Análise Matemática III. Textos de Apoio. Cristina Caldeira

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1 Análise Matemática III Textos de Apoio Cristina Caldeira

2 A grande maioria dos exercícios presentes nestes textos de apoio foram recolhidos de folhas práticas elaboradas ao longo dos anos por vários docentes do Departamento de Matemática da FCTUC.

3 Índice 1 Cálculo diferencial em R n Algumas noções topológicas em R n Produto interno. Norma e distância euclidianas Bolas abertas e fechadas. Pontos interiores, fronteiros, de acumulação, isolados, exteriores e aderentes. Vizinhança de um ponto. Conjuntos abertos, conjuntos fechados e conjuntos itados Exercícios Funções reais de várias variáveis reais (parte 1) Definições básicas Exercícios Limites Exercícios Continuidade Exercícios Derivação parcial Teorema de Schwarz Exercícios Funções diferenciáveis e diferencial de uma função Exercícios Derivação de funções compostas Exercícios Derivadas direccionais Exercícios Funções vectoriais Limites, continuidade e matriz Jacobiana Exercícios Curvas no espaço. Recta tangente a uma curva no espaço, plano tangente e recta normal a uma superfície Exercícios Teorema da função inversa Exercícios Funções reais de várias variáveis reais (parte 2) Teorema da função implícita Exercícios Fórmula de Taylor para funções reais de 2 variáveis reais i

4 1.4.4 Extremos. Extremos condicionados Exercícios Equações diferenciais lineares Definições Exercícios Equações diferenciais lineares de primeira ordem Exercícios Equações diferenciais lineares de ordem n Classificação e teorema da existência e unicidade Sistemas fundamentais de soluções para equações diferenciais lineares homogéneas Exercícios Método de abaixamento de ordem ou método de D Alembert Exercícios Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes Exercícios Método do polinómio anulador Exercícios Exemplo de aplicação das equações diferenciais lineares de ordem dois e coeficientes constantes Movimento harmónico simples Movimento harmónico amortecido Movimento harmónico forçado Exercícios Equações de Euler Exercícios Método de Lagrange Exercícios Bibliografia 157

5 Capítulo 1 Cálculo diferencial em R n 1.1 Algumas noções topológicas em R n Produto interno. Norma e distância euclidianas Seja n um inteiro positivo. Por R n designamos o conjunto {(x 1, x 2,..., x n ) : x i R, i = 1, 2,..., n}. R n é um espaço vectorial real de dimensão n para a adição de vectores e multiplicação escalar definidas do seguinte modo: para x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, λ R x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). A base canónica de R n é a base constituída pelos vectores e 1, e 2,..., e n, onde i e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), i = 1, 2,..., n. Para x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) em R n o produto interno de x e y é o número real definido por n < x, y >= x i y i. Observação São também usuais as notações x para (x 1, x 2,..., x n ) R n e x y para < x, y >. i=1 Para x = (x 1, x 2,..., x n ) em R n a norma euclidiana de x é o número real não negativo x = < x, x > = x x x 2 n. 1

6 2 Textos de Apoio de Análise Matemática III O espaço vectorial real R n com este produto interno e esta norma é o espaço euclidiano de dimensão n. Recorde-se, de Álgebra Linear, que num espaço vectorial real,v, com um produto interno <, > e uma norma definida por v = < v, v > são válidas as desigualdades: < u, v > u v, u, v V (desigualdade de Cauchy-Schwarz) ; u + v u + v, u, v V (desigualdade triangular) ; u v u v, u, v V. No caso particular do espaço euclidiano de dimensão n estas desigualdades tomam a forma: n x i y i n i=1 i=1 x 2 i n yi 2, (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n (1.1) i=1 (desigualdade de Cauchy-Schwarz) ; n (x i + y i ) 2 n x 2 i + n yi 2, (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n (1.2) i=1 i=1 i=1 (desigualdade triangular) ; n (x i y i ) 2 n x 2 i n i=1 i=1 i=1 y 2 i, (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n. (1.3) Sejam x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) em R n. A distância euclidiana entre x e y é o número real não negativo d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Verifica-se facilmente que d(x, y) = 0 x = y. Em R, R 2 e R 3 a noção de distância euclidiana coincide com a noção intuitiva de distância entre dois pontos: Para x, y R, d(x, y) = (x y) 2 = x y é a medida do segmento de recta cujas extremidades são os pontos da recta real de abcissas x e y, respectivamente. Se y > x > 0 esse segmento de recta é o representado na figura

7 Cristina Caldeira 3 Fig Para x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ) em R 2, d(x, y) = x y é a medida do segmento de recta cujas extremidades são os pontos do plano de coordenadas (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ), respectivamente (figura 1.1.2). Fig Bolas abertas e fechadas. Pontos interiores, fronteiros, de acumulação, isolados, exteriores e aderentes. Vizinhança de um ponto. Conjuntos abertos, conjuntos fechados e conjuntos itados Seja n um inteiro positivo. Vamos definir duas noções que generalizam os conceitos de intervalo aberto e intervalo fechado de R. Chama-se bola aberta de centro em a R n e raio δ R + ao conjunto B(a, δ) = {x R n : d(a, x) < δ}. Chama-se bola fechada de centro em a R n e raio δ R + ao conjunto B(a, δ) = {x R n : d(a, x) δ}. Observe-se que a B(a, δ) e B(a, δ) B(a, δ).

8 4 Textos de Apoio de Análise Matemática III Exemplo (1) Em R, e B(a, δ) = {x R : x a < δ} =]a δ, a + δ[ B(a, δ) = {x R : x a δ} = [a δ, a + δ]. (2) Em R 2 a bola aberta de centro em a e raio δ é o círculo, sem a circunferência que o deita, de centro em a e raio δ. A bola fechada de centro em a e raio δ é o círculo de centro em a e raio δ (figura 1.1.3). Fig (3) Em R 3 a bola aberta de centro em a e raio δ é a esfera, sem a superfície esférica que a deita, de centro em a e raio δ. A bola fechada de centro em a e raio δ é a esfera de centro em a e raio δ. Seja S um subconjunto de R n. Um ponto a S diz-se um ponto interior de S se existe uma bola aberta de centro em a e contida em S, isto é, se δ R + : B(a, δ) S. O interior de S é o conjunto dos pontos interiores de S e representa-se por int(s). Se a é um ponto interior de S diz-se também que S é uma vizinhança de a. Um ponto a R n diz-se um ponto fronteiro de S se qualquer bola aberta de R n centrada em a intersecta (isto é, tem intersecção não vazia com) S e o complementar de S, R n \S = {x R n : x S}. A fronteira de S é o conjunto dos pontos fronteiros de S e representa-se por fr(s). Um ponto a R n diz-se um ponto de acumulação de S se toda a bola aberta centrada em a contém pontos de S distintos de a, isto é, δ R + (B(a, δ) \ {a}) S.

