Derivada - Parte 2 - Regras de derivação

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1 Derivada - Parte 2 - Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero Derivada 1 / 36

2 Sumário 1 Wellington D. Previero Derivada 2 / 36

3 1 Wellington D. Previero Derivada 3 / 36

4 Teorema 2 (Regra da função constante) Se f tem o valor constante f (x) = c, então d [c] = 0. dx Wellington D. Previero Derivada 4 / 36

5 Teorema 3 (Regra da potência) Se n é um número inteiro positivo, então d dx [x n ] = nx n 1. Wellington D. Previero Derivada 5 / 36

6 Teorema 4 (Regra da potência) Se n é um número real qualquer, então d dx [x n ] = nx n 1. Wellington D. Previero Derivada 6 / 36

7 Exercício 4 Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) = 5 b) f (x) = x 3 c) f (x) = 1 x 2 d) f (x) = x, para x > 0 e) f (x) = 3 x 2 Wellington D. Previero Derivada 7 / 36

8 Teorema 5 (Multiplicação por uma constante) Se f é uma função diferenciável e c um número real, então d dx [cf (x)] = c d [f (x)]. dx Wellington D. Previero Derivada 8 / 36

9 Teorema 6 (Regra da soma e diferença) Se f e g forem ambas diferenciáveis, então d dx [f (x) + g(x)] = d dx [f (x)] + d dx [g(x)] d dx [f (x) g(x)] = d dx [f (x)] d dx [g(x)]. Wellington D. Previero Derivada 9 / 36

10 Exercício 5 Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) = x 3 4x + 5 b) f (x) = x x 3 2x c) f (x) = 5 + x 3 x π Wellington D. Previero Derivada 10 / 36

11 Exercício 6 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = 2 4 x 3 no ponto (1, 2). Wellington D. Previero Derivada 11 / 36

12 Exercício 6: resposta Wellington D. Previero Derivada 12 / 36

13 Teorema 7 (Regra do produto) Se f e g forem ambas diferenciáveis, então d dx [f (x) g(x)] = f (x) d dx [g(x)] + g(x) d [f (x)]. dx Wellington D. Previero Derivada 13 / 36

14 Teorema 8 (Regra do quociente) Se f e g forem ambas diferenciáveis e g(x) 0, então d dx [ ] f (x) g(x) d = dx [f (x)] f (x) d dx [g(x)] g(x) [g(x)] 2. Wellington D. Previero Derivada 14 / 36

15 Exercício 7 Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (x) = (x 3 2x)(x + 1) b) f (x) = x 2 1 x 4 +1 c) f (x) = 1 5x+1 Wellington D. Previero Derivada 15 / 36

16 Exercício 8 Determine equações para as retas que são tangentes ao gráfico da função f (x) = x+1 x 1 e que são paralelas à reta 2y + x = 6. Wellington D. Previero Derivada 16 / 36

17 Exercício 8: resposta Wellington D. Previero Derivada 17 / 36

18 Teorema 9 (Derivada das funções seno e cosseno) a) d [senx] = cos x dx b) d [cos x] = senx dx Wellington D. Previero Derivada 18 / 36

19 Teorema 10 (Derivada de outras funções trigonométricas) a) d dx [tgx] = sec2 x b) d [sec x] = sec xtgx dx c) d dx [cotgx] = cossec2 x d) d [cossecx] = cossecxcotgx dx Wellington D. Previero Derivada 19 / 36

20 Exercício 9 Calcule a derivada das funções abaixo: a) f (t) = t 2 sent b) f (x) = cos x x c) g(t) = 3 t + 8cossect Wellington D. Previero Derivada 20 / 36

21 Exercício 10 Determine os pontos onde o gráfico da função y = x + senx, para 0 x 2π, tem uma reta tangente horizontal. Wellington D. Previero Derivada 21 / 36

22 Exercício 10: resposta Wellington D. Previero Derivada 22 / 36

23 Derivadas de ordem superior Se a derivada f de uma função f for ela mesmo diferenciável, então a derivada de f será denotada for f, sendo chamada de derivada de segunda ordem de f. À medida que tivermos a diferenciabilidade, o processo pode ser repetido, obtendo derivadas de maior ordem. Notação: f, f, f, f (4), dy dx, d 2 y, d 3 y, d 4 y, dx 2 dx 3 dx 4 Wellington D. Previero Derivada 23 / 36

