Funções. Para começarmos, precisamos de algumas definições: Dessa forma, já temos conteúdo suficiente para definirmos o assunto principal:

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1 Funções 1 Introdução Para começarmos, precisamos de algumas definições: Par ordenado: conjunto de dois números reais em que a ordem dos elementos importa, ou seja, (1, 2) (2, 1). Utilizaremos essa definição para a representação de pontos no plano cartesiano, em que o primeiro elemento representa o valor de x e o segundo representa o valor de y. Relação: Uma relação de A em B é o conjunto formado por todos os pares (x,y), tais que x A e y B que assumem uma determinada propriedade p(x,y). Dessa forma, já temos conteúdo suficiente para definirmos o assunto principal: Função é a relação f de A em B tal que x A,!y B tal que (x, y) f. Geralmente representada por, no caso de funções de apenas uma variável, f(x) = y, ou seja, aplicando determinada propriedade em x, o transformamos em y. Essa propriedade pode ser explícita ou implícita (ou equação funcional), como motram os exemplos abaixo: f(x) = k f(x) = ax 2 + bx + c f(a + b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a) + f(b) Uma função geralmente é representada da seguinte forma: f : A B onde A é chamado domínio (D f ) e B, contra-domínio (CD f ). 1

2 Domínio: conjunto de valores em que a função pode ser aplicada. Contra-domínio: qualquer conjunto que contenha o conjunto imagem (Im f ). Conjunto imagem: subconjunto do contra-domínio formado por todos os valores que a função pode assumir quando aplicada a elementos do domínio. Pode ser representado pelo seguinte conjunto, representado pelo pontilhado na figura 1. Im f = {y B f(x) = y; x A} Figura 1: Exemplo de diagrama de funções 2 Classificação de Funções Sendo: f : A Bef(x) = y Injetora: Sobrejetora: (injetora) ( (x 1, x 2 ) A 2 x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) (sobrejetora) ( y B, x A f(x) = y) 2

3 Bijetora: Injetora e Sobrejetora Paridade: (bijetora) ( y B,!x A f(x) = y) 1. Par: Gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y. (par) ( x A ( x) A f( x) = f(x)) 2. ímpar: Gráfico da função é simétrico em relação à origem. Obs: (ímpar) ( x A ( x) A f( x) = f(x)) (a) (f é par e ímpar) (f(x) = 0, x A)). (b) Toda função pode ser escrita como a soma de uma função par com uma ímpar. Periodicidade: (periódica) ( p 0(real ) x A (x+p) A f(x) = f(x+p)) Preíodo principal: menor valor de P. f(x) = a + b.sen(cx + d) = P = 2π c f(x) = a + b.cos(cx + d) = P = 2π c f(x) = a + b.tg(cx + d) = P = π c Monotonicidade: 1. Estritamente crescente: 2. Crescente: x 1 > x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ), (x 1, x 2 ) A 2, x 1 x 2 3. Constante: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), (x 1, x 2 ) A 2, x 1 x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ), (x 1, x 2 ) A 2, x 1 x 2 3

4 4. Decrescente: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), (x 1, x 2 ) A 2, x 1 x 2 5. Estritamente decrescente: x 1 > x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ), (x 1, x 2 ) A 2, x 1 x 2 Obs: No primeiro e no último itens as funções são injetoras. 3 Composição de Funções f : A B g : C D E = { x A f(x) C} Se E = g f é a função composta de f com g. No caso da figura 2, A = X, B = C = Y e D = Z: Figura 2: Exemplo de diagrama de funções compostas Obs: 1. f g(x) g f(x). 2. h (g f)(x) = (h g) f(x). 3. Se f e g são injetoras, g f é injetora. 4. Se f e g são sobrejetoras, g f é sobrejetora. 5. Se g f ínjetora então f é injetora. 6. Se g f śobrejetora então g é sobrejetora. 4