9 Cristina Caldeira 5 Observe-se que um ponto de acumulação não precisa de pertencer ao conjunto. O conjunto de pontos de acumulação de S é o derivado de S e representa-se por S. Um ponto a diz-se um ponto isolado de S se a S e a S, isto é, δ > 0 : B(a, δ) S = {a}. É válido o resultado: Proposição Sejam S R n e a R n. O ponto a é um ponto de acumulação de S se e só se a é um ponto interior de S ou a é um ponto fronteiro não isolado. Um ponto a R n diz-se um ponto exterior de S se a é um ponto interior de R n \S. O exterior de S é o conjunto dos pontos exteriores de S e representa-se por ext(s). Um ponto a R n diz-se um ponto aderente a S se δ R + B(a, δ) S. O conjunto de pontos aderentes a S é o fecho de S e representa-se por S. Facilmente se conclui que S S. Exemplo (1) Seja S 1 = [2, 4[ {5} R. Tem-se: int(s 1 ) =]2, 4[, fr(s 1 ) = {2, 4, 5}, S 1 = [2, 4], ext(s 1 ) =], 2[ ]4, 5[ ]5, + [ e S 1 = [2, 4] {5}. Observe-se que 4 é um ponto fronteiro e um ponto de acumulação de S 1 mas não pertence a S 1. O ponto 5 é um ponto isolado de S 1. (2) Seja S 2 = {(x, y) R 2 : x y}. Fig

10 6 Textos de Apoio de Análise Matemática III Para este conjunto tem-se: int(s 2 ) = {(x, y) R 2 : x < y}, fr(s 2 ) = {(x, y) R 2 : x = y}, ext(s 2 ) = {(x, y) R 2 : x > y}, S 2 = S 2 e S 2 = S 2. (3) Seja S 3 = {( ) } 1 n, 0 : n N. O interior de S 3 é o conjunto vazio porque qualquer vizinhança de um número racional contém números irracionais. Vejamos que (0, 0) é um ponto de acumulação (aliás o único) de S 3. Seja δ > 0 qualquer. Considere-se n N tal que n > 1/δ. Então ( ) 1 n, 0 (0, 0) 1 = n = 1 2 n < δ e portanto em toda a bola aberta centrada em (0, 0) existem pontos de S 3 obviamente distintos de (0, 0). Seja S um subconjunto S de R n. S diz-se um conjunto aberto se S coincide com o seu interior, isto é, int(s) = S. S diz-se um conjunto fechado se S contém a sua fronteira, isto é, fr(s) S. S diz-se um conjunto itado se existe uma bola aberta de R n que contém S. Prova-se que Proposição Um subconjunto S de R n é aberto se e só se S é uma união (finita ou infinita) de bolas abertas. Proposição Seja S um subconjunto R n. As afirmações seguintes são equivalentes (i) S é fechado; (ii) R n \S é aberto; (iii) S = S. Exemplo (1) O conjunto vazio e R n são simultaneamente abertos e fechados. (2) O conjunto S 1 = [2, 4[ {5} R não é aberto nem fechado. S 1 é itado. Por exemplo S 1 ]1, 6[.

11 Cristina Caldeira Exercícios 1. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é ou não vizinhança dos pontos P indicados: (a) {(x, y) R 2 : (x 3) 2 + (y 1) 2 < 1} e P = (3, 1); (b) {(x, y) R 2 : (x 3) 2 + (y 1) 2 1 } e P = (3, 1); 2 (c) R 2 e P = (3, 1); (d) {(3, 1)} e P = (3, 1); (e) Uma recta que contenha o ponto (3, 1) e P = (3, 1); (f) Uma bola fechada de centro em (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5); (g) Uma recta que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5); (h) Um plano que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5). 2. Considere os seguintes subconjuntos de R 2 : S 1 = {(x, y) R 2 : (x > 0 x + y < 1) (1 < x < 3 0 < y < 2)} ; S 2 = {(x, y) R 2 : xy 0} ; S 3 = {(x, y) R 2 : S 4 = {(x, y) R 2 : xy y x 2 R ou xy = 0} ; 2x R ou x = 0}. 4 x 2 y 2 Para cada um deles, (a) determine o interior, o exterior, a fronteira, o fecho e o derivado; (b) verifique se são abertos, fechados ou itados. 1.2 Funções reais de várias variáveis reais (parte 1) Definições básicas Seja D R n. Uma função real de n variáveis reais definida em D é uma correspondência que a cada x = (x 1, x 2,..., x n ) D associa um e um só número real y = f(x 1, x 2,..., x n ). Abreviadamente escreve-se ou f : D R n R (x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) f : D R n R x f(x).

12 8 Textos de Apoio de Análise Matemática III O domínio de f é D. O contradomínio de f é o conjunto dos valores que f toma em R, isto é, {f(x 1, x 2,..., x n ) : (x 1, x 2,..., x n ) D} R. O gráfico de f é o subconjunto de R n+1 {(x 1, x 2,..., x n, f(x 1, x 2,..., x n )) : (x 1, x 2,..., x n ) D}. Observação Em R 2 e R 3 é usual usarem-se as notações f(x, y) e f(x, y, z) em vez de f(x 1, x 2 ) e f(x 1, x 2, x 3 ), respectivamente. Exemplo Seja f a função real de duas variáveis reais definida por f(x, y) = x 2 +y 2. O domínio de f é R 2, o contradomínio é R + 0 e o gráfico é {(x, y, x 2 + y 2 ) : (x, y) R 2 } = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R 2 e z = x 2 + y 2 }. Uma representação gráfica (do gráfico) de f é Fig ln( xy + 1) Exemplo O domínio da função real de 2 variáveis reais f(x, y) = 50 x 2 + y é R 2. Qual o contradomínio? Como obter uma representação gráfica do gráfico de f? Podemos usar um programa de computador. Na figura tem-se uma representação gráfica da porção de superfície {(x, y, z) R 3 : (x, y) [ 10, 10] [ 10, 10] e z = f(x, y)}, obtida com o programa de computador Mathematica, sendo marcadas as imagens, por f, de 2500 pontos do quadrado [ 10, 10] [ 10, 10]. Fig

13 Cristina Caldeira 9 Geralmente não é fácil representar graficamente uma função real de 2 variáveis reais, isto é, representar em R 3 o gráfico da função e as representações obtidas com programas de computador nem sempre têm a precisão desejada. É por vezes útil recorrer às chamadas curvas de nível da função que numa imagem a duas dimensões permitem obter informação sobre o gráfico da função. Considere-se a função real de 2 variáveis reais f : D R 2 R (x, y) f(x, y). Para k pertencente ao contradomínio de f a curva de nível de f de valor k é a projecção ortogonal, sobre o plano XOY, da intersecção do plano de equação z = k com o gráfico de f, isto é, com a superfície de equação z = f(x, y). Analiticamente a curva de nível de f de valor k é {(x, y) D : f(x, y) = k}. C é a curva de nível de f de valor k Fig Na figura estão representadas as curvas de nível de valores 2,5, 5 e 7,5 da função do exemplo 1.2.2, obtidas com o programa de computador Mathematica. Verifica-se ainda facilmente que a curva de nível de valor 0 dessa função é constituída pela união dos eixos dos XX e dos Y Y. Fig

14 10 Textos de Apoio de Análise Matemática III Exemplo Sendo f(x, y) = x 2 + y 2 o contradomínio de f é R + 0. Para k R + 0, a curva de nível de f de valor k é : o ponto (0, 0) se k = 0; a circunferência do plano XOY de centro (0, 0) e raio k se k > 0. Analogamente definem-se as superfícies de nível de uma função real de 3 variáveis reais. Sendo f : D R 3 R (x, y, z) f(x, y, z), para k pertencente ao contradomínio de f, a superfície de nível de f de valor k é Exemplo Seja {(x, y, z) D : f(x, y, z) = k}. f : R 3 R (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2. O contradomínio de f é R + 0. Para k R + 0, a superfície de nível de f de valor k é ou seja: {((x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = k}, o ponto (0, 0, 0) se k = 0; a superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio k se k > Exercícios 1. Descreva geometricamente o domínio das seguintes funções : (a) f(x, y) = xy y 2x ; x + 1 (b) f(x, y) = 1 x2 y ; 2 (c) f(x, y) = ln (xy); (d) f(x, y) = x3 + arcsin (y + 3); 3 (e) f(x, y, z) = 4 x 2 y 2 z 2 ; x (f) f(x, y) = 2 + y 2 + 2x x 2 + y 2 2x ; (g) f(x, y) = ln[x ln (y x 2 )]; (h) f(x, y) = ln [(16 x 2 y 2 )(x 2 + y 2 4)]; (i) f(x, y, z) = h(x) + h(y) + h(z), onde h é uma função real de variável real com domínio [0, π/2]; sin(x 4 + y 6 ) se x > 0 (j) f(x, y) = x 4 + y 6 y +. 1 x se x 0

