Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

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1 Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de

2 Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do Cálculo, como os de continuidade, derivada e integral. Nesse capítulo vamos discutir o que são os ites e como podem ser calculados. Também vamos estudar o conceito de continuidade.. Noção intuitiva do conceito de ite Falando de maneira geral, o processo de determinar o ite consiste em investigar o comportamento do valor f() de uma função à medida que sua variável independente se aproima de um número c, que pode ou não pertencer ao domínio de f. Vamos supor que queremos saber o que acontece com f() = aproima de. à medida que se Embora f() não seja definida em =, podemos avaliar f() para valores de próimos de. Para fazer isto, preparamos uma tabela como a que aparece a seguir:,9,95,99,999,,,5, f(),9,95,99,999,,,5, Os valores da função nesta tabela sugerem que: f() se aproima do número à medida que se aproima de de ambos os lados. Podemos obter valores para f() tão próimos de quanto quisermos, bastando para isso tomar valores de suficientemente próimos de. Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o ite de f() quando tende a é igual a e abreviado por f() = ou = Geometricamente, a epressão o ite de f() quando tende a é igual a significa que a altura do gráfico de y = f() se aproima de à medida que se aproima de. O gráfico de f() = é uma reta com um buraco em (,), e os pontos (, y) no gráfico se aproimam desse buraco à medida que se aproima de de ambos os lados.

3 Temos a seguinte definição (informal) de ite: Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto em torno de c, eceto talvez em c. Se o valor de f() fica arbitrariamente próimo de L para todos os valores suficientemente próimos de c, dizemos que f tem ite L e escrevemos f() = L c Ao definirmos ite, admitimos que f() é definida para todos os valores de nas proimidades de c, mas não necessariamente em = c. A função não precisa nem eistir em = c, e, mesmo que eista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do ite quando tende a c. Isso está ilustrado na figura abaio. Para as três funções representadas, o ite de f() quando tende a c, é igual a L, embora as funções se comportem de forma bastante diferente em = c. Em (a), f(c) é igual ao ite L; em (b), f(c) é diferente de L, e em (c), f(c) não está definido. figura A figura abaio mostra os gráficos de duas funções que não têm ite quando tende a c. O ite não eiste na figura (a) porque os ites laterais são diferentes, isto é, f() se aproima de 5 quando tende a c pela direita e se aproima de (um valor diferente) quando tende a c pela esquerda. A função da figura (b) não tem ite (finito) quando tende a c porque os valores de f() aumentam indefinidamente à medida que se aproima de c. Dizemos que funções como a da figura (b) têm um ite infinito quando tende a c. Limites laterais e ites infinitos serão estudados mais adiante. figura

4 . Propriedades dos ites Seria muito trabalhoso calcular cada ite por meio de uma tabela, como fizemos na seção anterior. O nosso objetivo agora é introduzir propriedades (teoremas) que permitam simplificar o cálculo dos ites de funções algébricas. O teorema a seguir, se refere aos ites de duas funções lineares elementares. Teorema : Sejam c e k números reais. a) k k c b) c c O teorema mostra como calcular ites de funções que são combinações aritméticas de funções cujos ites já conhecemos. Teorema : Se L, M, c e k são números reais e f () L c e g() c M então: a) (f() g()) c b) (f() g()) c L + M L M c) (f().g() ) c L.M d) (k.f ()) = k.l c n e) (f()) c n L onde n * f) Se M então c f() g() = M L g) n c f() = n L onde n é um número natural ímpar ou n é um número natural par e L >. Aplicando os teoremas e podemos determinar facilmente o ite de funções polinomiais e de algumas funções racionais. Teorema : a) Seja p() uma função polinomial. Então p() p(c) c p() b) Seja r() = uma função racional. Se q(c) então q() r() r(c) c

5 Eemplos: ) 7 5 ) 4 ) ( 5) 4) ( + + 5) 5) ( 5) 4 6) ( ) 7) 8 8) 9) ) ) 5 ) 5 4 Teorema 4: Se h() L e f() é uma função tal que f() = h() para todos os valores de c pertencentes a algum intervalo ao redor de c, ecluindo o valor = c, então f() L. c 4

6 4 Queremos calcular, por eemplo, 4 A função f() = não está definida para =, pois à medida que se aproima de, tanto o numerador quanto o denominador se aproimam de zero. Mas observe que para todos os valores de tais que, temos: 4 = ( )( ) = + Além disso, sabemos que ( + ) = 4 Logo, pelo teorema 4, podemos concluir que: Eemplos: 4 = 4 ) ) 6 4 ) 4) ) 6) 7) ( ) 8) 9) ) 4 5

7 Eercícios lista Determine os ites: ) (5 ) ) (5 7 ) ) 4) 4 5 5/ 5) 4 6) / 8 7) 5 8) ) 4 ) 4 ) 8 ) / 8 ) ) 4 6 5) 4 6) ( ) 9 7) 8) 9) ) 4 ) 5 ) ) 4) 9 Respostas: ) 7 6) 5 / 6 ) / 6) 6 ) / 5 ) 7) ) 6 7) / ) ) 7 / 8 8) / ) 4 8) ) 4) 9) / 4) / 9) 4 4) 6 5) / 4 ) 5) ) 6