5 4 Funções Inversas Uma função f é inversível se sua relaçao inversa é função, ou seja, se, sendo f(x) = y uma função, f 1 (y) = x também for. Dessa definição, temos a seguinte propriedade: Obs: fé inversível fé bijetora 1. f 1 = f 1 f(x) = x. 2. f e f 1 são simétricas em relação à reta y = x. 5 Gráfico de uma Função O gráfico de uma função f : A B é o seguinte conjunto de pontos (Figura 3): G = {(x, f(x)), x A} Figura 3: Exemplo do gráfico da função f(x) = x 5

6 6 Principais Funções Para essas funções, denotaremos: R como o conjunto dos números reais. Período como o "período principal". Domínio como o domínio máximo. 1. Função constante: f(x) = k Domínio: D f = R Imagem: Im f = {k} Paridade: Função par Período principal não definido Monotonicidade: Função Constante f 1 (y) Gráfico: Figura 4 Figura 4: Gráfico da função constante f(x) = k 2. Função Afim: f(x) = ax + b 6

7 Domínio: D f = R Imagem: Im f = R { ímpar b = 0 Paridade: nem ímpar, nem par b 0 Sem período Monotonicidade: f 1 (y) = y b a Gráfico: Figura 5 { Extritamente Crescente a > 0 Extritamente Decrescente a < 0 Figura 5: Gráfico da função afim f(x) = ax + b 3. Função Quadrática: f(x) = ax 2 + bx + c Domínio: D f = R {[ 4a Imagem: Im f = ; + ) if a > 0 ( ] ; if a < 0 4a { par b = 0 Paridade: nem ímpar, nem par b 0 Sem período Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio. f 1 (y) em todo o domínio. Gráfico (D = ): Figura 6 7

8 Forma fatorada: f(x) = a(x r 1 )(x r 2 ), sendo r 1 e r 2 as raízes. Forma vértice: f(x) = a(x x V ) 2 + y V, sendo (x V, y V ) o vértice. 4. Função Polinomial: f : R Rf(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n Domínio: D f = R Imagem: R ímpar Im f = [y V, + ) a 0 > 0 (, y V ] a 0 < 0 Sendo y V a ordenada do vértice extremo do gráfico da função. Paridade: Figura 6: Gráfico da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c 8

9 par e ímpar ímpar a i = 0, i = 0, 1, 2,..., n n ímpar e a i = 0, i = 1, 3,..., n par par e a i = 0, i = 1, 3,..., n 1 nem par, nem ímpar outros casos Sem período Monotonicidade: Extritamente crescente a 0 > 0, n ímpar e f(x) = a 0 (x r) n Extritamente decrescente a 0 < 0, n ímpar e f(x) = a 0 (x r) n Sem classificação outros casos Sendo r a única raiz da função. Para os casos em que a função é extritamente crescente ou decrescente: ( y f 1 (y) = a 0 ) 1 n + r Gráfico: Muito genérico para ser desenhado, mas podemos descrevêlo: Cruza o eixo y em a n. Cruza o eixo x em k pontos, que são as raízes reais, com k n. Os gráficos são retas somente nos casos de n = 0 e n = 1, já estudados. 5. Função Recíproca: f(x) = 1 x Domínio: D f = R\{0} Imagem: Im f = R\{0} Paridade: ímpar Sem período Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio. f 1 (y) = 1 y. Gráfico: Hipérbole Equilátera (figura 7 Obs: Através do gráfico dessa função, pode ser definida a função logarítimica. Já que, como será visto mais adiante: 9

10 6. Função Modular: Domínio: D f = R x 1 1 dx = ln(x) x f(x) = x ou f(x) = Imagem: Im f = [0; + ) Paridade: Par Sem período { x x 0 x x < 0 Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio. f 1 (y) para todo o domínio. Gráfico: Figura 8 7. Função Exponencial: f(x) = a x, a > 0, a 1 Domínio: D f = R Imagem: Im f = [0; + ) Paridade: Nem par, nem ímpar. Figura 7: Gráfico da função recíproca f(x) = 1 x 10