15 Cristina Caldeira Limites Sejam f : D R n R, a = (a 1, a 2,..., a n ) um ponto de acumulação de D e x f(x) L R. Diz-se que L é o ite de f quando x tende para a ou o ite de f no ponto a, e escreve-se se f(x) = L ou f(x 1, x 2,..., x n ) = L, x a (x 1,x 2,...,x n) (a 1,a 2,...,a n) ε > 0 δ > 0 : (0 < x a < δ x D) f(x) L < ε. (1.4) Observação (1) O facto de se impôr em (1.4) que 0 < x a faz com que possa existir o ite de f quando x tende para a sem que f esteja definida em a (exemplo 1.2.5) ou, no caso de f estar definida em a, o valor de f em a não interessa para o cálculo do ite. Isto é, nesta definição de ite de f quando x tende para a não interessa o que se passa em a. Para realçar este facto por vezes escreve-se x a x a f(x) = L e diz-se que x tende para a por valores distintos de a. (2) O motivo de se definir o ite de f quando x tende para a apenas para pontos a pertencentes ao derivado de D é que se a não é ponto de acumulação de D então qualquer número real L verifica (1.4). De facto, se a D, então existe um número real δ > 0 tal que { {a} se a D B(a, δ) D =. se a D Então {x D : 0 < x a < δ} = e portanto quaisquer que sejam L R e ε > 0 a afirmação de que f(x) L < ε para todo o x pertencente a {x D : 0 < x a < δ} é verdadeira. De modo intuitivo se a D existe uma bola aberta centrada em a que não contém pontos de D distintos de a e portanto não é possível fazer x tender para a por pontos distintos de a. Exemplo Considere-se a função real de duas variáveis reais cuja expressão analítica é f(x, y) = 2x3 x 2 + y. 2 O domínio de f é D = R 2 \ {(0, 0)}. O ponto (0, 0) não pertence a D mas é um ponto de acumulação de D. Verifique-se ainda que existe o ite de f quando (x, y) tende para (0, 0) e que esse ite é zero.

16 12 Textos de Apoio de Análise Matemática III Seja ε > 0 qualquer. Pretende-se provar que existe δ > 0 verificando ( 0 < (x, y) (0, 0) < δ (x, y) R 2 \ {(0, 0)} ) f(x, y) 0 < ε. (1.5) Ora f(x, y) = 2x 3 x 2 + y 2 = 2 x x 2 x 2 + y 2, e uma vez que, para (x, y) R 2 \ {(0, 0)}, x 2 x 2 + y 2, tem-se que x 2 x 2 + y 2 1 e portanto f(x, y) = 2 x x 2 x 2 + y 2 2 x 2 x 2 + y 2 = 2 (x, y) (0, 0). Assim, para todo o ε > 0 existe δ = ε/2 > 0 verificando (1.5) e portanto (x,y) (0,0) 2x 3 x 2 + y 2 = 0. Uma questão que se coloca naturalmente é a de saber se é possível que dois números reais distintos L 1 e L 2 verifiquem simultaneamente (1.4). Provaremos que não. Proposição Considere-se uma função real de n variáveis reais f : D R n R x f(x). Seja a um ponto de acumulação de D. Se existe o ite de f quando x tende para a então ele é único. Demonstração: Sejam L 1 e L 2 números reais verificando (1.4). Considere-se ε > 0 qualquer. Então δ 1 > 0 : (0 < x a < δ 1 x D) f(x) L 1 < ε 2 ; (1.6) δ 2 > 0 : (0 < x a < δ 2 x D) f(x) L 2 < ε 2. (1.7) Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Sendo a um ponto de acumulação de D, existe x 0 D tal que 0 < x 0 a < δ. De (1.6) e (1.7) conclui-se que f(x 0 ) L 1 < ε 2 e f(x 0 ) L 2 < ε 2. Então L 1 L 2 = L 1 f(x 0 ) + f(x 0 ) L 2 f(x 0 ) L 1 + f(x 0 ) L 2 < ε.

17 Cristina Caldeira 13 Provou-se assim que L 1 L 2 < ε para todo o ε R +. Uma vez que L 1 L 2 R + 0 conclui-se que L 1 L 2 = 0, ou seja, L 1 = L 2. Em (1.4) intervém apenas a distância de x a a e não o modo como x se aproxima de a. Se existir o ite de f quando x tende para a ele deve ser independente da forma como x se aproxima de a. Sejam f : D R 2 R e a D. Seja C uma curva (trajectória) contida em D e que contém a. Fig Considerando o ite de f quando (x, y) tende para a = (a 1, a 2 ) ao longo de C tem-se um ite trajectorial, f(x, y). (x, y) (a 1, a 2 ) (x, y) C Claro que se existe o f(x, y), todos os ites trajectoriais (no ponto a) devem (x,y) (a 1,a 2 ) existir e ser iguais. Esta noção de ite trajectorial pode ser formalizada definindo o conceito de ite segundo um conjunto. Sejam f : D R n R, A um subconjunto de D e a A. Diz-se que L R é o ite de f quando x tende para a no conjunto A e escreve-se x a x A f(x) = L, se ε > 0 δ > 0 : (0 < x a < δ x A) f(x) L < ε. (1.8) Este conceito será muito útil na prática para se concluir que um dado ite não existe, uma vez que é válido o resultado:

18 14 Textos de Apoio de Análise Matemática III Proposição Sejam f : D R n R, A um subconjunto de D e a A. Se existe f(x), então também existe f(x) e são iguais. x a x a x A Demonstração : exercício 4 da secção Exemplo Considere-se a função f : R 2 \ {(0, 0)} R (x, y) x 4 y 4 +(y x) 2. Seja A = {(x, y) R 2 \ {(0, 0)} : y = x}. Isto é, A obtém-se da recta de equação y = x retirando-lhe o ponto (0, 0). O ponto (0, 0) é um ponto de acumulação de A. (x, y) (0, 0) (x, y) A f(x, y) = (x, y) (0, 0) y = x x 4 y 4 + (y x) 2 = x 0 x 4 x = 1. Seja B = {(x, y) R 2 \ {(0, 0)} : y = x 2 }. Isto é, B obtém-se da parábola de equação y = x 2 retirando-lhe o ponto (0, 0). O ponto (0, 0) é um ponto de acumulação de B. (x, y) (0, 0) (x, y) B f(x, y) = (x, y) (0, 0) y = x 2 = x 0 x 4 x 8 + (x 2 x) 2 De acordo com a proposição anterior e uma vez que x 4 y 4 + (y x) 2 = x 0 x 2 x 6 + x 2 2x + 1 = 0. (x, y) (0, 0) (x, y) A f(x, y) (x, y) (0, 0) (x, y) B f(x, y), conclui-se que não existe o ite de f quando (x, y) tende para (0, 0). Proposição Sejam D R n, com D = A B, e seja a R n um ponto de acumulação de A e também de B. Seja ainda f : D R. Se x a x A f(x) = x a x B f(x) = L então existe o ite de f quando x tende para a e é igual a L. Demonstração: exercício 5 da secção Há um caso particular de ite segundo um conjunto que é especialmente importante. É o caso dos chamados ites direccionais em que o conjunto A é a intersecção do domínio