8 . Limites laterais Quando uma função é definida apenas de um lado de um número c, ou quando uma função se comporta de forma diferente de cada lado de um número c, é mais natural, ao definir o ite, eigir que a variável independente tenda para c apenas do lado que está sendo considerado. Essa situação é ilustrada no seguinte eemplo: Seja f() = 5 se se A figura mostra que o valor de f() tende a 7 quando tende a para valores menores que, isto é, f() tende a 7 quando tende a pela esquerda. Denotamos esse fato simbolicamente como f() 7 A figura mostra, também, que o valor de f() tende a quando tende a para valores maiores que, isto é, f() tende a quando tende a pela direita. Simbolicamente temos f () Os ites quando tende para a pela direita e quando tende para a pela esquerda são chamados de ites laterais. O teorema a seguir estabelece a relação entre ites laterais e ites. Teorema: O f() c eiste e é igual a L se e somente se f() = f() = L c c No eemplo anterior, como f() f() concluímos que f() não eiste. Observação: Limites laterais têm todas as propriedades enumeradas na seção. Eemplos: Seja f() = 4 7 se Determine, se eistir, f() se - Seja f() = 9 se se se Determine, se eistir, f() Seja f() = 7 se se Determine, caso eistam, os seguintes ites: a) f() b) f() c) f() 5 7

9 .4 Continuidade Na linguagem comum, um processo contínuo é aquele que ocorre sem interrupções ou mudanças repentinas. Intuitivamente, dizemos que uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem interrupções ou sem tirar o lápis do papel. Formalmente, a definição de continuidade é epressa utilizando a noção de ite da seguinte maneira: Definição: Uma função f é contínua em um número c se: a) f(c) é definida b) f() eiste c c) f() = f(c) c Eemplo : Verifique se as funções abaio são contínuas em = f() = + g() = h() = 7 5 se se se Vimos na seção. que, se p() e q() são funções polinomiais, então, p() p(c) e c p() c q() p(c) = q(c) se q(c) De acordo com esses resultados e pela definição de continuidade, temos: Teorema : Uma função polinomial é contínua em todos os números reais. Teorema : Uma função racional é contínua em todos os números nos quais é definida. Eemplo : f() = + 5 é contínua em IR Eemplo : f() = é contínua em IR {} Observação: Se uma função não é contínua em um número c, dizemos também que f é descontínua em c. 8

10 Apresentamos abaio os gráficos de três funções descontínuas em c. f(c) não é definida f() não eiste c f() f(c) c Eemplo 4: Verifique se f() = 4 se é contínua em = se Eemplo 5: Verifique se f() = se 4 5 se 4 é contínua em = 4. se 4 Eemplo 6: Verifique se f() = 4 se se é contínua em = Eemplo 7: Seja f() = se a se Determine o valor de a para que f seja contínua em todos os números reais. 9

11 Eercícios lista Nas questões de a 4, calcule os ites: ) ( + 5) ) ) 9 4) Nas questões de 5 a, verifique se as funções são contínuas nos valores dados: 5) f() = 5 9 se se em = 9) f() = se em = se 6) f() = se se se em = ) f() = se em = 4 se 7) f() = se se em = ) f() = 9 se em = se 8) f() = se em = ) f() = se se se se em = Nas questões de a 6, determine o valor de a para que f() seja contínua no valor indicado. ) f() = 9 9 a se se em = 5) f() = 4 6 se 5 5 em = a se a 5 se 4) f() = em = 6) f() = 4 se 4 a se se em = Respostas: ) 9 ) ) 4) 4 5) não 6) não 7) não 8) sim 9) sim ) sim ) não ) não ) 4) 5) 7 6) 4 / 5

12 .5 Limites que envolvem infinito.5. Limites infinitos Na seção. calculamos o ite L dos valores f() de uma função quando tende para um número real c, isto é, f() = L onde L é um número real. Pode ocorrer que, à medida que se c aproime de um número c, os valores de f() tornem-se muito grandes (em valor absoluto). Esse fato pode ser ilustrado pelos seguintes eemplos: Seja f() = ( ) Essa função não é definida para =, mas podemos analisar o comportamento dos valores de f() quando está à esquerda ou à direita desse número. Para próimo de, o denominador é muito pequeno, o que significa que o quociente é muito grande. A tabela abaio mostra o aumento de f() à medida que se aproima de.,9,99,999,,, f() Observamos que quando se aproima de pela esquerda ou pela direita, os valores de f() aumentam. Se admitirmos que esses valores possam crescer iitadamente, diremos que: o ite de f() = quando tende a pela esquerda é mais infinito e indicaremos por ( ) o ite de f() = ( ) f() = + quando tende a pela direita é mais infinito e indicaremos por f() = + Apresentamos ao lado um esboço do gráfico de f. Como a função tem o mesmo comportamento à direita e à esquerda de concluímos que f() = + Podemos indicar de forma análoga, o comportamento de uma função cujos valores decrescem iitadamente. Vamos considerar a função g() = ( ) A tabela a seguir mostra os valores de g() para alguns valores de na vizinhança de.,,,,999,99,9 g()

13 Vemos que os valores de g() são negativos e muito grandes em valor absoluto para valores de próimos de, isto é, os valores de g() decrescem iitadamente à medida que se aproima de pela esquerda ou pela direita. O gráfico de g aparece abaio. Escrevemos, nesse caso, que g() = e g() = Como os ites laterais são iguais podemos afirmar que g() = Seja h() = Pelo gráfico de h ao lado, vemos que à medida que se aproima de pela esquerda, os valores de h() decrescem iitadamente, isto é, h() = Vemos, também, que quando se aproima de pela direita, os valores de h() crescem iitadamente, ou seja, h() = + Como a função tem comportamento distinto à esquerda e à direita de, concluímos que não eiste ite de h() quando tende para. O seguinte teorema estabelece o cálculo de ites infinitos: Teorema: Se f() = L, L e c dependendo dos sinais de L e de g() à direita de c. g() = então c f() =, com o sinal c g() Observação: O teorema anterior pode ser enunciado para o ite à esquerda de c com as mesmas conclusões. A eistência do ite em c depende da igualdade dos ites laterais. Eemplos: ) ) ) 4) 5) 5 6)

