Integrais indefinidas

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1 Integrais indefinidas que: Sendo f(x) e F(x) definidas em um intervalo I R, para todo x I, dizemos F é uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F (x) = f(x) Exemplos: F(x) = x é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = x, pois F (x) = x. F(x) = x + 7 é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = x, pois F (x) = x. F(x) = x + ½ é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = x, pois F (x) = x. F(x) = x é uma antiderivada (primitiva) de f(x) =, pois F (x) =. F(x) = e x é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = e x, pois F (x) = e x. Observação: Se F é antiderivada de f em I, e c é uma constante, então F + c também é uma antiderivada de f em I. De fato, se F (x) = f(x), para todo x I, então [F(x) + c] = F (x) = f(x), e portanto F(x) + c também é uma antiderivada de f(x) em I. Assim, por exemplo = x, x + 7, x + ½, são primitivas de f(x) = x. Proposição 1: Seja F(x) uma função primitiva da função f(x) e c uma constante qualquer. A função G(x) = F(x) + c também é uma primitiva de f(x). Proposição : Se f (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f(x) é constante em I. Proposição 3: Se F(x) e G(x) são antiderivadas (primitivas) de uma função contínua f, então existe uma constante c tal que G(x) = F(x) + c, para todo x I. Definição 1: (Integral Indefinida) Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x)+c é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por: A ligação que existe entre derivadas e integrais permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, obtém-se as chamadas integrais imediatas.

2 Integrais Imediatas 1. du u c 15. cosec u du cotg u c. 3. n1 n u u du c, n 1 n 1 1 du ln u c u du 1 u 16. arc tg c u a a a du 1 u a 17. ln a u a u a c u u a 4. a du c, a 0, a 1 ln a 18. du ln u u a c u a 5. u u e du e c 6. sen u du cos u c 7. cos u du sen u c 8. tg u du ln sec u c 9. cotg u du ln sen u c 10. sec u du ln sec u tg u c 11. cosec u du ln cosec u cotg u c 1. sec u tg u du sec u c 13. cosec u cotg u du cosec u c 14. sec u du tg u c du 1 arc sec u u a a a du 1 a a u ln u a u a u du u c u arc sen c, u a c a u a. senh u du cosh u c 3. cosh u du senh u c sec h u du tgh u c cosech u du cotgh u c 6. cosech u cotgh u du cosech u c 7. sech u tgh u du sech u c Propriedades da integral indefinida Sejam f, g: IR e c 0 uma constante. Então: a. cf ( x) c f ( x) b. f ( x) g( x) f ( x) g( x)

3 Exemplos: a) 3x 5 x b) x 3 x7 x c) x e x x d) x 1 x e) x 3x 4 3 x 1 4

4 1 f) cos ( x) g) cos sec t t tg t dt h) sec ( x) cossec( x) i) cot g( x) 3 sen ( x) sen( x) j) cot 4 tg t g t dt

5 k) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4+5t /3 habitantes por mês. Se a população atual é habitantes, qual será a população daqui a 8 meses? l) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido de carbono no ar estará aumentando a razão de 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?

6 Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração Utilizando regras de integração, é possível encontrar a primitiva de algumas funções. Entretanto, o que acontece quando temos que encontrar a primitiva de funções do tipo: x 1 x Método da substituição (Mudança de variável): Seja F(x) uma primitiva de f(x) em um intervalo I e g uma função derivável tal que Fog esteja definida. Usando a Regra da Cadeia, temos: (F(g(x))) = F (g(x)).g (x) = f(g(x)).g (x). Logo, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)).g (x). Então: ( ) [ ] ( ) Fazendo u=g(x) tem-se du=g (x) temos: ( ) [ ] Exemplos: a) x 1 x b) 5x 7 c) 3 7 (x 1) x

7 x d) 1 x e) (ln x) x t e f) dt t cos ( e ) g) sen( x 7) h) sen( x) x

8 i) sen ( x) cos( x) j) ( sec (3 )) x x k) 5 1 x x l) t t dt 4

9 m) x 6x13 n) x x 1 OBS: Utilizando a Regra da Substituição é possível obter a integral imediata de algumas funções trigonométricas. Exemplos: a) tg x