19 Cristina Caldeira 15 da função com uma semi-recta com origem no ponto em causa, isto é, a trajectória é uma semi-recta com origem no ponto onde se pretende calcular o ite. Sendo a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3 e v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 \ {0}, a recta de R 3 que passa por a e tem a direcção de v é {a + t v : t R} = {(a 1 + tv 1, a 2 + tv 2, a 3 + tv 3 ) : t R}. A semi-recta com origem em a e que tem a direcção e o sentido de v é {a + t v : t R + 0 } = {(a 1 + tv 1, a 2 + tv 2, a 3 + tv 3 ) : t R + 0 }. Estes conceitos generalizam-se facilmente para R n. Sendo a R n e v R n \ {0}, a semi- -recta de R n com origem em a e que tem a direcção e o sentido de v é o subconjunto de R n, S = {a + t v : t R + 0 }. Sejam f : D R n R, a R n, v R n \ {0} e S a semi-recta de R n com x f(x) origem em a e que tem a direcção e o sentido de v. Suponha-se que a é um ponto de acumulação de S D. O ite direccional de f no ponto a segundo v é, caso exista, o ite de f quando x tende para a segundo S D. Observe-se que uma vez que a semi-recta S é independente da norma do vector v, o ite direccional de f no ponto a segundo v coincide, caso exista, com ite direccional de f no ponto a segundo qualquer vector da forma α v, para α R +. Isto é, para o ite direccional de f no ponto a segundo v apenas interessam a direcção e o sentido de v. É por isso usual falar-se no ite direccional de f no ponto a segundo a direcção e o sentido de v e calcular-se o referido ite usando o versor de v, isto é, o vector de norma 1 que tem a direcção e o sentido de v. Prova-se facilmente que o ite direccional de f no ponto a segundo v existe se e só se existe o ite (de uma função real de uma variável real) t 0 + a + t v D f(a + t v), e que nesse caso os dois ites coincidem. Os ites laterais de funções reais de uma variável real são ites direccionais. Da proposição conclui-se que se existe o ite de f no ponto a então existem e são iguais todos os ites direccionais de f em a (para vectores v R n \ {0} tais que a é ponto de acumulação de S D, sendo S a semi-recta com origem em a e que tem a direcção e o sentido de v) e o seu valor comum coincide com o ite de f no ponto a. No caso n = 1, isto é, no caso de funções reais de uma variável real o resultado recíproco é verdadeiro: se existem (isto é, se existem e são números reais) ambos os ites laterais de f no ponto a e são iguais, então existe o ite de f no ponto a e é igual aos ites laterais. Para n > 1 o recíproco é falso. Podem existir todos os ites direccionais no ponto e serem iguais sem que exista o ite da função no ponto, como se pode comprovar através do exemplo seguinte.

20 16 Textos de Apoio de Análise Matemática III Exemplo Considere-se a função } f : {(x, y) R 2 : y x2 R. (x, y) x2 y 2 x 6 +2y 3 Seja v = (v 1, v 2 ) R 2 \ {(0, 0)}. Para a = (0, 0), (tv 1 ) 2 (tv 2 ) 2 f(a + t v) = t 0 + t 0 + (tv 1 ) 6 + 2(tv 2 ) 3 = t 0 + tv 2 1v 2 2 t 3 v v 3 2 = 0. Existem todos os ites direccionais de f no ponto (0, 0) e são todos iguais a zero. No entanto não existe o ite de f no ponto (0, 0). De facto, se se calcular o ite de f quando (x, y) tende para (0, 0) segundo a parábola de equação y = x 2 obtém-se (x, y) (0, 0) y = x 2 x 2 y 2 x 6 + 2y 3 = x 0 x 6 x 6 + 2x 6 = 1 3 0, concluindo-se da proposição que não existe o ite de f no ponto (0, 0). Nas três proposições seguintes serão enunciadas algumas propriedades dos ites. Proposição Sejam α um número real, D um subconjunto não vazio de R n, a um ponto de acumulação de D e f a função constante f : D R x α. Então existe o ite de f no ponto a e é igual a α. Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Para (qualquer!) δ > 0, se x é um ponto de D tal que 0 < x a < δ, então f(x) α = α α = 0 < ε. Proposição Sejam D um subconjunto não vazio de R n e i {1, 2,..., n}. Considere-se a função P i : D R x = (x 1, x 2,..., x n ) x i. Se a = (a 1, a 2,..., a n ) é um ponto de acumulação de D, então existe o ite de P i no ponto a e é igual a a i.

21 Cristina Caldeira 17 Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. P i (x) a i = x i a i = n (x i a i ) 2 (x j a j ) 2 = x a. Sendo δ = ε, para x D tal que 0 < x a < δ tem-se então P i (x) a i < ε. Sejam f e g duas funções reais de n variáveis reais de domínios D f e D g, respectivamente. Seja ainda α um número real. A soma de f e g é a função O produto de α pela função f é a função O produto de f e g é a função O quociente de f e g é a função j=1 f + g : D f D g R x f(x) + g(x). α f : D f R x α f(x). f g : D f D g R x f(x) g(x). f g : {x D f D g : g(x) 0} R x f(x) g(x). Proposição Nas condições anteriores, seja a um ponto de acumulação de D f e de D g. Suponha-se que existem os ites de f e g no ponto a e que a é um ponto de acumulação dos domínios de f + g, f g e f g. Então: 1. Existe o ite de f + g no ponto a e x a (f + g)(x) = x a f(x) + x a g(x); 2. Existe o ite de α f no ponto a e x a (α f)(x) = α x a f(x); 3. Existe o ite de f g no ponto a e x a (f g)(x) = x a f(x) g(x); x a 4. Se g(x) 0, existe o ite de f x a g ( ) f f(x) x a (x) = x a g g(x). x a no ponto a e Demonstração: Sejam L 1 = x a f(x) e L 2 = x a g(x).

22 18 Textos de Apoio de Análise Matemática III 1. Considere-se ε > 0, qualquer. Existem δ 1, δ 2 R + tais que (0 < x a < δ 1 x D f ) = f(x) L 1 < ε 2 e (0 < x a < δ 2 x D g ) = g(x) L 2 < ε 2. Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Para x D f D g tal que 0 < x a < δ tem-se (f+g)(x) (L 1 +L 2 ) = (f(x) L 1 )+(g(x) L 2 ) (f(x) L 1 ) + (g(x) L 2 ) < ε 2 +ε 2 = ε. 2. Considere-se ε > 0, qualquer. Se α = 0, α f(x) = 0 e portanto para um qualquer δ > 0, (0 < x a < δ x D f ) = α f(x) = 0 < ε, concluindo-se que x a (α f)(x) = 0 = α x a f(x). Suponha-se que α 0. Uma vez que ε α > 0, existe δ > 0 tal que (0 < x a < δ x D f ) = f(x) L 1 < ε α = α f(x) αl 1 < ε. Tendo em conta que o domínio de α f é D f, conclui-se que x a (α f)(x) = αl Considere-se ε > 0, qualquer. Existem δ 1, δ 2 R + tais que e Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. (0 < x a < δ 1 x D f ) = f(x) L 1 < ε (0 < x a < δ 2 x D g ) = g(x) L 2 < ε. Para x D f D g tal que 0 < x a < δ tem-se (f(x) L 1 )(g(x) L 2 ) 0 = (f(x) L 1 ) (g(x) L 2 ) < ε ε = ε. Assim, Tem-se ainda que [(f(x) L 1)(g(x) L 2 )] = 0. x a f(x) g(x) L 1 L 2 = (f(x) L 1 )(g(x) L 2 ) + L 2 (f(x) L 1 ) + L 1 (g(x) L 2 ). Por outro lado, da parte 1 desta proposição e da proposição obtém-se x a (f(x) L 1) = x a [f(x) + ( L 1 )] = x a f(x) + x a ( L 1 ) = L 1 L 1 = 0.

