Unidade 2 Funções Trigonométricas Inversas. Introdução Função Arco Seno Função Arco Cosseno Função Arco Tangente

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1 Unidade 2 Funções Trigonométricas Inversas Introdução Função Arco Seno Função Arco Cosseno Função Arco Tangente

2 Introdução Imagine que dois barcos saiam de um mesmo porto, simultaneamente e em linha reta, com velocidades constantes de 40 km/h. Após duas horas, a distância entre os dois barcos é de 120km. Qual é a medida aproximada do ângulo formado pela trajetória dos dois barcos?

3 Introdução Podemos resolver o problema, utilizando o teorema dos cossenos. a² = b² + c² + 2.bc.cos(α) 120² = 80² + 100² cos(α) = cos(α) = cos(α) cos(α) = 1/8 = 0,125

4 Introdução O ângulo para qual o cosseno é igual a 1/8 = 0,125 não é notável, ou seja, é diferente de 30º, 45º e 60º e das extremidades dos quadrantes. Podemos representar o ângulo (α) cujo é igual a 1/8 por α = arc cos(1/8) Para determinar o valor aproximado(α), podemos utilizar uma tabela de razões trigonométricas ou, então uma calculadora cientifica. Esta última nos fornece a resposta com precisão.

5 Introdução As teclas utilizadas para determinarmos a medida de um ângulo, conhecido o seu seno, cosseno ou tangente, são aquelas em que aparecem a respectiva função elevada a -1

6 Introdução Considerando-se o problema anterior, se a calculadora estiver programada para fornecer a resposta em graus, a medida do ângulo formado o pelas trajetórias dos barcos é aproximadamente igual a 83º, ou seja cos 83º 1/8.

7 Função arco-seno

8 Função Arco-seno Considere uma função f qualquer. É sempre possível determinar uma função g, inversa da função f? Para responder a essa pergunta, vamos resolver as atividades a seguir?

9 Função Arco-seno Seja a função f: R R, definida por f(x) = x²: a) Quais valores de f(2) e f(-3)? F(2) = 2² = 4 F(-3) = (-3)² = 9 b) Existe algum valor real de x para o qual f(x) = -4 e f(x) = -9 Não, pois x² = -4 ou x² = -9, o valor de x não é real. c) Existe uma função inversa g, inversa da função f? Os valores negativos pertencentes ao contradomínio de f não serão imagens de qualquer elemento do domínio do domínio de f. Portanto, a função inversa não existe.

10 Função Arco-seno Você se lembra? Para que uma função f: A B admita uma função inversa g: B A, necessário que ela seja bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Uma função é injetora se dois elementos distintos pertencentes ao contradomínio. Em símbolos, dados x 1 e x 2, pertencentes ao contradomínio da função, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Uma função é sobrejetora se todo elemento pertencente ao contradomínio é imagem de algum elemento pertencente ao domínio. Para as duas condições anteriores sejam satisfeitas, todo elemento pertencente ao contradomínio deve ser imagem de um único elemento pertencente ao domínio.

11 Função Arco-seno A função seno não injetora, pois existem infinitos arcos para os quais o seno apresenta o mesmo valor. Sendo assim, também não bijetora e não admite inversa. Para definirmos a função inversa da função seno, devemos restringir o domínio da última a fim de torná-la bijetora.

12 Função Arco-seno Conceito Seja f π π : -, 2 2 [ ] π π A função g : 2 2 é denominada função inversa da -1,1, definiada por f(x) = sen (x). [-1,1] -,, definida por g( x) = arc sen( x) função seno ou função arco -seno.

13 Função Arco-seno Exemplo de aplicação 1. Considere a função f : π 2 π 2 [-1,1] -,, definiada por f(x) arc sen (x). 1 1 a) Determine os valores de f(-1), f, f(0), f(1), f. 2 2 π f(-1) = π 2 f(1) = 2 1 π f = 1 π 2 6 f = 2 6 f(0) = 0

14 Função Arco-seno Exemplo de aplicação b) Esboce o gráfico da função f

15 Função Arco-seno Exemplo de aplicação 2. Calcule o valor de cos Seja arc sen Assim, sen Por meio da sen = α 5 13 arc sen 5 13 ( α ) = e procuramos o valor de cos ( α ). relação fundamental 2 ( α ) + cos ( α ) = 1 trigonométrica, 5 13 cos cos cos ( α ) ( α ) ( α ) + cos = ( α ) cos = 2 = = 169 ( α ) =

16 Função arcocosseno

17 Função Arco-cosseno Conceito Seja f : A função g : [ 0, π ] [-1,1], definiada por f(x) = cos (x). [-1,1] [ 0, π ], definida por g( x) = arc cos( x) é denominada função inversa da função cosseno ou função arco - cosseno.

18 Função Arco-cosseno 1. Considere a função f : π [-1,1] [ 0, ], definiada por f(x) arc cos (x). 1 1 a) Determine os valores de f(-1), f, f(0), f(1), f. 2 2 f(-1) = π 1 f = 2 π f(0) = 2 2π 3 f(1) = 0 f 1 2 = π 3

19 Função Arco-seno Exemplo de aplicação b) Esboce o gráfico da função f

20 Função Arco-seno Exemplo de aplicação 2. Determine o domínio da função h(x) = arc cos(x + 1) Observe que se y = arc cos (x + 1) então cos (y) = x + 1 Mas -1 cos (y) 1 e, portanto, -1 x Então: -1-1 x x 0 Assim, o domínio da função h é [-2, 0]

21 Função Arco- Tangente

22 Função Arco-Tangente Conceito π π Seja f : -,, definiada por f(x) = tg (x). 2 2 R π π A função g : R -,, definida por g( x) = arc tg( x) 2 2 é denominada função inversa da função tangente ou função arco - tangente.

23 Função Arco-Tangente Exemplo de Aplicação π π 1. Considere a função f : R -,, definiada por g(x) = 2 2 arc tg (x). a) Determine os valores de f(- 3), f f(- f ( 0) π 3) = - 3 = 0 π f( 3) = 3 π f(-1) = - 4 π f(1) = 4 ( 1 ), f(0), f(1), f ( 3).

24 Função Arco-Tangente Exemplo de Aplicação b) Esboce o gráfico da função f