10 b) cotg x c) sec x d) cosec x Exercícios: a) 3 4 x cos x f) 5 sen x cos x b) c) d) e) xln x sec x 3 tg x 1 cos(ln x) x x x sen g) h) i) ( 1) ( 1) x sen x tg x tg sec x x x j) sec(5 x )

11 Método da Integração por Partes A integração por partes corresponde a regra do produto para a derivação. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I R. Então, para cada x em I, temos: [f(x) g (x)] = f (x) g (x) + g(x)f (x) f (x) g (x) = [f(x) g(x)] - g(x) f (x) Integrando ambos os lados desta equação: f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x g x f x Sendo: u = f(x) du = f (x) dv = g (x) v = g(x) podemos escrever a formula da integração por partes, expressa por: Exemplos: a) ln x

12 b) x senx c) xln x d) x xe

13 Uma estratégia para integrar por partes Ao integrar f x g x, devemos sempre escolher, dentre as duas funções da expressão f(x)g(x), uma delas como sendo o fator u e a outra como parte de uma diferencial dv. Esta escolha deve ser feita de modo que ao passarmos da integral udv para a integral vdu, passemos a uma integral mais simples de ser calculada. Uma sugestão que funciona bem na grande maioria das vezes é escolher as funções u e dv segundo o critério: ( Publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Monthly ) L I A T E Logarítmicas Inversas de trigonométricas Algébricas elementares Trigonométricas exponenciais Estratégia: Escolher entre as duas funções como: função u: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à esquerda no anagrama; diferencial dv: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à direita no anagrama. Resumindo: u deve caracterizar-se pela letra mais próxima de L, e dv pela letra mais próxima de E. Exemplos a) t ln t dt

14 b) x sen 4x c) t t e dt

15 d) x e sen x e) sen (ln x)

16 Integração de algumas funções envolvendo funções trigonométricas Algumas identidades trigonométricas serão utilizadas para integrar certas combinações de funções trigonométricas. Integrais da forma m sen x e cos n x Identidades trigonométricas utilizadas: sen (x) + cos (x) = 1 (identidade trigonométrica) (ângulo-metade) (ângulo-metade) com m e n inteiros não negativos Para potências de seno e cosseno ímpares, fazemos: n m m1 sen x sen x senx n1 cos cos cos x x x Em seguida, utiliza-se a identidade trigonométrica sen (x) + cos (x) = 1 para chegar a uma fórmula fácil de integrar. Se as potências de seno e cosseno são pares, utilizamos as identidades dos ângulos-metades. Algumas vezes pode ser útil utilizar a identidade. m n Para nas integrais da forma sen x cos x com m e n inteiros não negativos, quando pelo menos um dos expoentes é ímpar, usamos a identidade trigonométrica e, quando os dois expoentes são pares, usamos as identidades dos ângulos-metade. Algumas vezes pode ser útil utilizar. Exemplos: a. 5 cos x

17 b. sen 4 ( x) c. sen 3 d d. 3 4 cos ( x) sen x

18 e. 4 sen ( x)cos ( x) f. 4 4 sen ( x)cos ( x)

19 Integrais da forma m tg x e cotg n x com m e n inteiros não negativos Identidades trigonométricas utilizadas: tg (x) = sec (x) 1 cotg (x) = cossec (x) - 1 Os artifícios utilizados consistem em: m m m tg x tg xtg x tg x (sec x 1) n n n cotg x cotg x cotg x cotg x (cos sec x 1) Exemplos: a) 3 tg x b) 4 cotg x

20 Integrais da forma sec m x e cossec n x com m e n inteiros não negativos Quando m e n forem números pares, os artifícios utilizados consistem em: n m m sec m x (sec x) sec x ( tg x 1) sec x n cossec n x (cossec x) cossec x (cotg x 1) cossec x Quando m e n forem ímpares, utiliza-se o método da integração por partes. Exemplos: a) 6 cossec x b) 3 sec x

21 Integrais da forma negativos m n m n tg xsec x e cotg x cossec x com m e n inteiros não Quando m for ímpar e n for par, podemos preparar o integrando e aplicar o método da substituição. Quando m for par e n for ímpar, a integral deve ser resolvida por integração por partes. Exemplos: a) tg xsec 6 4 x b) tg xsec 5 7 x