14 .5. Limites no infinito Estamos interessados, agora, em conhecer o comportamento dos valores f() de uma função quando cresce ou decresce iitadamente. Vamos calcular alguns valores de f() = quando cresce iitadamente. f(),,,,, Observamos que, à medida que cresce iitadamente, os valores de f() se aproimam de zero, isto é, f() = O gráfico de f() = está esboçado ao lado. De modo geral, temos: Teorema : Se n é um número inteiro positivo e c é um número real então c n = e c n = Para o cálculo de ites no infinito, de funções polinomiais e de funções racionais, temos os seguintes teoremas: Teorema : Seja P() = a + a + a a n n Então P() = a n n e P() = a n n Teorema : Sejam P() = a + a + a a n n e Q() = b + b + b b m m P() Então = Q() a b n m n m e P() = Q() n a n. m b m Eemplos: ) 5 4 = ) 5 =

15 ) ( + 7) = 4) ( ) = 5) ( 5 + 4) = 6) = 7) = 8) = 9) = ) 5 = 8 5 4

16 Eercícios - lista Determine os ites: ) 9) ) ) ) 4 5 ) ) ) 5) ) 6) 4) ( 5) 7) 5 5) 8 ( 8) ( ) 8) 6) Respostas: ) + 5) + 9) + ) ) 6) ) não eiste 4) ) + 7) ) 5) 4) 8) + ) não eiste 6) não eiste 5

17 Eercícios lista 4 Determine os ites: ) ) ( ) ) (6 ) 4) ( ) ( ) 5) 4 5 6) 7) 7 8) 4 9) ) ) ) ) 5 7 4) 4 4 5) 6 7 6) 5 Respostas: ) 5) 9) ) ) 6) ) 4) 4 ) 7) ) 5) / 4) 8) ) 6) 6

18 .6 Assíntota vertical e assíntota horizontal Os ites envolvendo infinito que estudamos na seção anterior são úteis no traçado de gráficos porque podem ser usados para a localização das assíntotas. Seja f() = 6 5 cujo gráfico está esboçado ao lado. Observe que a função não está definida em = 5 e que os valores de f() são muito grandes (em valores absolutos) quando está próimo de 5. Quando o gráfico de uma função se aproima de uma reta vertical da forma como o gráfico de f se aproima da reta = 5, aumentando ou diminuindo iitadamente, a reta é chamada de assíntota vertical do gráfico de f. Observe também, que o gráfico de f se aproima da reta y = quando se torna muito grande (em valor absoluto). Quando o gráfico de uma função se aproima de uma reta horizontal da forma como o gráfico de f() se aproima da reta y = quando aumenta ou diminui iitadamente, a reta é chamada de assíntota horizontal do gráfico de f. De modo geral, temos as seguintes definições: Definição : A reta = a é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições é verdadeira: f() = ; f() = ; f() = ; a a a f() = a Definição : A reta y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições é verdadeira: f() = b ; f() = b Observação: Para localizar as possíveis assíntotas verticais do gráfico de uma função p() racional f tal que f() = devemos procurar valores tais que q(a) = e p(a). Para achar as q() assíntotas horizontais devemos calcular os ites de f quando tende a e quando tende a. Se algum desses ites eiste (é finito), então o valor do ite determina a assíntota horizontal. Eemplos: ) f() = = é assíntota vertical e y = é assíntota horizontal 7

19 ) f() = 4 = e = são assíntotas verticais e y = é assíntota horizontal ) f () = 4 Não eistem assíntotas verticais e y = e y = são assíntotas horizontais 4) f() = 4 = é assíntota vertical e não eistem assíntotas horizontais 8

20 Eercícios lista 5 Nas questões abaio, determine se eistirem, as equações das assíntotas verticais e das assíntotas horizontais das funções dadas. ) f() = ) f() = 4 ) f() = ( ) 4) f() = 5) f() = 6) f() = 7) f() = 8) f() = 5 9 Respostas: ) = é assíntota vertical e y = 4 é assíntota horizontal ) = e = são assíntotas verticais e y = é assíntota horizontal ) = é assíntota vertical e y = é assíntota horizontal 4) = 5 e = são assíntotas verticais e y = é assíntota horizontal 5) = é assíntota vertical e y = é assíntota horizontal 6) Não eistem assíntotas verticais e y = é assíntota horizontal 7) = é assíntota vertical e não eistem assíntotas horizontais 8) Não eistem assíntotas 9

21 Eercícios de revisão de ites lista 6 Determine os ites abaio: ) ) 5 ) 4 ) 9 9 ) 5 ) 5 ) ( ) ) ) ) 4) 4) 5) 5) ) 5 8 6) 6 6) 99 7) ) / 8) ) 9) 4 9) ) 6 ) 5 Respostas: ) 6) 6 ) + 6) ) / 4 ) / 6 7) / ) 7) 9 ) + ) + 8) ) 8) ) 6 4) 9) / 4 4) / 9) 5) + ) 64 5) 7 / ) 5) 4

