CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Prof. Rodrigo Carvalho

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2 LIMITES Uma noção intuitiva de Limite Considere a unção () = Quando assume uma ininidade de valores, aproimando cada vez mais de zero, assume uma ininidade de valores, cada vez mais próimos de 3. Dizemos que o limite de (), quando tende a zero, é igual a 3, e escrevemos lim 0 ( ) 3

3 Suponhamos que () seja uma unção real deinida em uma reunião de intervalos, e que o é um ponto no interior ou no etremo de um destes intervalos. Dizemos que lim () L (LR) quando podemos azer () o arbitrariamente próimo de L, tomando suicientemente próimos de o, mantendo o. No eemplo anterior podemos azer () próimo de 3 o quanto quisermos, bastando azer cada vez mais próimo de zero. É importante destacar que não precisamos ter o pertencente ao domínio de () para calcularmos o limite de () quando tende a o.

4 Analisando graicamente outro eemplo Seja a unção () ( 4)( 6). 2( 6) lim 6 ( ) 1

5 Regra de L Hospital Quando um limite resulta em uma indeterminação ou / aplicamos a Regra de L Hospital, que consiste em calcular a primeira derivada das unções da razão e, após isso, substituir por o. (0/0 ) lim o ( ) g( ) lim o '( ) g'( ) 2 2 E: Calcular lim

6 É importante destacar que não precisamos aplicar L Hospital quando temos um quociente de polinômios. Porém esta regra é nosso único recurso para o cálculo de muitos limites. Eemplos: a) b) lim 0 lim sen 3 2 e 3 As regras de derivação para esse tipos de unções serão estudadas mais adiante.

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8 Propriedades do Limite de uma unção Se lim () a L e lim g() a M,então: P.lim c 1 a c P.lim[c.()] c.lim () 2 a a c.l P.lim[( g)()] lim () lim g() L 3 a a a M P.lim[(.g)()] lim ().lim g() 4 a a a L.M

9 0) (M M L lim g() lim () () g P.lim a a a 6 n n a n L ) ( lim ) ( P.lim a 7 n n n a 5 L )] ( [lim ()].lim[() P a

10 Noção de continuidade Seja uma unção deinida em um intervalo aberto I e a um elemento de I. Dizemos que é contínua em a, se lim () (a). a Note que para que uma unção seja contínua em um ponto é necessário que esse ponto pertença ao domínio desta unção. Da deinição, decorre que, se é contínua em a, então as três condições deverão estar satiseitas: eiste eiste lim () lim () a (a) a (a)

11 Eemplos: a) A unção () = deinida em R é contínua em 1, pois lim () 1 lim(2 1) 3 (1) , se 1 b) A unção () deinida em R é descontínua 4, se 1 em 1, pois lim () lim(2 1) 3 4 (1). 1 1

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13 DERIVADAS Seja uma unção deinida em um intervalo aberto I, e o um elemento de I. Chama-se derivada de no ponto o o limite se eistir e or inito. Notações: '( 0 ) lim '( ) ou o () -( - d d *OBS: Se uma unção é derivável em um ponto o do seu domínio, então é contínua em o. A recíproca dessa propriedade nem sempre é verdadeira. o o )

14 Eemplo: Calcule a derivada de () no ponto 0, sendo: a) () = 2 e 0 = 3; 2 b) () = + e 0 = 1; 14

15 Derivadas das unções elementares 1. Derivada da unção constante () c '() 0 2. Derivada da unção potência () n '() n. n1 3. Derivada da unção seno () sen '() cos 4. Derivada da unção cosseno () cos '() sen

16 5. Derivada da unção eponencial () a '() a.ln a Em particular : () e '() e. Interpretação geométrica A derivada de uma unção no ponto o é igual ao coeiciente angular da reta tangente ao gráico de no ponto de abscissa o. y y0 '(0).( 0) (Equação da reta tangente ao gráico de no ponto de abscissa o)

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19 Interpretação cinemática 1) A derivada da unção horária do deslocamento s = s(t) no ponto t = to é igual à velocidade escalar do móvel no instante to. 2) A derivada da unção horária da velocidade v = v(t) no ponto t = to é igual à aceleração escalar do móvel no instante to.