23 Cristina Caldeira 19 Analogamente (g(x) L 2) = 0. x a Usando estas 3 igualdades e as partes 1 e 2 desta proposição obtém-se (f(x)g(x) L 1L 2 ) = x a = [(f(x) L 1 )(g(x) L 2 ) + L 2 (f(x) L 1 ) + L 1 (g(x) L 2 )] x a = [(f(x) L 1 )(g(x) L 2 )] + L 2 (f(x) L 1 ) + L 1 (g(x) L 2 ) x a x a x a = 0 + L L 1 0 = 0. Ou seja, e uma vez que o domínio da função fg L 1 L 2 é D f D g, ε > 0 δ > 0 : (0 < x a < δ x D f D g ) (f(x)g(x) L 1 L 2 ) 0 < ε Mas isto significa precisamente que f(x)g(x) = L 1L 2. x a 4. Atendendo à parte 3 desta proposição basta provar que 1 x a g(x) = 1. L 2 f(x)g(x) L 1 L 2 < ε. Seja ε > 0, qualquer. Uma vez que L 2 > 0, existe δ 1 > 0 tal que (0 < x a < δ 1 x D g ) = g(x) L 2 < 1 2 L 2. Usando a desigualdade (1.3) com n = 1 obtém-se α β α β α β, α, β R. Assim, e portanto g(x) L 2 = L 2 g(x) L 2 g(x), x D g (0 < x a < δ 1 x D g ) = g(x) > 1 2 L 2. Por outro lado existe também δ 2 > 0 tal que (0 < x a < δ 2 x D g ) = g(x) L 2 < 1 2 L 2 2 ε. Sendo δ = min{δ 1, δ 2 }, para x D g tal que 0 < x a < δ, 1 g(x) 1 L 2 = L 1 2 g(x) < L ε 1 L 2 g(x) L 2 2 = ε. 2

24 20 Textos de Apoio de Análise Matemática III Exercícios 1. Prove, usando a definição, que f(x, y) = L, sendo (x,y) a (a) f(x, y) = 2x + 3y, a = (1, 3) e L = 11; (b) f(x, y) = xy, a = (0, 0) e L = 0; (c) f(x, y) = x4 y 4, a = (0, 0) e L = 0; x (d) f(x, y) = x3 y 2, a = (0, 0) e L = 0. x 2 + y2 2. Calcule (se existir) (a) (b) (c) (d) (e) (x,y) (1,2) x 2 x 2 + y 2 ; (x,y,z) (π/2,1/ ln 2,1/2) (x,y) (1, 1) (x,y) (0,0) (x,y) (1,3) 2xy (x + y) 2 ; x 4 4y 4 2x 2 + 4y 2 ; ( sin x + (yz) xy 2x y + 2 (x 1)(y 2 4y + 4). 3. Usando trajectórias convenientes tire conclusões sobre a existência dos seguintes ites x 2 xy(x 2 y 2 ) (a) ; (b) ; (x,y) (0,0) x 2 + y2 (x,y) (0,0) x 4 + y 4 (c) (e) (x,y) (1,0) (x,y) (0,0) ) ; 2xy 2y ; (d) (x 1) 2 + y2 (x,y) (0,0) xy 4 ; (f) x 3 + y6 (x,y,z) (1,0,0) 4. Demonstre a proposição Demonstre a proposição xy(x y) x 2 + y 4 ; (x 1)yz (x 1) 3 + y 3 + z Sejam f, g : D R n R e a D. Suponha-se que f(x) g(x) para todo o x (V \ {a}) D, onde V é uma vizinhança de a, e que g(x) = 0. Prove que x a f(x) = 0. x a 7. Sejam f, g : D R n R e a D. Suponha-se que existe uma vizinhança V de a tal que g é itada em (V \ {a}) D e que f(x) = 0. Prove que f(x)g(x) = 0. x a x a

25 Cristina Caldeira Mostre que (a) (x,y) (0,0) (x 2 + 2y 2 ) sin 1 xy = 0 ; (b) (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + 2y 2 = 0 ; (c) (x,y) (0,0) x 2 + xy y 2 x2 + y 2 = 0; (d) (x,y) (0,0) 3x 2 sin y x 2 + 2y 2 = Determine o domínio das seguintes funções e estude a existência de ite nos pontos a indicados. (a) f(x, y) = x2 x 2 + y 2 em a = (0, 0); (b) f(x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2 em a = (0, 0); (c) f(x, y) = 2xy x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) em a = (0, 0) ; (d) f(x, y) = x2 y 2 x + y em a = ( 1, 1); x 2 y 2 se x y (e) f(x, y) = x + y 0 se x = y em a = ( 1, 1) ; (f) f(x, y) = x2 2xy + y 2 x 2 y y 3 em a = ( 1, 1); (g) f(x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (y x) 2 em a = (0, 0); (h) f(x, y) = xy x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) em a = (0, 0) ;

26 22 Textos de Apoio de Análise Matemática III (i) f(x, y, z) = x 2 yz x 8 + y 4 + z 2 em a = (0, 0, 0); x (j) f(x, y) = x 2 se x = y se x y em a = (1, 1) ; (k) f(x, y) = x y x + y em a = (0, 0); y y (l) f(x, y) = x 2 e x 2 se x 0 0 se x = 0 em a = (0, 0) Continuidade Sejam f : D R n R uma função real de n variáveis reais e a D. Se a é um ponto de acumulação de D, diz-se que f é contínua em a se existe o ite de f em a e esse ite é igual a f(a). Se a é um ponto isolado de D, por definição, f é contínua em a. Verifica-se facilmente que: Proposição A função f é contínua em a D se e só se ε > 0 δ > 0 : ( x a < δ x D) f(x) f(a) < ε. O domínio de continuidade de f é o subconjunto de D constituído pelos pontos nos quais f é contínua. Usando a proposição prova-se facilmente o resultado seguinte: Proposição Sejam f e g duas funções reais de n variáveis reais de domínios D f e D g, respectivamente. Suponha-se que f e g são contínuas em a D f D g. Então as funções f + g e f g são contínuas em a. Se g(a) 0 também a função f g Suponham-se dadas n funções reais de uma variável real, f i : D i R R, i = 1, 2,..., n. Usando estas n funções define-se uma função real de n variáveis reais de domínio do seguinte modo: D = D 1 D 2 D n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i D i, i = 1, 2,..., n}, f : D R n R (x 1, x 2,..., x n ) f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ). é contínua em a.