22 Capítulo Derivada de uma Função Real Vamos iniciar esse capítulo considerando dois problemas aplicados: o primeiro consiste em determinar o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em um ponto do gráfico de uma função e o segundo em definir a velocidade de um objeto em movimento retilíneo. Essas duas aplicações, aparentemente tão diversas, vão conduzir ao mesmo conceito: o de derivada. Mais adiante, abandonaremos os aspectos físico e geométrico dos dois problemas e definiremos a derivada como o ite de uma função. Isso vai permitir aplicar o conceito de derivada a qualquer quantidade ou grandeza que possa ser representada por uma função.. Coeficiente Angular da Reta Tangente ao Gráfico de uma Função Vamos supor que P é um ponto no gráfico de uma função f e queremos determinar a reta t tangente ao gráfico de f em P. Sabemos que uma reta no plano é determinada quando conhecemos seu coeficiente angular e um ponto pertencente a ela. Precisamos calcular, então, o coeficiente angular de t. A ideia para obter esse coeficiente angular é aproimar a reta tangente por retas secantes. Vamos escolher outro ponto Q no gráfico de f e traçar uma reta (secante) passando por P e Q. Tomando Q bem próimo de P, podemos fazer com que o coeficiente angular da reta secante se aproime do coeficiente angular da reta tangente com qualquer precisão desejada. Vamos supor que P = (, f( )) e que a abscissa de Q esteja a unidades de. Desse modo, a abscissa de Q é +. Como Q pertence ao gráfico de f, a ordenada de Q é f( + ). Assim, Q = ( +, f( + )). O coeficiente angular da reta secante s é: m s = Δy f( = Δ) f( ) Δ Δ = f( Δ) f( ) Δ Se fizermos tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva y = f() e tenderá ao ponto P. Além disso, a reta secante s irá girar em torno de P e tenderá para a reta tangente t. Logo, quando tende a zero, o coeficiente angular de s tende para o coeficiente angular de t, ou seja, m t = Δ f( Δ) f( ) Δ Essas considerações levam para a seguinte definição:

23 Definição: Seja f uma função definida em um intervalo contendo e seja y = f( ). Se o ite f( Δ) f( ) m = Δ Δ eiste (é finito), dizemos que a reta no plano y contendo o ponto (, y ) e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (, y ). Eemplo: Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() = + 4 no ponto (,5). f( Δ) f( ) Observação: Se f é contínua em e Δ Δ vertical = é a reta tangente ao gráfico de f em (, y ). = dizemos que a reta. Taa de Variação Vamos considerar a seguinte situação: um carro está se movendo ao longo de uma estrada reta e d(t) representa a sua distância do ponto de partida após t horas e queremos determinar a velocidade do carro num instante t. Para definir essa velocidade, primeiro calculamos a velocidade média em um intervalo de tempo próimo de t. Consideramos, por eemplo, os instantes t e t + t onde t é um número real. As posições correspondentes são d(t ) e d(t + t). A velocidade média (v m ) do carro entre os instantes t e t + t é: v m = variação da distância variação do tempo = d(t Δt) d(t) t Δt t = d(t Δt) d(t) Δt Para obtermos a velocidade do carro no instante t (ou a velocidade instantânea em t ), calculamos a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores. Se o intervalo de tempo t é pequeno, a velocidade média se aproima da velocidade instantânea. Podemos então definir a velocidade no instante t ou a taa de variação (instantânea) da distância em relação ao tempo como o ite quando t tender a zero na epressão para a velocidade média, isto é: v(t ) = Δ d(t Δt) d(t) Δt Eemplo: No instante t = um corpo inicia um movimento em linha reta e sua posição no instante t é dada por d(t) = t + 5. Determine a velocidade no instante t =. As considerações a respeito da taa de variação da distância em relação ao tempo podem ser generalizadas e assim serem aplicadas para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. Definição: Seja y = f(). A taa de variação (instantânea) de y em relação a quando tem o valor é dada por f( Δ) f() Δ Δ

24 Eemplo: Um teste para diabetes envolve a medida da concentração de glicose no sangue de um paciente durante certo período de tempo. Suponha que t horas após uma injeção de glicose sua concentração no sangue seja dada pela função,6 f(t) =,8 + t onde f(t) é o número de miligramas de glicose por centímetro cúbico de sangue. Com que rapidez a concentração de glicose no sangue está variando 4 horas após a injeção? Solução: Queremos determinar a taa de variação de f(t) em relação a t quando t = 4 Então t f(4 t) f(4) t = t,8,6 4 t t,6 = t,6 4 t t,8 = = t,6,8 4 t 4 t t = t,6,8 4 t t 4 t = t,6,8 4 t t 4 t.,6,8,6,8 4 t 4 t = =,96,4(4 t) t t 4 t (,6,8 4 t ) =,96,96,4t t t 4 t (,6,8 4 t ) = =,4t t t 4 t (,6,8 4 t ) =,4 t 4 t (,6,8 4 t ),4 =, 5 4,4 Resposta: A taa de glicose no sangue diminui a uma taa de,5 mg por cm por hora. A derivada de uma função Vimos nas seções e que o problema de determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto dado e o problema de encontrar a taa de variação de uma variável em relação à outra são ambos resolvidos pelo cálculo do mesmo ite, que é a base de um dos conceitos fundamentais do Cálculo, a derivada, definida a seguir. Definição: Dada uma função f(), a função definida por f () = Δ f( Δ) f() Δ é chamada de (função) derivada de f() Observações: O ite indicado na definição de derivada pode eistir para alguns valores de e deiar de eistir para outros. Se o ite eiste (é finito) para = a, dizemos que a função é derivável (diferenciável) em a. Uma função derivável (diferenciável) é aquela que é derivável em cada ponto de seu domínio. A notação f usada na definição anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada de f é uma função de que está associada de certa maneira com a função f dada. Se a função é apresentada na

