A derivada (continuação) Aula 17

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1 A derivada (continuação) Aula 17 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 08 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Teorema (Fórmulas de Derivação) São válidas as seguintes fórmulas de derivação (f) f(x) = e x = f (x) = e x, (g) f(x) = lnx = f (x) = 1 x, x > 0. Prova do item (f). f (x) = lim h 0 e x+h e x h e h 1 pois, lim = 1. h 0 h = e x e h 1 lim = e x h 0 h

3 Prova do item (g). f (x) = lim h 0 ln(x +h) lnx h 1 ( x +h ) = lim h 0 h ln. x Fazendo u = h x temos que para h 0, u 0, assim lim (1+ ln h )1 h h 0 x ( )1 pois, lim 1+u u = e. u 0 1 = lim u 0 x ln( 1+u )1 u = 1 x lne = 1 x,

4 O seguinte Teorema fornece regras para calcular derivadas. Teorema (Regras de Derivação) Sejam f e g funções deriváveis em p e k uma constante. Então (a) kf será derivável em p e (kf) (p) = kf (p), (Regra do Múltiplo Constante) (b) f +g será derivável em p e (f +g) (p) = f (p)+g (p), (Regra da Soma)

5 (c) fg será derivável em p e (d) (fg) (p) = f (p)g(p)+f(p)g (p), (Regra do Produto) ( ) f será derivável em p, se g(p) 0 e, neste caso, teremos g ( ) f (p) = f (p)g(p) f(p)g (p) g [g(p)] 2, (Regra do Quociente).

6 f(x) = x 8 +12x 5 6x +2 = f (x) = 8x 7 +60x 4 6. f(x) = x cosx = f (x) = cosx xsenx. f(x) = x2 2 x 3 +6 = f (x) = 2x(x3 +6) (x 2 2)3x 2 (x 3 +6) 2.

7 f(x) = x n = f (x) = nx n 1, x 0, n um inteiro positivo. f(x) = log a x = f (x) = 1 x lna, x > 0. Segue utilizando a mudança de base log a x = lnx lna.

8 Encontre a equação da reta tangente curva y = ex no ponto 1+x2 (1, e 2 ). Como dy dx = ex (1 x) 2 (1+x 2 ) 2, a inclinação da reta tangente em (1, e 2 ) é dy dx (1) = 0. Logo a equação da reta tangente é y = e 2.

9 nos fornece uma fórmula para achar a derivada de uma função composta h = f g em termos das derivadas de f e g. Teorema (Regra da Cadeia) Sejam y = f(x) derivável e x = g(t) derivável com Im g D f. Seja h = f g. Então h é derivável e vale h (t) = f (g(t))g (t), para todo t D g. (1)

10 Notação alternativa. Nas condições do Teorema 3 temos y = f(x) = dy dx = f (x) = f (g(t)) x = g(t) = dx dt = g (t). Por outro lado, h(t) = f(g(t)) = f(x) = y ou seja y = h(t). Portanto dy dt = h (t). (3) Daí, substituindo (2) e (3) em (1), obtemos dy dt = dy dx dx dt, para todo t D g. (2)

11 Calcule a derivada de h(t) = cos( t). Fazendo g(t) = t e f(x) = cosx, então h(t) = f(g(t)), g (t) = 1 2 t, f (x) = sen x. Pela Regra da Cadeia, h (t) = f (g(t))g (t) = sen( t) 1 2 t. Observação: Observe que ao aplicar a Regra da Cadeia diferenciamos primeiro a função de fora f e avaliamos na função de dentro g(t) e então multiplicamos pela derivada da função de dentro.

12 Calcule a derivada de h(t) = ln(4t 2). Fazendo g(t) = 4t 2 e f(x) = lnx, então h(t) = f(g(t)), g (t) = 4, f (x) = 1. Pela Regra da Cadeia, x h (t) = f (g(t))g (t) = 1 4t 2 4 = 4 4t 2.

13 Se f(x) = e ax = f (x) = ae ax. Calcule a derivada de f(x) = sen(cos(e x )). Podemos usar a Regra da Cadeia para derivar a função exponencial de qualquer base. Seja a > 0 uma constante com a 1. Escrevemos a x = e lnax = e x lna e pela Regra da Cadeia d dx ax = d dx ex lna = e x lna d dx (x lna) = ex lna lna = a x lna. Logo (a x ) = a x lna.

14 Também podemos provar a Regra da Potência. Seja α uma constante e x > 0. Escrevemos x α = e lnxα = e αlnx e pela Regra da Cadeia Logo d dx xα = d dx eαlnx = e αlnx d dx (αlnx) = xα α 1 x = αxα 1. (x α ) = αx α 1 para todo x > 0.

15 Regra da Potência combinada com a Regra da Cadeia: para qualquer número α e g(x) diferenciável, temos d dx [g(x)]α = α[g(x)] α 1 g (x). Calcule dy dx se (a) y = ( ) 1 x x 2 +x +1 ; (b) y = x 2. +1

16 Outras aplicações da Regra da Cadeia: Suponha g(x) derivável. Então (a)[e g(x) ] = e g(x) g (x), (b)[lng(x)] = g (x) g(x), (c)[cosg(x)] = g (x)seng(x), (d)[seng(x)] = g (x)cosg(x). (a)[e x2 ] = e x2 2x, (c)[senx 5 ] = cos(x 5 )5x 4, (b)[lnx 3 ] = 3x2 x 3, (d)[sen 5 x] = 5sen 4 x cosx.

17 Podemos usar a Regra da Cadeia para calcular a derivada de uma função na forma f(x) g(x) onde f e g são deriváveis e f(x) > 0. Escrevemos f(x) g(x) = e lnf(x)g(x) = e g(x)lnf(x). Então, e portanto, [f(x) g(x) ] = e g(x)lnf(x) [g(x)lnf(x)], [f(x) g(x) ] = f(x) g(x) [g(x)lnf(x)].

18 Calcule a derivada de f(x) = x x. Escrevemos x x = e lnxx = e x lnx e aplicamos a Regra da Cadeia, [x x ] = e x lnx (x lnx) = x x (lnx +1).