27 Cristina Caldeira 23 Proposição Suponha-se que, para i = 1, 2,..., n, f i é contínua em a i D i. Então f é contínua em a = (a 1, a 2,..., a n ). Demonstração: Vai fazer-se a demonstração apenas para n = 2. Para x 1 D 1 e x 2 D 2, f(x 1, x 2 ) f(a 1, a 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f 1 (a 1 )f 2 (a 2 ) Usando (1.3) obtém-se e portanto = (f 1 (x 1 ) f 1 (a 1 ))f 2 (x 2 ) + f 1 (a 1 )(f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 )) f 1 (x 1 ) f 1 (a 1 ) f 2 (x 2 ) + f 1 (a 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ). f 2 (x 2 ) f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ) + f 2 (a 2 ) f(x 1, x 2 ) f(a 1, a 2 ) f 1 (x 1 ) f 1 (a 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ) + f 2 (a 2 ) f 1 (x 1 ) f 1 (a 1 ) + f 1 (a 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ). (1.9) Considere-se ε > 0, qualquer. Seja ε 1 > 0 tal que { } ε ε 1 < min 1,. f 2 (a 2 ) + f 1 (a 1 ) + 1 Sendo ε 1 < 1 então ε 2 ε 1 < ε 1. Por outro lado, de ε 1 < f 2 (a 2 ) + f 1 (a 1 ) + 1 resulta que ε 1 ( f 2 (a 2 ) + f 1 (a 1 ) ) + ε 1 < ε. Assim, ε 1 ( f 2 (a 2 ) + f 1 (a 1 ) ) + ε 2 1 < ε. (1.10) e Uma vez que f 1 é contínua em a 1 e f 2 é contínua em a 2, existem δ 1, δ 2 R + tais que ( x 1 a 1 < δ 1 x 1 D 1 ) f 1 (x 1 ) f 1 (a 1 ) < ε ( x 2 a 2 < δ 2 x 2 D 2 ) f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ) < ε. Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Para (x 1, x 2 ) D 1 D 2, (x 1, x 2 ) (a 1, a 2 ) < δ (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < δ { x1 a = 1 < δ x 2 a 2 < δ = = (1.9) = (1.10) { f1 (x 1 ) f 1 (a 1 ) < ε 1 f 2 (x 2 ) f 2 (a 2 ) < ε 1 f(x 1, x 2 ) f(a 1, a 2 ) < ε 1 ( f 2 (a 2 ) + f 1 (a 1 ) ) + ε 2 1 f(x 1, x 2 ) f(a 1, a 2 ) < ε.

28 24 Textos de Apoio de Análise Matemática III Exemplo Usando a proposição anterior conclui-se facilmente que a função definida por x sin x cos z f(x, y, z) = e y é contínua em R 3. Casos importantes de funções contínuas no seu domínio são as funções polinomiais, isto é, as funções f : D R n R em que f(x 1,..., x n ) é uma soma finita de parcelas do tipo α x k 1 1 x k 2 2 x kn n com α R e k i N 0, para i = 1,..., n. Também as funções racionais (funções que são o quociente de duas funções polinomiais) são contínuas no seu domínio. Exemplo A função definida por f(x, y) = xy x2 x 2 y 2 é uma função racional e portanto é contínua no seu domínio, que é Tem-se ainda o resultado: {(x, y) R 2 : x y e x y}. Proposição Sejam f : A R n R e g : B R R duas funções com f(a) B e seja a um ponto de A tal que f é contínua em a. Suponha-se ainda que g é contínua em f(a). Então a função g f é contínua em a. Demonstração: Seja ε > 0, qualquer. Sendo g contínua em f(a), existe δ 1 > 0 tal que ( y f(a) < δ 1 y B) = g(y) g(f(a)) < ε. Por outro lado, sendo f contínua em a, existe δ > 0 tal que Então, ( x a < δ x A) = f(x) f(a) < δ 1. ( x a < δ x D) = ( f(x) f(a) < δ 1 f(x) B) = g(f(x)) g(f(a)) < ε = (g f)(x) (g f)(a) < ε. Exemplo A função f definida por f(x, y) = x2 + y 2 x 4 + y 4

29 Cristina Caldeira 25 é uma função racional e portanto é contínua no seu domínio que é R 2 \{(0, 0)}. Além disso, f(x, y) > 0 para todo o (x, y) R 2 \ {(0, 0)}. Pode então considerar-se a função definida por ( ) x 2 + y 2 g(x, y) = ln x 4 + y 4 e a proposição anterior permite-nos concluir que g é contínua em R 2 \ {(0, 0)}. Da proposição e atendendo a que a função módulo é contínua em R obtém-se: Corolário Seja f : D R n R uma função contínua em a D. Então a função f é contínua em a. Exemplo Deste corolário e do exemplo conclui-se que o domínio de continuidade da função f(x, y) = xy x 2 x 2 y 2 é Exercícios {(x, y) R 2 : x y e x y}. 1. Sejam f : A R n R e g : B R R duas funções com f(a) B e seja a um ponto de acumulação de A. Suponha-se que f(x) = b, em que b é um ponto x a de acumulação de B, e que g(y) = L. Prove que (g f) (x) = L, se uma das y b x a condições seguintes for verificada: (a) r > 0 : (0 < x a < r x A) f(x) b; (b) g é contínua em b. 2. Calcule os ites indicados, depois de escrever cada uma das funções como composição de duas: (a) (b) (c) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (2,0) ln(1 x 2 y 2 ) x 2 + y 2 ; x 2 + y 2 x2 + y ; sin(xy). xy 3. Determine o domínio de continuidade das funções definidas por: x 2 + y 2 se x 2 + y 2 1 (a) f(x, y) = ; 0 se x 2 + y 2 > 1

30 26 Textos de Apoio de Análise Matemática III (b) f(x, y) = 3x 2 y x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) ; (c) As funções dos exercícios 9 (c), (d), (e), (f), (g), (j) e (l) da secção 1.2.4; e y x se x 0 (d) f(x, y) = ; 2y se x = 0 (e) f(x, y) = 1 + x 2 se y = y 2 se x = 0 0 se x 0 e y 0 ; (f) f(x, y) = xy 2 x 2 + y 4 se x < y 2 0 se x y 2 ; x + y se xy = 0 (g) f(x, y) = 0 se xy Demonstre a proposição Derivação parcial Seja f : D R 2 R uma função real de duas variáveis reais e (x 0, y 0 ) D. (x, y) f(x, y) Fixando y = y 0 define-se uma função real de uma variável real, g : {x R : (x, y 0 ) D} R x f(x, y 0 ). Se a função g for derivável no ponto x 0, à derivada de g em x 0, g (x 0 ), chama-se derivada parcial de f em ordem a x no ponto (x 0, y 0 ) e representa-se por Tem-se então que f x (x g(x 0 + h) g(x 0 ) 0, y 0 ) = h 0 h f x (x 0, y 0 ) ou f x (x 0, y 0 ). f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) =, (1.11) h 0 h

31 Cristina Caldeira 27 desde que o ite exista. Exemplo Se f é a função definida em R 2 por f(x, y) = x 2 sin(xy) e y 0 = π a função g tem domínio R e é definida por g(x) = x 2 sin(xπ). Assim g (x) = 2x sin(xπ)+x 2 π cos(xπ), para todo o x R e portanto f x (x 0, π) = 2x 0 sin(x 0 π) + x 2 0π cos(x 0 π), x 0 R. Suponha-se que existe a derivada parcial de f em ordem a x no ponto (x 0, y 0 ) e veja-se qual o seu significado geométrico. Designe-se por S a porção de superfície {(x, y, z) R 3 : (x, y) D e z = f(x, y)}. Considere-se o ponto de S, P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Intersectando a superfície S com o plano (paralelo a XOZ) de equação y = y 0 obtémse uma curva, C 1, contida no plano y = y 0 e de equação z = f(x, y 0 ) = g(x). Então f x (x 0, y 0 ) = g (x 0 ) é o declive da recta r 1, contida no plano y = y 0 e que é tangente à curva C 1 no ponto P 0. Ou seja, é a tangente da medida do ângulo que a recta r 1 faz com o semi-eixo ȮX. Fig De modo análogo, a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (x 0, y 0 ) é definida como sendo o ite, caso exista, Esta derivada parcial representa-se por f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ). h 0 h f y (x 0, y 0 ) ou f y (x 0, y 0 ). (1.12)