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21 Regras de Derivação 1. Derivada da soma () u( ) v( ) '() u'( ) v'( ) 2. Derivada do produto () u( ). v( ) '() u'( ). v( ) u( ). v'( ) Em particular:() c.v() '() c.v'(). Consequência :() [u()] n '() n.[u()] n-1.u'()

22 3. Derivada do quociente () u() v() '() u'().v() u().v' 2 [v()] () Consequências: a) Derivada da unção tangente () tg '() sec 2 b) Derivada da unção cotangente () cotg '() cossec 2

23 Eemplo: Calcule a derivada das unções a seguir: a) () 3.sen 2 Resp.: '() 3.sen (ln 3.sen 2.cos ) b) g() Resp.: tg g '() (8 2 7).tg (4 7).sec (sec 1).(sec 1) 2

24 Derivada da unção composta (Regra da cadeia) F() g(()) F'() g' (()). '() Eemplos: a)y sen( 2 ) ; dy d? b)y 3 2 ; dy d?

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26 4. Derivada da unção logarítmica () log a '(). 1 ln a Em particular : () ln '() 1 Outras derivadas: () arc sen '() () () arc cos arc tg '() '()

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28 Derivadas sucessivas Seja a unção, deinida em R, talque ()

29 Estudo da variação das unções Seja () uma unção Real, deinida num intervalo I. 1. Crescimento '( ) 0 é crescente '( ) 0 é decrescente '( ) 0 é constante 2. Concavidade ''( ) 0 tem concavidade voltada para cima ''( ) 0 tem concavidade voltada para baio

30 3. Pontos etremos, críticos ou etremantes Seja o um ponto pertencente ao domínio de. Se o é raiz da primeira derivada de (), ou seja, (o)=0, então o é um possível etremante de. A análise para a veriicação se o é ponto de máimo ou mínimo, depende da substituição de o na órmula da segunda derivada de. ''( ''( ''( o o o ) ) ) o o nada é pontode máimo local de é pontode mínimo local de podeser concluído sobre o A reta tangente ao gráico de em o é paralela ao eio.

31 4. Ponto de inleão Seja uma unção contínua no intervalo I = [a;b] e derivável num ponto o de I. Po é ponto de inleão de se Po é o ponto no qual a concavidade troca de sinal. Se ''( o ) 0 e '''( o ) 0, então o é abscissa de um pontode inleão. E: Analise o crescimento, a concavidade, etremantes e 3 2 ponto de inleão de da unção ( ) 5.

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35 Integral indeinida INTEGRAIS O processo de obter uma unção a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indeinida. Uma unção F para a qual F () = () para qualquer no domínio de, é chamada de primitiva ou antiderivada de. E :F() é uma primitiva de () 2 5, pois F'() 2 5. Propriedade: Se F é uma primitiva de uma unção contínua, então qualquer outra primitiva de tem a orma G() = F() + c, onde c é uma constante.

36 Se é uma unção contínua, então a sua integral indeinida é dada por () d F() c A ligação que eiste entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela a seguir.

37 Integrais imediatas

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40 Algumas técnicas de integração 1) Integração por substituição E: Calcule: a) 7.sen 7 d b) e 2. d 15 c) (3 7).3d

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43 2) Integração por partes u dv u.v v du E: Calcule: a). e d b) (3 7).cos d

44 Integral deinida A integral deinida de uma unção () é uma integral restrita a valores em um intervalo especíico [a;b]. Notação: b a () d Interpretação geométrica A integral deinida de uma unção () contínua e positiva, para variando de a até b, ornece a área limitada pelo gráico de (), o eio e as retas = a e = b. E: Calcule a área imitada pelo gráico de retas y =0, = 1 e = 4. ( ) e as

45 Engenheiro(a) de Petróleo Júnior (Junho/2008) 43 Quanto vale a área da região limitada pelo eio das abscissas, as retas = 0 e, e o gráico da unção de R em R cuja lei é () = cos(2)? ) ) 4 3 ) 4 1 ) 2 1 ) E D C B A

46 Área de regiões entre curvas: Suponha que e g sejam deinidas e contínuas em [a, b], tais que ( ) g( ), [ a, b]. Então a área da região limitada pelos gráicos de e g e pelas retas = a e = b é dada por b A [() g()] a d

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