25 forma y = f(), com a variável dependente eplícita, então o símbolo y é usado em lugar de f (). A dy derivada de y = f() é também indicada por e algumas vezes por D y. d Interpretação geométrica: A derivada f () epressa o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f() em função da coordenada do ponto de tangência (desde que o ite eista). Taa de variação: A derivada f () epressa a taa de variação (instantânea) de y = f() em relação a. A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada derivação ou diferenciação e pode ser efetuada aplicando-se a definição de derivada. No entanto, como esse processo é usualmente demorado, precisamos de algumas regras (teoremas que são provados a partir da definição de derivada) que possibilitem encontrar a derivada de certas funções mais facilmente..4 Regras básicas de derivação Sendo c IR, n Q e u e v funções reais de variável. ) Regra da constante: Se f() = c então f () = ) Regra da identidade: Se f() = então f () = ) Regra da potência: Se f() = n então f () = n. n 4) Regra da soma: Se f() = u + v então f () = u + v 5) Regra do produto: Se f() = u.v então f () = u v + uv 6) Regra do produto por uma constante: Se f() = c.u então f () = c.u u 7) Regras do quociente: a) Se f() = e v então f ' u v - uv () = v v c b) Se f() = e v então f ' - cv () = v v Eemplos: ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = + 4 5) f() = ( + )( + 5) ' 4

26 6) f() = (4 + )(7 + ) 7) f() = 8) f() = 7 9) f() = 5 ) f() = 5 7 ) f() = ) f() = 7 ) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() = + 4 no ponto (, 5). 4) A massa de uma cultura de bactérias tem seu crescimento representado pela função m(t) = p + 6t,5t para t medido em horas e m em cm e sendo p uma constante positiva. Calcule a velocidade de crescimento dessa cultura quando t = 6 5) Suponhamos que uma proteína de massa m se decomponha em aminoácidos segundo a função 5 m(t) = t onde t representa o tempo medido em horas. Determine a taa de variação de m em relação a t quando t =. 6) Um teste para diabetes envolve a medida da concentração de glicose no sangue de um paciente durante certo período de tempo. Suponha que t horas após uma injeção de glicose sua concentração no sangue seja dada pela função,6 f(t) =,8 + t onde f(t) é o número de miligramas de glicose por centímetro cúbico de sangue. Com que rapidez a concentração de glicose no sangue está variando 4 horas após a injeção? 5

27 Eercícios - lista 7 Nos itens a 8, ache as derivadas aplicando as regras básicas: ) f() = 5 + ) f() = ( ) ) f() = ) f() = ( + )( + 5) ) f() = ) f() = ( )( ) 4) f() = ) f() = (5 + 5) 5) f() = ) f() = 4 5 6) f() = 5) f() = 4 7 7) f() = 6) f() = 5 8) f() = 4 7) f() = 4 5 9) f() = 4 8) f() = 7 Nos itens de 9 a, calcule f (): 9) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ( + )( ) Nos itens de a 5, determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() no ponto especificado. ) f() = ; P = (, 6) 4) f() = (5 )( 4 + ) ; P = (, 4) 5) f() = ; P = (,) Nos itens de 6 a 8, determine a taa de variação de f() em relação a para o valor especificado. 6) f() = + ; = 7) f() = ; = 8) f() = + 5 ; = 6

28 Respostas: ) ) ( ) ) 5 6 6) ( ) ) ) 4 ( 5) 4) ) ( ) 5) 5 4 9) 4 6) 4 + ) /8 7) 5 ) /6 8) 4 ) 9 9) ) 4 ) 5 4 4) 7 ) ) 4 ) ) / ) ) 4) 8) 9 7

29 .5 Regra da Cadeia Queremos determinar, por eemplo, a derivada de y = ( + 5) Uma maneira de fazer isso é desenvolvendo ( + 5) e derivando o polinômio resultante. Assim, y = ( + 5) = dy Logo = () d Outro método é fazermos u = + 5 de modo que y = u dy Então = u du e = + 5 () du d dy du Se considerarmos o produto du d produto sugere a seguinte regra (da cadeia): e tratarmos as derivadas como quocientes, então o dy dy = d du du d () dy É importante observar que é a derivada em relação a u quando y é considerado como du dy função de u e que é a derivada em relação a quando y é considerado como função de. d dy Então por () e (), = u ( + 5) = ( + 5) ( + 5) d Note que este resultado é equivalente a () Regra da cadeia (versão informal): Se y é uma função derivável em u e u é uma função dy dy du derivável em, então y é uma função derivável em e = d du d No eemplo apresentado acima, a função dada é uma potência da função f() = + 5. Como as potências de funções ocorrem com frequência no Cálculo, é conveniente estabelecer uma regra de derivação que possa ser aplicada nesses casos. Utilizando a regra da cadeia podemos provar o importante resultado enunciado a seguir. Teorema (regra geral da potência): Se r é um número racional e u é uma função derivável de variável então (u r ) = r.u r. u 8