11 Sem período Monotonicidade: { Extritamente decrescente 0 < a < 1 Extritamente crescente a > 1 f 1 (y) = log a y. Gráfico: Figura 9 Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas propriedades serão exploradas: x = 0 = f(x) = 1 ou a 0 = 1 x = 1 = f(x) = a ou a 1 = a f(x).f(y) = f(x + y) ou a x.a y = a x+y f(x) = f(x y) ou a x = a x y f(y) a y f(x) y = f(xy) ou (a x ) y = a xy 1 = f( x) ou 1 = a x f(x) a x a x.b x = (ab) x Essa função, com a = e (número de Euler), pode ser aproximada pela série de Taylor para a seguinte soma: e x = n=0 x n n! Figura 8: Gráfico da função modular f(x) = x 11

12 Uma importante equação, que relaciona a função exponencial com a trigonometria é a fórmula de Euler, dada por: e iθ = cos(θ) + i.sen(θ) Com essa relação será possível a dedução das fórmulas de sen(nθ) e cos(nθ), para qualquer valor de θ. Mas esse exercício fica a cargo do leitor na sessão de desafios da apostila de trigonometria. Dessa fórmula, tiramos uma expressão que relaciona 5 dos mais importantes números da matemática, ao substituirmos θ por π: e iπ + 1 = 0 8. Função Logarítimica: f(x) = log a x, a > 0, a 1 Domínio: D f = R + \{0} Imagem: Im f = R Figura 9: Gráfico da função exponencial f(x) = a x 12

13 Paridade: Nem par, nem ímpar. Sem período Monotonicidade: { Extritamente decrescente 0 < a < 1 Extritamente crescente a > 1 f 1 (y) = a y. Gráfico: Figura 10 Figura 10: Gráfico da função logarítimica f(x) = log a x Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas propriedades serão exploradas: x = 1 = f(x) = 0 ou log a 1 = 0 f(x) + f(y) = f(xy) ou log a (xy) = log a (x) + log a (y) ( ) ( ) f = f(x) f(y) ou log a = log a (x) log a (y) x y f(x y ) = y.f(x) ou log a (x y ) = y.log a (x) Mudança de base: log b x = logax log ab 9. Função seno: f(x) = sen(x) x y Domínio: D f = R (x em radianos) 13

14 Imagem: Im f = [ 1; 1] Paridade: Função ímpar Período: P = 2π Monotonicidade: Sem classificação f 1 (y) em todo o domínio, porém, para D = [ π 2 ; π 2 ], define-se f 1 (y) = arcsen(y) Gráfico: Figura 11 Figura 11: Gráfico da função seno f(x) = sen(x) Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a seguinte soma: sen(x) = 10. Função cosseno: f(x) = cos(x) n=0 ( 1) n (2n + 1)! x2n+1 Domínio: D f = R (x em radianos) Imagem: Im f = [ 1; 1] Paridade: Função par Período: P = 2π Monotonicidade: Sem classificação f 1 (y) em todo o domínio, porém, para D = [0; π], define-se f 1 (y) = arccos(y) 14

15 Figura 12: Gráfico da função cosseno f(x) = cos(x) Gráfico: Figura 12 Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a seguinte soma: cos(x) = 11. Função tangente: f(x) = tg(x) n=0 ( 1) n (2n)! x2n Domínio: D f = {x R x π + Kπ, K Z} (x em radianos) 2 Imagem: Im f = R Paridade: Função ímpar Período: P = π Monotonicidade: Sem classificação f 1 (y) em todo o domínio, porém, para D = ] π 2 ; π 2 [, define-se f 1 (y) = arctg(y) Gráfico: Figura 13 Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a seguinte expressão: tg(x) = sen(x) cos(x) = n=0 n=0 ( 1) n (2n+1)! x2n+1 ( 1) n (2n)! x2n 15

16 Referências Livro: Mtemática - Temas e Metas Volume 6 - Funções e Derivadas - Antonio dos Santos Machado Livro de Matemática do Sistema de Ensino Poliedro Figura 13: Gráfico da função tangente f(x) = tg(x) 16