24 Exercício 11 Sendo y = x+1 x, determine d 2 y. dx 2 Exercício 12 Mostre que y = x 3 + 3x + 1 satisfaz y + xy 2y = 0. Wellington D. Previero Derivada 24 / 36

25 Exercício 11 Sendo y = x+1 x, determine d 2 y. dx 2 Exercício 12 Mostre que y = x 3 + 3x + 1 satisfaz y + xy 2y = 0. Wellington D. Previero Derivada 24 / 36

26 Regra da cadeia Teorema 11 (Regra da cadeia) Se f e g forem diferenciáveis e F(x) = (f g)(x), então F é diferenciável e F é dada pelo produto F (x) = f (g(x)) g (x). Ou de forma equivalente, se y = f (u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis, então dy dx = dy du du dx. Wellington D. Previero Derivada 25 / 36

27 Regra da cadeia Exercício 12 Calcule a derivada das funções: a) y = (5x 2 + x 1) 20 b) y = x c) y = cos(2x + 5) d) y = 1 x 1 e) y = sen 2 x f) y = tg x g) y = x 2 sec 1 x h) y = sen t t+1 Wellington D. Previero Derivada 26 / 36

28 Derivação implícita Função explícita: quando a equação da forma y = f (x) em que a variável y é expressa explicitamente em termos da variável x. f (x) = x + 1 g(x) = x 2 + 2x 1 Função implícita: quando não podemos colocar uma equação F(x, y) = 0 na forma y = f (x). x 2 + y 2 = 25 y 2 x = 0 x 3 + y 3 9xy = 0 Wellington D. Previero Derivada 27 / 36

29 Derivação implícita Cálculo da derivada implícita: Substitua y por f (x). Derive os dois lados da equação em relação a x, considerando y uma função derivável em x. Quando necessário, aplique a regra da cadeia para derivar o termo f (x). Reúna os termos que contém dy dx Volte para a variável y. em um lado da equação. Wellington D. Previero Derivada 28 / 36

30 Derivação implícita Exercício 13 Encontre dy dx : a) x 2 + y 2 = 25 b) x 3 + y 2 = 6xy Wellington D. Previero Derivada 29 / 36

31 Derivação implícita Exercício 14 Encontre a reta tangente e a reta normal a curva x 3 + y 3 9xy = 0 no ponto (2, 4). Wellington D. Previero Derivada 30 / 36

32 Derivação implícita Exercício 14 Encontre a reta tangente e a reta normal a curva x 3 + y 3 9xy = 0 no ponto (2, 4). Wellington D. Previero Derivada 30 / 36

33 Derivada de funções logarítmicas Teorema 12 (Derivada de funções logarítmicas) A derivada da função y = log a x, para x > 0 é dada por d dx [log a x] = 1 x ln a. Observação: Se a base a = e, então d dx [ln x] = 1 x. Wellington D. Previero Derivada 31 / 36

34 Derivada de funções logarítmicas Teorema 13 (Derivada de funções logarítmicas) A derivada da função y = log a f (x), para f (x) > 0 é dada por d dx [log a f (x)] = 1 f (x) ln a f (x). Wellington D. Previero Derivada 32 / 36

35 Derivada de funções logarítmicas Exercício 15 Calcule a derivada das funções logarítmicas: a) y = ln( x) b) y = ln(senx) c) y = ln x x 2 Wellington D. Previero Derivada 33 / 36

36 Derivada de funções exponenciais Teorema 14 (Derivada de funções exponencias) A derivada da função y = a x, para a > 0 é dada por d dx [ax ] = a x ln a Observação: Se a base a = e, então d dx [ex ] = e x. Wellington D. Previero Derivada 34 / 36

37 Derivada de funções exponenciais Teorema 15 (Derivada de funções exponencias) A derivada da função y = a f (x), para a > 0 é dada por d dx [af (x) ] = a f (x) ln a f (x). Wellington D. Previero Derivada 35 / 36

38 Derivada de funções logarítmicas Exercício 16 Calcule a derivada das funções exponenciais: a) y = e 2x b) y = e cos x c) y = x 3 e x Wellington D. Previero Derivada 36 / 36