30 Eemplos: ) y = ( + ) 9 ) y = ( + 5 4) 5 ) y = 6 4) y = 4 ( ) 4 5) y = 9

31 Eercícios - lista 8 Nas questões a, calcule as derivadas: ) y = (5 ) ) y = (4 + ) 5 ) y = ( 4 + ) 4 4) y = ( + ) 7 5) y = 5.( + ) 4 6) y = 6( ) 7) y = 8) y = 5 9) y = 5 ) y = 4 ( ) ) y = 4 4 ) y = ) y = 4 4) y = 4 5) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() = ( ) 5 quando =. 6) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f() = 5 em =. 7) Seja y = 4. Determine a taa de variação de y em relação a quando = 8) Se g() = 4 e g() =, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() = g() ponto (, ). no

32 Respostas: ) (5 ) 9 ) (4 + ) 6 ) ( + 4)( 4 + ) 5 4) 7( + ) 6 ( ) 5) ( + ) (6 + ) 6) 6( ) (8 ) 7) 8) ( 5) 5 9) 6 4 ) 5 ( ) 4( ) ) 5 (4 ) ) 4 ( ) 4 ) / (4 ) 9 4) 4 ( ) 5) y = 9 6) m = 7) 4 8) y = 4

33 .6 Regra da Função Inversa Nessa seção daremos uma regra, chamada de regra da função inversa permitirá determinar a derivada da inversa de uma função de maneira bastante simples. d Queremos determinar, por eemplo, a derivada da função inversa de y = 5, isto é, dy Resolvendo a equação y = 5 para, obtemos = y 5 d Então = dy 5 d Também podemos calcular utilizando a regra da função inversa que pode ser obtida da dy seguinte maneira: d Pela regra da cadeia, dy dy d = = d d d Então = dy dy d (regra da função inversa) dy d Para as funções dadas, temos: = 5. Logo = d dy 5 Temos, então, o seguinte resultado: Teorema (regra da função inversa): Seja y uma função derivável em. Eemplos: dy d Se então = d dy dy d d ) Seja y = +. Use a regra da função inversa para determinar dy ) Seja y = d. Use a regra da função inversa para determinar quando = 4 dy ) Seja y = d. Use a regra da função inversa para determinar quando y = dy

34 .7 Equações de retas tangentes e de retas normais Suponha que a função f é derivável em. Então f ( ) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em (, f( )). Se y = f( ), a equação da reta tangente ao gráfico de f em (, y ) é: y y = f ( )( ) normal ao gráfico de f em (, y ) é: A reta que passa por (, y ) e é perpendicular à reta tangente nesse ponto, é denominada reta normal. Suponha que f é derivável em e que f ( ). A equação da reta y y = ( ' ) f ( ) Se f ( ) =, a reta tangente ao gráfico de f é horizontal e, nesse caso, a reta normal é vertical e tem equação =. Eemplos: ) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() = + 4 no ponto (, 5) ) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f() = 5 no ponto em =. ) Determine os pontos no gráfico de f() = + onde a reta tangente é horizontal. 4) Determine o ponto no gráfico de f() = onde a reta tangente é paralela à reta y = 4. 5) Ache o ponto no gráfico de f() = + onde a reta tangente é perpendicular à reta 7y =. 6) Escreva a equação da reta normal ao gráfico de f() = 5 + no ponto (, 5) 7) Determine o ponto no gráfico de f() = y = + e escreva a equação dessa reta normal. onde a reta normal é perpendicular à reta

35 Eercícios lista 9 Nas questões de a 4, use a regra da função inversa para determinar d/dy para o valor dado: ) y = 5 para y = ) y = (7 ) para y = / 6 ) y = 7 7 para y = 4) y = para y = 4 e < Nos itens de 5 a, escreva as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado: 5) f() = 7 em (, ) 6) f() = + + em (, ) 7) f() = 4 em (, ) 8) f() = em (8, ) 9) f() = em (, ) ) f() = em (, ) ) Determine o ponto no gráfico de f() = + 8 onde o coeficiente angular da reta tangente é 6 e escreva a equação dessa reta tangente. ) Ache o ponto no gráfico de f() = onde a tangente é paralela à reta y = + ) Ache os pontos no gráfico de f() = + 6 onde a tangente é perpendicular à reta 9y = + 4) Ache os pontos da curva f() = onde a reta tangente a f() é horizontal. 5) Em que ponto no gráfico de f() = a reta tangente é paralela ao eio? 6) Ache os pontos da curva f() = onde a reta normal a f() é paralela à reta + y = 7) Determine o ponto no gráfico de f() = + + onde a reta normal a f() é perpendicular à reta y = 8) Determine o ponto onde a reta normal ao gráfico de f() = no ponto (, ) intercepta: Respostas: a) o eio b) o eio y ) / 8 ) 6 / 7 ) 5 / 9 4) / 5 5) y = 8 5 e y = 8 4 6) y = e y = 7) y = e = 8) y = + 4 e y = + 9) y = 7 + e y = ) y = e y = + ) (8, 7) e y = 6 56 ) (, ) ) (, 5) e (, 7) 4) (, ) e (, ) 5) (, 7) 6) (, ) e (, ) 7) (, ) 8) a) (/, ) b) (, )