32 28 Textos de Apoio de Análise Matemática III Intersectando a superfície S, de equação z = f(x, y), com o plano (paralelo a YOZ) de equação x = x 0 obtém-se uma curva, C 2, contida no plano x = x 0 e de equação z = f(x 0, y). Então f y (x 0, y 0 ) é o declive da recta r 2, contida no plano x = x 0 e que é tangente à curva C 2 no ponto P 0 = (x 0, y 0 ). Como calcular as derivadas parciais de f em (x 0, y 0 )? Regra geral, se numa vizinhança do ponto (x 0, y 0 ) a função f é dada por uma única expressão, para calcular a derivada parcial de f em ordem a x considera-se y constante na expressão de definição de f e deriva-se em ordem a x, fazendo em seguida x = x 0 e y = y 0. De modo análogo, para calcular a derivada parcial de f em ordem a y considera-se x constante na expressão de definição de f e deriva-se em ordem a y, fazendo em seguida x = x 0 e y = y 0. Exemplo Seja f(x, y) = 2xy + y 2 cos( 2x + y). Então e f x (0, π) = (2y + 2y 2 sin( 2x + y)) x=0,y=π = 2π + 2π 2 sin(π) = 2π f y (0, π) = (2x y 2 sin( 2x + y) + 2y cos( 2x + y)) x=0,y=π = 2π cos(π) = 2π. No caso de, em qualquer vizinhança de (x 0, y 0 ), a função f ser dada por mais do que uma expressão de definição, as derivadas parciais f x (x 0, y 0 ) e f y (x 0, y 0 ) obteem-se calculando os ites (1.11) e (1.12), respectivamente. Exemplo Considere-se a função Por outro lado, f : R 2 R { xy se y x (x, y) x 3 se y = x. f f(1 + h, 1) f(1, 1) (1, 1) = x h 0 h = h 0 h 0 = h 0 (1 + h)1 1 3 h = h = 1. h 0 h f(2 + h, 2) f(2, 2) h 0 h f(1 + h, 1) f(1, 1) h = h 0 (2 + h)2 8 h = h h h e este ite não existe, concluindo-se que não existe a derivada parcial de f em ordem a x em (2, 2).

33 Cristina Caldeira 29 Fazendo variar o ponto (x 0, y 0 ) definem-se duas novas funções reais de duas variáveis reais a que se chama derivadas parciais de 1 a ordem de f: função derivada parcial de 1 a ordem de f em ordem a x, definida por f x (x, y) = f f(x + h, y) f(x, y) x(x, y) = ; h 0 h função derivada parcial de 1 a ordem de f em ordem a y, definida por f y (x, y) = f f(x, y + h) f(x, y) y(x, y). h 0 h Cada uma destas funções só está definida nos pontos (x, y) do domínio de f onde existe o ite considerado. Sendo f x e f funções reais de 2 variáveis reais podem considerar-se as suas derivadas y parciais. Obtêm-se assim as derivadas parciais de 2 a ordem de f: 2 f x = 2 x ( ) f x também representada por (f x ) x = f x 2 ; 2 f y x = y ( ) f x também representada por (f x ) y = f xy ; 2 f x y = x ( ) f y também representada por (f y ) x = f yx ; 2 f y 2 = y ( ) f y também representada por (f y ) y = f y 2. A partir das derivadas parciais de 2 a ordem de f obtêm-se as derivadas parciais de 3 a

34 30 Textos de Apoio de Análise Matemática III ordem de f e assim sucessivamente: f f x f y 2 f x 2 2 f y x 2 f x y 2 f y 2 3 f x 3 3 f y x 2 3 f x y x 3 f y 2 x 3 f x 2 y 3 f y x y 3 f x y 2 3 f y 3. Para k inteiro positivo há 2 k derivadas parciais de ordem k. Conforme se verá, em certas condições, algumas identificam-se. A noção de derivação parcial vista para funções reais de 2 variáveis reais generaliza-se facilmente para funçẽs reais de n variáveis reais. Considere-se a função f : D R n R (x 1, x 2,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ). Para i = 1, 2,..., n, a função derivada parcial de f em ordem a x i é a função f xi ou f definida por x i f f(x 1, x 2,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) =, x i h 0 h desde que o ite exista. Sejam f : D R n R, S D e r um número inteiro não negativo. Diz-se que f é de classe C r em S e escreve-se f C r (S) se f admite derivadas parciais contínuas até à ordem r em todos os pontos de S. Se S coincide com o domínio D de f diz-se simplesmente que f é de classe C r. Dizer que f é de classe C 0 em S significa que f é contínua em S.

35 Cristina Caldeira Teorema de Schwarz O Teorema de Schwarz dá condições suficientes para que a existência de uma das chamadas derivadas rectangulares (f xy e f yx ) num dado ponto garanta que a outra derivada rectangular existe e que ambas coincidem. Teorema (Teorema de Schwarz) Sejam f uma função real de 2 variáveis reais de domínio D e (x 0, y 0 ) um ponto interior de D. Suponha-se que as funções f x, f y e f xy existem numa bola aberta, B, contida em D e centrada em (x 0, y 0 ). Suponha-se ainda que f xy é contínua em (x 0, y 0 ). Então existe a derivada f yx em (x 0, y 0 ) e f yx (x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ). Demonstração: Pretende provar-se que existe o f y (x 0 + h, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) h 0 h (1.13) e que é igual a f xy (x 0, y 0 ). Seja h 0 suficientemente pequeno, em módulo, (isto é, h suficientemente próximo de zero) para que (x 0 + h, y 0 ) B. Então f y (x 0 + h, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = k 0 k k 0 k 1 = k 0 k [f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) + f(x 0, y 0 )]. Seja k 0 suficientemente pequeno, em módulo, para que (x 0 + h, y 0 + k), (x 0, y 0 + k) B. Sem perda de generalidade suponha-se que h > 0 e considere-se a função real de uma variável real ϕ k : [x 0, x 0 + h] R x f(x, y 0 + k) f(x, y 0 ). (Se h < 0 basta considerar ϕ k definida em [x 0 + h, x 0 ]). Então f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 + k) + f(x 0, y 0 ) = ϕ k (x 0 + h) ϕ k (x 0 ). (1.14) Com o objectivo de aplicar o teorema do valor médio a ϕ k derivável em ]x 0, x 0 + h[ e contínua em [x 0, x 0 + h]. Seja x 1 ]x 0, x 0 + h[, qualquer. vai provar-se que ϕ k é ϕ k (x 1 + l) ϕ k (x 1 ) l 0 l f(x 1 + l, y 0 + k) f(x 1 + l, y 0 ) f(x 1, y 0 + k) + f(x 1, y 0 ) =. l 0 l