22 c) tg xsec 3 x Integração de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes Para a resolução dessas integrais, as seguintes identidades trigonométricas serão utilizadas: sen(a)cos(b) = ½ [sen(a+b) + sen(a-b)] sen(a)sen(b) = ½ [cos(a-b) - cos(a+b)] cos(a)cos(b) = ½ [cos(a+b) + cos(a-b)] Exemplos: a) sen 4x cos x b) cos5x cos3x

23 Integração de funções racionais por frações parciais Uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja, Exemplos:, em que p(x) e q(x)são polinômios e q(x) 0.,, Para calcular a integral de qualquer função racional, escrevemos a função como uma soma de frações mais simples. Proposição: Se q(x) é um polinômio com coeficientes reais, então q(x) pode ser expresso como o produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. Para a decomposição da função racional em funções mais simples, o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio q(x) = 1. Se isso não ocorrer, dividimos p(x) e q(x) por esse coeficiente. Além disso, é possível expressar f(x)como uma soma de frações mais simples desde que o grau de p(x) seja menor que o grau de q(x) (função racional própria). Se o grau de p(x) for maior que o grau de q(x), dividimos p(x) por q(x) até que o resto r(x) tenha grau menor que o grau de q(x). Situações que podem ocorrer: Caso 1: O denominador q(x)é um produto de fatores lineares distintos. q(x) = (x + a1)(x + a)... (x + an) em que nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro). Nesse caso, existem constantes A1, A,..., An tais que:

24 Exemplos: x x 3x x 3 a. 3

25 b. 4x 3 x x x 1 3

26 c. 6x 6 (1 x)( x )( x 3)

27 Caso : O denominador q(x)é um produto de fatores lineares sendo que alguns deles se repetem Se na decomposição de q(x) há fatores da forma (x ai ) r, r, a cada um desses fatores corresponderá uma soma de frações da forma: Exemplos: a) 3 x 3x1 4 x 4x

28 b) 4 x x x 3 x x x 4 1 1

29 c) 1 x 4 3 x x

30 Caso 3: Os fatores de q(x) são quadráticos irredutíveis que não se repetem. Se q(x) tiver um fator ax + bx + c, em que b 4ac < 0, então, a cada fator quadrático corresponderá uma fração parcial da forma: Exemplos: a) x 5x3 ( x1)( x 1)

31 b) x x4 x 3 4x x 3 c) x x4

32 d) x 5x4 3 x x x 3

33 Caso 4: Os fatores de q(x) são quadráticos irredutíveis e se repetem. Se q(x) tiver um fator (ax + bx + c) r, em que b 4ac < 0 e r, então, a cada um desses fatores corresponderá uma soma de frações parciais da forma: Exemplos: a) 1 xx ( 1) 3 x x x b) 3 5x 3x 7x 3 ( x 1)

34 Integração de funções racionais de seno e cosseno Se na integral o integrando for uma função racional de sen(x) e cos(x), podemos reduzir a integral a uma função racional de uma nova variável t fazendo a substituição:, < x < Para obter as fórmulas de sen(x) e cos(x) em termos de t, usamos as identidades: sen(y) = sen y cos y cos(y) = cos y 1 Fazendo, temos: Logo, Logo, Como ( )

35 Exemplos: a) 1 1sen x cos x b) 1 3 5cos x

36 Integração por substituição trigonométrica As substituições trigonométricas são substituições empregadas em integrais envolvendo uma das expressões, e, nas quais a variável x é substituída (correspondentemente) por uma das funções asen, atg e asec. Quando a função integrando envolve, fazemos. Assim, x = a sen e = a cos d. Supondo que : a x a a sen θ a ( sen θ) a cos θ acosθ Quando a função integrando envolve, fazemos ou. Assim, x = a sec e = a sec tg d. Supondo que ou : x a a sec θ a a (sec θ ) a tgθ a tgθ OBS: Em ambos os casos, a raiz quadrada da diferença de quadrados é um cateto. Quando a função integrando envolve, fazemos. Neste caso, x = a tg e = a sec d. Supondo tal que : a x a a tg θ a ( tg θ) a sec θ asecθ Exemplos: a) 9 x x

37 b) 1 x x 4 c) x 3xx