Exercícios - Propriedades Adicionais do Limite Aula 10

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1 Exercícios - Propriedades Adicionais do Limite Aula 10 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 05 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Propriedades Adicionais do Limite Os próximos três teoremas são propriedades adicionais de limites. Teorema (Teste da Comparação) Se f(x) g(x) sempre que x D f \{p} e x está próximo de p e os limites de f e g quando x tende a p existem, então lim f(x) lim g(x). x p x p

3 Teorema (do Confronto) Sejam f,g,h funções, p um ponto de acumulação de D = D f D g D h e suponha que existe r > 0 tal que f(x) g(x) h(x), para x D 0 < x p < r. Se então lim f(x) = L = lim h(x), x p x p lim g(x) = L. x p

4 As funções trigonométricas são contínuas. Prova: Para qualquer p, temos que ( x p ) ( x +p ) senx senp = 2sen cos 2 2 ( x p ) x p 2 sen 2 = x p. 2 2 Como lim(x p) = 0, pelo Teorema do Confronto temos que x p lim senx senp = 0, ou seja, lim senx = senp. Logo a função x p x p seno é contínua para todo p.

5 A prova da continuidade do cosseno é feita de ( maneira similar x +p ) ( x p ) utilizando a igualdade cosx cosp = 2sen sen. 2 2 A continuidade das outras funções trigonométricas seguem das propriedades das funções contínuas.

6 Mostre que lim x 2 sen 1 x = 0. Como 1 sen 1 x 1, multiplicando por x2 temos x 2 x 2 sen 1 x x2. Sabemos que lim x 2 = 0 = lim x 2. Então, pelo Teorema do Confronto, lim x 2 sen 1 x = 0.

7 Seja f : R R tal que f(x) x 2, x R. (a) Calcule, caso exista, lim f(x). (b) Verifique se f é contínua em 0.

8 Segue do Teorema do Confronto a seguinte propriedade: Corolário Suponha que lim x p f(x) = 0 e existe M R tal que g(x) M para x próximo de p. Então lim f(x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que lim x p f(x) = 0 lim x p f(x) = 0.

9 Calcule lim x 2 g(x), onde g : R R é dada por { 1, x Q g(x) = 0, x Q. Exercício: Calcule (a) lim x sen 1 x ; (b) lim x2 cos 1 x 2.

10 (O Primeiro Limite Fundamental) sen x lim x = 1. Prova: Note que que para 0 < x < π 2 0 < sen x < x < tg x. vale a desigualdade 1 P T x A( OPA) < A(setorOPA) < A( OTA) -1 O A

11 Dividindo por sen x obtemos 1 < x sen x < 1 cosx e conseqentemente cosx < sen x < 1, pois cosx > 0 para x 0 < x < π 2.

12 Por outro lado, se π < x < 0, aplicando a desigualdade a x, 2 sen ( x) obtemos cos( x) < < 1. Daí x cosx < sen x x < 1, 0 < x < π 2. sen x Como lim cosx = 1, pelo Teorema do Confronto, lim x sen 2 x Calcule lim x 2. sen 2 x lim x 2 sen x senx = lim x x = 1. = 1.

13 Teorema Sejam f e g duas funções tais que Im(g) D f e L D f. Se f for contínua em L onde lim x p g(x) = L, então lim f(g(x)) = f( lim g(x) ) = f(l). x p x p sen5x Calcule lim. x sen5x sen 5x lim = 5 lim x 5x u=5x = 5 lim u 0 sen u u = 5.

14 tg(2x) Calcule lim. x lim tg(2x) x 1 cosx Calcule lim x 2. 1 cosx lim x 2 sen(2x) 2 = lim 2x cos(2x) = 2. (1 cosx) = lim x 2 (1+cosx) 1+cosx 1 cos 2 x 1 = lim x 2 1+cosx sen 2 x 1 = lim x 2 1+cosx = 1 2.

15 Exercício: Calcule 2x (a) lim sen(3x) ; tg(2x) (b) lim sen(3x).