36 32 Textos de Apoio de Análise Matemática III Uma vez que x 1 ]x 0, x 0 + h[ verifica-se facilmente que (x 1, y 0 + k), (x 1, y 0 ) B. Então, por hipótese existem os ites f(x 1 + l, y 0 + k) f(x 1, y 0 + k) l 0 l e f(x 1 + l, y 0 ) f(x 1, y 0 ), l 0 l e são iguais, respectivamente, a f x (x 1, y 0 + k) e f x (x 1, y 0 ). Assim, ϕ k (x 1 + l) ϕ k (x 1 ) = f x (x 1, y 0 + k) f x (x 1, y 0 ) l 0 l e portanto ϕ k é derivável em ]x 0, x 0 + h[. Então é também contínua em ]x 0, x 0 + h[. Analogamente Então ϕ k (x 0 + l) ϕ k (x 0 ) l 0 + l = f x (x 0, y 0 + k) f x (x 0, y 0 ). k(x 0 + l) ϕ k (x 0 )] l 0 + = [ l ϕ ] k(x 0 + l) ϕ k (x 0 ) l 0 + l = 0 [f x (x 0, y 0 + k) f x (x 0, y 0 )] = 0, concluindo-se que ϕ k(x 0 + l) = ϕ k (x 0 ). l 0 + Assim ϕ k é contínua em x 0. Do modo semelhante prova-se que é contínua em x 0 + h. O teorema do valor médio garante a existência de c ]x 0, x 0 + h[ tal que ϕ k (x 0 + h) ϕ k (x 0 ) = h ϕ k (c). Mas sendo c um elemento do intervalo ]x 0, x 0 + h[, existe t ]0, 1[ tal que c = x 0 + th. Então ϕ k (x 0 + h) ϕ k (x 0 ) = h [f x (x 0 + th, y 0 + k) f x (x 0 + th, y 0 )]. Provou-se assim que, para h tal que (x 0 + h, y 0 ) B, existe t ]0, 1[ tal que f y (x 0 + h, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = h [f x (x 0 + th, y 0 + k) f x (x 0 + th, y 0 )] k 0 k = f x (x 0 + th, y 0 + k) f x (x 0 + th, y 0 ) h k 0 k = hf xy (x 0 + th, y 0 ). Assim, o ite (1.13) é igual a f xy(x 0 + th, y 0 ), h 0 que por sua vez é igual a f xy (x 0, y 0 ), porque f xy é contínua em (x 0, y 0 ). Corolário Sejam f uma função real de 2 variáveis reais de domínio D e (x 0, y 0 ) um ponto interior de D. Suponha-se que f é de classe C 2 numa vizinhança de (x 0, y 0 ). Então f yx (x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ).

37 Cristina Caldeira Exercícios 1. Usando a definição de derivada parcial, determine (a) f x (0, 0) e f y (1, 2), sendo f(x, y) = x 2 y; (b) f x (1, 1) e f y (0, 0), sendo f(x, y) = { x se x < y y se x y. 2. Mostre que a função f definida por { 2xy se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 4 0 se (x, y) = (0, 0) possui derivadas parciais em (0, 0), embora seja descontínua nesse ponto. 3. Calcule as derivadas parciais de 1 a ordem das funções seguintes: (a) f(x, y) = e 2xy3 ; (b) f(x, y, z) = ln(e x + z y ) ; (c) f(x, y, z) = e x sin y + cos(z 3y) ; (d) f(x, y) = (cotg x) tg y ; (e) f(x, y) = arcsin x 2 y 2 x 2 + y 2 ; (f) f(x, y, z) = cos(y x 2 + z 2 ); (g) f(x, y) = x 3 y x 6 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) { xy se x + y 0 (h) f(x, y) = x + y x se x + y = 0. ; 4. Calcule as derivadas parciais de 2 a ordem das funções seguintes: (a) f(x, y) = ln(x + y) + ln(x y) ; (b) f(x, y, z) = sin(xyz) ; (c) f(x, y, z) = x 2 e yz + y ln z.

38 34 Textos de Apoio de Análise Matemática III 5. Prove que, sendo f(x, y) = ln(x 3 + y 3 ) se tem f xy = f x f y. Nota: A igualdade acima nem sempre é verdadeira. 6. Uma função f(x, y) diz-se harmónica se verificar a equação seguinte, dita equação de Laplace, 2 f x + 2 f 2 y = 0. 2 Prove que as seguintes funções são harmónicas: (a) f(x, y) = arctg ( y x ) ; (b) f(x, y) = ln( x 2 + y 2 ). 7. Sejam u(x, y) e v(x, y) duas funções com derivadas de 2 a ordem contínuas. Prove que, se { ux (x, y) = v y (x, y), u y (x, y) = v x (x, y) então u é uma função harmónica. 8. Sendo w(x, y) = cos(x y) + ln(x + y) prove que 2 w x 2 2 w y 2 = Calcule todas as derivadas de 3 a ordem da função definida por z(x, y) = ln(x 2 + y 2 ). 10. Utilizando o Teorema de Schwarz, mostre que não existe nenhuma função f : R 2 R tal que f x = xy2 + 1 e f y = y2. xy Considere a função f : R 2 se x y R definida por f(x, y) = x + y. 0 se x = y Calcule f y (x, 0), f x (0, y) e mostre que f xy (0, 0) f yx (0, 0) Funções diferenciáveis e diferencial de uma função A noção de diferenciabilidade está ligada aos chamados problemas de aproximação linear. Se uma função f : D R R é diferenciável em x 0, ponto interior de D, x f(x) então numa vizinhança suficientemente pequena de x 0, a função cujo gráfico é a recta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )) dá uma boa aproximação para f. Se uma função real de 2 variáveis reais, f, é diferenciável em (x 0, y 0 ), ponto interior do domínio de f, então numa vizinhança suficientemente pequena de (x 0, y 0 ) pode substituir-se f por uma função cujo gráfico é um plano, com um erro pequeno. Veja-se então qual a definição de função diferenciável num ponto para funções reais de 2 variáveis reais. Considere-se a função f : D R 2 R (x, y) f(x, y)

39 Cristina Caldeira 35 e seja z = f(x, y) (diz-se que x e y são as variáveis independentes e z é a variável dependente). Seja (x 0, y 0 ) um ponto interior de D. Considerem-se acréscimos x e y ( x, y R) das variáveis independentes x e y tais que (x 0 + x, y 0 + y) D. Seja z o acréscimo correspondente da variável dependente z, isto é, z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). Observe-se que z é função de x e de y. P 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) P 1 = (x 0 + x, y 0 + y, f(x 0 + x, y 0 + y)) Fig Diz-se que f é diferenciável em (x 0, y 0 ) se existem as derivadas parciais de 1 a ordem de f em (x 0, y 0 ) e se existe uma bola aberta centrada em (x 0, y 0 ) e contida em D, B, tal que, para quaisquer x e y números reais tais que (x 0 + x, y 0 + y) B, se tem z = xf x (x 0, y 0 ) + yf y (x 0, y 0 ) + x ε 1 ( x, y) + y ε 2 ( x, y), (1.15) onde ε 1 e ε 2 são funções de x e y tais que ε 1( x, y) = ε 2( x, y) = 0. ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) Se S int(d) e f é diferenciável em todo o ponto de S, diz-se que f é diferenciável em S. Resulta da definição que se f é diferenciável em (x 0, y 0 ) então existem as derivadas parciais de primeira ordem de f em (x 0, y 0 ). Contudo, como se verá (exemplo ), a existência das derivadas parciais de primeira ordem de f em (x 0, y 0 ) não é suficiente para garantir a diferenciabilidade de f em (x 0, y 0 ). Esta é uma diferença importante em relação às funções reais de uma variável real, para as quais a existência de derivada no ponto garante a diferenciabilidade nesse ponto. Usar a definição para saber se uma dada função de 2 variáveis é diferenciável num ponto pode ser bastante complicado. Frequentemente usar-se-à o resultado seguinte.

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