36 .8 Derivação implícita Todas as funções com as quais trabalhamos até o momento foram dadas por equações da forma y = f(), onde a variável dependente y é definida eplicitamente por uma epressão envolvendo a variável independente. É o caso, por eemplo, de y = 4 + A equação 4 = y define a mesma função y = f(), mas dizemos, nesse caso, que y = f() está definida implicitamente pela equação. Nesse eemplo, a função pode ser epressa facilmente nas formas eplícita e implícita. Outras funções, no entanto, são definidas implicitamente por uma equação que envolve tanto a variável independente como a variável dependente e na qual é difícil ou mesmo impossível eplicitar a variável dependente. É o caso, por eemplo, da equação y + y = + y Vamos supor que conhecemos uma equação que define y implicitamente como uma função dy de e temos necessidade de calcular a derivada. d Se a equação dada não pode ser resolvida eplicitamente para y, mas sabemos que eiste dy uma função f tal que y = f(), podemos obter através de uma técnica simples, que utiliza a regra d da cadeia, e que pode ser usada sem a necessidade de eplicitar y. Essa técnica é conhecida como derivação implícita. Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função de, podemos dy calcular derivando a equação termo a termo e utilizando a regra da cadeia quando derivarmos d dy os termos contendo y; a seguir, resolvemos a equação resultante para. d Eemplos: ) Sabendo que e y estão relacionados pela equação y 4 + 4y dy = 6 +, determine d utilizando derivação implícita. ) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f() definida implicitamente na equação + y + y 7 = y no ponto (, ) ) Use a derivação implícita para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f() definida implicitamente na equação y 6 = 5y + quando =. 4) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função y = f() definida implicitamente na equação + y = no ponto (, ). 5

37 Eercícios lista Nas questões de a 4 encontre dy / d através de derivação implícita: ) 4y² + ²y = ) + y = ) ²y y² + ² = 7 4) y = Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado. 5) ² = y³ ; = 8 7) ²y³ y = 6 + y + ; = 6) y = ; = 8) ( + y) = ; = Nas questões de 9 a escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado. 9) 4² + 9y² = 6 ; P = (, ) ) ²y² + y = ; P = (, ) ) ²y³ y² + y = ; P = (,) ) ( + y) = + 7 ; P = (, ) Respostas: 4y 6y ) 8y 5) 9) y = ) y y y 6) ) y = + 5 ) y 7) 4 ) y = 4) y 8) 5 ) y = + 6

38 .9 Derivadas de funções eponenciais e de funções logarítmicas As funções eponenciais e logarítmicas estão entre as mais importantes do Cálculo, com muitas aplicações em campos tão diversos como a Física, a Biologia e a Economia. Nesta seção vamos apresentar as regras básicas de derivação para essas funções. Derivadas de funções eponenciais Seja a IR * e seja u uma função derivável de variável Se f() = a u então f () = u.a u.ln a Casos particulares: ) Se f() = e u então f () = u.e u ) Se f() = e então f () = e Eemplos: ) f() = ) f() = 7 5 ) f() = 7 / 4) f() = e 5) f() = e 6 Derivadas de funções logarítmicas Seja a IR * e seja u uma função derivável de variável Se f() = u ' log a u então f () = u.lna Casos particulares: ) Se f() = log a então f () =.lna 7

39 ) Se f() = ln u então f () = u u ' ) Se f() = ln então f () = Eemplos: ) f() = log ( ) ) f() = log (4 5 7) ) f() = ln( ) 4) f() = ln( ) 5) f() = (ln( )) 6) f() = ln 7) f() = ln Muitas vezes, as propriedades dos logaritmos podem ser usadas para simplificar o processo de derivação, mesmo que tenhamos que introduzir os logaritmos como um passo a mais no processo, chamado derivação logarítmica. Para acharmos a derivada de uma função por derivação logarítmica procedemos da seguinte maneira: º Escrevemos a equação y = f() º Usamos o logaritmo de ambos os lados dessa equação e simplificamos aplicando as propriedades dos logaritmos. º Derivamos implicitamente a equação resultante em relação a. 4º Resolvemos algebricamente a equação para y 8

40 Eemplo : y = Solução: Usando o logaritmo de ambos os lados e aplicando propriedades de logaritmos temos: ln y = ln = ln Derivando implicitamente a equação ln y = ln em relação a obtemos: y ' = ln +. = ln + y Portanto, y = y (ln + ) ou y = (ln + ) Eemplo : y = (5 4) Solução: Usando o logaritmo de cada membro: ln y = ln (5 4) Aplicando propriedades de logaritmos temos: ln y = ln (5 4) ln ( + ) / ln y = ln(5 4) ln ( + ) Usando derivação implícita e simplificando vem: y y ' = = Então y y ' = 5 9 (5 4)( ) (5 4) Logo, y = 5 9 (5 4)( ) (5 4) (5 9) ou y = / ( ) 9

41 Eercícios - Lista Nas questões de a calcule as derivadas, simplificando o resultado: ) f() = e 5 ) f() = ln (4 + 5) 5 ) f() = ) f() = ln 4 5 ) f() = 7 + ) f() = ln (8 ) 5 4) f() = e 4) f() = (ln ( + )) 5) f() = 5) f() = ln 4 6) f() = (4 + e ).e 6) f() = log ( + ) 7) f() = e 4 5 7) f() = log e 8) f() = 8) f() = ln e 9) f() = e 9) f() = ln ) f() = e ln ) f() = ln dy Nas questões de a 5 use derivação logarítmica para calcular d ) y = ) y = + ) y = (5 + ) (6 + ) 4) y = ( 5) 7 ( 5) 5) y = 4 ( ) 4

