Aula 13 mtm B TRIGONOMETRIA

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1 Aula 13 mtm B TRIGONOMETRIA

2 Definição Função Seno: f(x) = a ± b.sen(mx + n) Função Cosseno: f(x) = a ± b.cos(mx + n) a - Parâmetro aditivo da função. b - Parâmetro multiplicativo da função. m Parâmetro multiplicativo do ângulo. n Parâmetro aditivo do ângulo.

3 Domínio Restrições a y = sen b, b 0. par a y = cos a, a 0. y = sen par b, b > 0. Exemplos 1. f(x) = sen(5x + π) 3. h(x) = 1-3.sen( - π) 4 x D f : R D h : R + 2. g(x) = 2.cos(2/x + 2π) D g : R* 4. j(x) = 2-5.cos D j : R* + 3 x

4 Imagem Im = [a b, a + b] Exemplo 1: Encontre o intervalo que representa a imagem da 2x - 2 função f(x) = sen. 7 Resolução: seno f(x) = (1) sen f(x) = 5 2x Im f = [- 1, 5] - 1 f(x) = (- sen 1) f(x) = - 1 2x - 2 7

5 Imagem Im = [a b, a + b] Exemplo 2: Encontre o intervalo que representa a função g(x) = 1-2.cos x + 1. Resolução: ( ) g(x) = 1-2. (1) cos ( x + 1) cosseno g(x) = - 1 Im g = [- 1, 3] g(x) = 1-2. (- cos 1) ( x + 1) g(x) = 3

6 Período P = 2π m Repete a cada 2πrad. Exemplo 1: Determine o período de cada uma das funções a) f(x) = 4-5.sen(8x - 3π). Resolução: b) g(x) = 2.cos(x/4 + π). Resolução: P f = 2π 8 π = 4 P g = 2π 1 4 =8π

7 Paridade f(- x) = f(x), x R > par (simétrica em relação ao eixo y). f(- x) = - f(x), x R > ímpar (simétrica em relação a origem). f(- x) f(x), x R > sem paridade. Exemplo 1: Classifique as funções abaixo como: par, ímpar ou sem paridade. par ímpar sem paridade ímpar sem paridade par

8 Paridade Dobradinha! y = cos x y = sen x par ím par

9 Paridade Exemplo 2: 1. f(x) = sen(x - 2π) 2. f(x) = 2.sen(x - 2π) ímpar ímpar -2π π Obs.: Parâmetro multiplicativo da função, não alteram a paridade. - 2

10 Paridade Exemplo 3: 1. f(x) = cos(x) 2. f(x) = cos(x/2) par par Obs.: Parâmetro multiplicativo do ângulo, não alteram a paridade. 1-4π -2π 2π 4π - 1

11 Paridade Exemplo 4: 1. f(x) = sen(x) 2. f(x) = sen(x - π) 3. f(x) = sen(x + π/2) ímpar ímpar par Obs.: Parâmetro aditivo do ângulo do tipo kπmantém a paridade. -2π -π π 1-1 2π Parâmetro aditivo do ângulo do tipo kπ/2 trocam a paridade (funções pares tornam-se ímpares e vise-versa).

12 Paridade Exemplo 5: 1. f(x) = sen(x) ímpar 2. f(x) = 2 + sen(x) sem paridade -2π π Obs.: Se a função é senóide, o parâmetro aditivo da função tira a paridade da mesma, ficando esta sem paridade.

13 Paridade Exemplo 6: 1. f(x) = cos(x) par 2. f(x) = -1 + cos(x) par -2π π Obs.: Se a função é cossenóide, o parâmetro aditivo da função não altera a paridade, ou seja, a função continua sendo par.

14 Paridade Exemplo 7: Classifique a função y = sen(x + k) como par, ímpar ou sem paridade. a) k = 3π ímpar b) k = 11π/2 c) k = - 200π d) k = -13π/2 e) k = π/11 f) k = π/4 par ímpar par sem paridade sem paridade

15 Paridade Exemplo 7: (FUVEST) Identifique a função abaixo que é ímpar: π a) f(x)= sen x - 2 b) f(x)=1+ sen x π c)f(x)= sen 2x - 4 d) f(x)= 4 - senx e) f(x)= 3sen( x + π2 ) Gabarito: e

16 Começo e Final da Senóide e da Cossenóide Começo: (mx + n) = 0 ângulo da função Final: (mx + n) = 2π ângulo da função Exemplo 1: Encontre o valor que corresponde ao começo e ao final de cada uma das seguintes funções. a) f(x) = 3-2.sen(2x - 4π) Resolução: Começo: 2x - 4π = 0 2x = 4π x = 2π Final: 2x - 4π = 2π 2x = 6π x = 3π

17 Começo e Final da Senóide e da Cossenóide Começo: (mx + n) = 0 ângulo da função Final: (mx + n) = 2π ângulo da função Exemplo 1: Encontre o valor que corresponde ao começo e ao final de cada uma das seguintes funções. b) g(x) = 3.cos(4x +π) Resolução: Começo: 4x +π = 0 4x = -π x = -π/4 Final: 4x +π = 2π 4x = π x = π/4

18 Problemas 1) Analisar a função f(x) = sen(2x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico. Resolução: D f = R Im f = [- 1, 3] f(x) = (1) sen(2x) = 3 f(x) = (- sen(2x) 1) = - 1 Gráfico P = 2π 2 = π -π -π/2 0 π/2 π Paridade = Sem paridade - 1

19 Problemas 2) Dado o gráfico abaixo, encontre a lei de formação da função. Resolução: 3 Começa do meio, então é uma senóide. 2 f(x) = a ± b.sen(mx + n) 1 O início está sobre o eixo y, então n = 0. O eixo de simetria está em y = 1, então a = 1. -π -π/2 0-1 π/2 π A amplitude em relação ao eixo de simetria são 2 unidades, assim b = 2. Positivo, pois, começa crescendo. O período é π, logo m=2. f(x) = sen(2x)

20 Problemas π 3) Analisar a função f(x) = 3.sen x+, quanto ao domínio, 6 imagem, período, paridade e gráfico. Resolução: D f = R Im f = [- 3, 3] π f(x) = 3.(1) sen= x 3 + f(x) = 3. π (- 1) = - 3 sen 6 x + 6 P = 2π 1 =2π

21 Problemas π 3) Analisar a função f(x) = 3.sen x+, quanto ao domínio, 6 imagem, período, paridade e gráfico. Resolução: D f = R Im f = [- 3, 3] P = 2π Gráfico Começo: x + π/6 = 0 x = -π/6 Paridade = Sem paridade 3 Final: x + π/6 = 2π x = 11π/6-13π/6 -π/6 11π/6-3

22 Problemas 4) Analisar a função f(x) = cos(3x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico. Resolução: D f = R Gráfico Im f = [- 3, -1] -2π/3-2π/6 2π/6 2π/3 f(x) = - 2 -(1) cos(3x) = f(x) = - 2 -(- cos(3x) 1) = P = 2π 3 2π = 3-2 Paridade = par - 3

23 Aula 13 mtm B FIM