seu domínio? b Calcule o trabalho realizado por f ao longo da circunferência definida pela equação x +y = 100, percorrida no sentido anti-horário. 3. Considere o campo vectorial g(x, y = ( 1 3 y3, 1 3 x3 e a circunferência Γ dada pela equação x + y = 10 e orientada no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por g ao longo de Γ. 4. Use o Teorema de Green para calcular a área de uma elipse definida por x a + y 1, em que b a, b > Prove o Toerema de Green no caso em que F (x, y = (0, Q(x, y e A = {(x, y R : c y d, ψ 1 (y x ψ (y}, para certas funções Q, ψ 1 e ψ suficientemente regulares. 6. Considere a superfície E = {(x, y, z R 3 : y = x + z, 0 < y < 1}, orientada com a normal unitária n tal que n y > 0. Seja f(x, y, z = (x, y, 0. Calcule pela definição o fluxo E f n. 7. Considere a superfície S = {(x, y, z R 3 : y = 3 3x 3z, y > 0}, orientada com a normal unitária n tal que n y > 0. Seja f(x, y, z = (0, y, yz. Calcule o fluxo f n pela definição. S 8. Considere a superfície S = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 4, 1 < z < 1}, orientada com a normal unitária n tal que n z > 0 nos pontos de S com coordenada z > 0. Seja f(x, y, z = (cos(yz + x, x 3 + y, z + 1. Calcule o fluxo de f através de S no sentido de n, S f n..

14 9. Calcule o fluxo do campo vectorial f(x, y, z = (x 3, y 3, z através do cone definido por z = x + y, 0 < z < 1, orientado com a normal n com terceira componente positiva. 10. Considere a superfície A = {(x, y, z R 3 : z = 1 x y, z > 0}, orientada com a normal unitária n tal que n z < 0. Seja h(x, y, z = (y + x, x + y, z. Calcule o fluxo A h n. 11. Calcule o volume da bola esférica de raio r usando o teorema da divergência. 1. Utilizando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo vectorial h(x, y, z = ( y, x, 3 ao longo da elipse definida pelas equações x 0 + y = 1 ; z = 0 e orientada no sentido 30 horário quando vista do ponto (0, 0, Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo vectorial F (x, y, z = (y + sen x, cos y, z 3 ao longo do caminho 14. Considere a superfície g(t = (cos t, sen t, sen t ; t [0, π]. M = {(x, y, z R 3 : z + ( x + y = 1, z > 0}, orientada com a normal unitária n tal que n z > 0. Utilizando o teorema de Stokes, calcule o fluxo de g(x, y, z = (0, 0, através de M no sentido de n. 15. Considere a superfície E = {(x, y, z R 3 : y = x + z, 0 < y < 1}, orientada com a normal unitária n tal que n y > 0. Seja f(x, y, z = (x, y, 0. Calcule o fluxo E f n: a Pelo teorema da divergência. b Pelo teorema de Stokes. (Compare com o valor obtido no Exercício Considere a superfície S = {(x, y, z R 3 : y = 3 3x 3z, y > 0}, orientada com a normal unitária n tal que n y > 0. Seja f(x, y, z = (0, y, yz. Calcule o fluxo S f n: a Pelo teorema da divergência. b Pelo teorema de Stokes. (Compare com o valor obtido no Exercício Considere a superfície A = {(x, y, z R 3 : z = x + y, x + y < 1}, orientada com a normal n tal que n z < 0. Seja f(x, y, z = ( y, x, 1. Calcule o fluxo A f n:

15 a Pela definição. b Pelo teorema da divergência. c Pelo teorema de Stokes. 18. Prove o teorema da divergência num domínio A = {(x, y, z R 3 : (x, y T, f 1 (x, y z f (x, y} para campos vectoriais com as duas primeiras componentes nulas (T, f 1 e f apropriados. 3