42 Respostas: ) f () = (5 5 )e ) f () = (5 5 ) ln ) f () = ( 7ln ) 7 + 4) f () = e 5) f () = (6) ln 6) f () = 4e + 5e 5 + 8e 7) f () = e e ) f e ( ) () = 4 9) f () = e ) f 5 () = 4 5 ) f () = e ln ) f 5 () = 8 ) f () = 5 4 4) f () = 6ln( ) 5) f 4 () = 4 6) f () = ( 4 ) ln 7) f () = ln 8) f () = ln 9) f () = ln ) y' = ) f ln () = ) y' = + ln ) y' = (5 + ) (6 + )(5 + 9) 4) y' = ( 5) ln( 5) 5 ( )( 5) 5) y' = 5 ( ) 6 4

43 . Derivadas de Ordem Superior Sabemos que a derivada de y = 5 é y = 5 4. Mas também podemos determinar derivada de 5 4 que é. Essa função é chamada de derivada de segunda ordem (ou simplesmente derivada segunda) de y e é denotada por y (onde as duas linhas indicam que a função foi derivada duas d y d dy vezes) ou por, isto é,. d d d Derivando y =, obtemos a derivada terceira y = 6, e assim por diante. De modo geral, o resultado de duas ou mais derivações sucessivas de uma função é uma derivada de ordem superior. A derivada de enésima ordem de uma função é obtida derivando-se a função n vezes e é denotada por: y (n) n d y (n) = = f () n d Eemplos: ) As quatro primeiras derivadas de y = são: y = 6 + y = + y = y (4) = ) Se y = 7 5 então dy = 4 + d d y d d y d = 4 4 = 5 4

44 Capítulo Regras de L Hôpital No capítulo tratamos de ites de quocientes tais como: 9 e Em cada caso, calculando os ites do numerador e do denominador, obtemos epressões indefinidas. Dizemos que os quocientes indicados têm a forma indeterminada em = e =, respectivamente. Usamos, anteriormente, métodos algébricos para calcular esses ites, mas eles também podem ser determinados utilizando as derivadas das funções do numerador e do denominador do quociente. Vamos considerar também a forma indeterminada na qual o numerador e o denominador tendem para ou. A tabela abaio apresenta as formas que serão estudadas. Forma indeterminada a Forma de ite: a a f() = e g() = a a f() g() f() = ou e g() = ou O principal instrumento para o estudo das formas citadas é a regra de L Hôpital que pode ser enunciada da seguinte maneira: Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I. Suponha que g(), para todo a. a) Suponha que f() = g() = Se a ' f () ' g () a a eiste, então, a f() = g() a ' f () ' g () b) Suponha que Se a ' f () ' g () f() = g() = a eiste, então, a a f() = g() a ' f () ' g () Observação: A regra de L Hôpital pode ser aplicada à determinação de ites laterais e de ites no infinito. 4

45 Eemplos: ) ) ) ) 5 5 e 5) 6) e e ln( ) 7) ln 8) 7 ln 7 7 Algumas vezes, a aplicação da regra de L Hôpital a uma forma indeterminada conduz a uma nova forma indeterminada. Quando isso acontece, uma segunda aplicação da regra pode ser necessária. Em alguns casos, é preciso aplicar a regra várias vezes para einar a indeterminação. 9) ) e 44

46 Há casos em que a indeterminação persiste não importando quantas vezes a regra seja aplicada e outros recursos, além da regra de L Hôpital, precisam ser aplicados para determinar o ite. É o caso, por eemplo: e Aplicando a regra de L Hôpital (duas vezes) obtemos: e = e = e (que continua indeterminado) Para determinarmos o ite, devemos fazer uma mudança de variável: Seja = y Daí y = Então : e = y e y = y y y e y = y e y = Observação: É importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada ou antes de aplicar a regra de L Hôpital. Se aplicarmos a regra a uma forma que não é indeterminada, poderemos chegar a uma conclusão incorreta como veremos no eemplo a seguir. Pelo que vimos no capítulo (seção.5) sabemos que e e = Se tivéssemos (incorretamente) aplicado a regra de L Hôpital, teríamos obtido: e e = e e Como esse último quociente tem a forma indeterminada, aplicaríamos novamente a regra de L Hôpital, encontrando: e e = e e = = Teríamos assim, chegado à conclusão (errada) que o ite dado é igual a. 45

47 Eercícios lista Use a regra de L Hôpital para determinar os ites abaio: ) 4 ) ln(7 ) ) 4 6 ) e 4 ) ) 4 e 4) ) e 5) ln( 8) 5) ln( e ) ln(e ) ln 6) 6) ln 7) ln( ) ln( 5) 7) 4e 4 8) 8) ln 9) ln 9) ln ) 4 5 ln ) e Respostas: ) 5 / ) ) 4) 5) 6 6) 7) / 8) 9) ) 7 ) ) ) 4) 5) 6) 7) 4 8) 9) ) 46

48 Capítulo 4 Aplicações da derivada Vimos no capítulo, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Neste capítulo, vamos eplorar este fato e desenvolver técnicas para o uso da derivada como auílio à construção de gráficos. Também estão incluídas neste capítulo, aplicações da derivada a problemas de otimização. 4. Função crescente e função decrescente Os conceitos de função crescente e de função decrescente podem ser introduzidos através dos gráficos de f() = + e g() =. Figura Figura Na figura observamos que os valores de f() crescem à medida que os valores de aumentam. Dizemos, então, que f é crescente em IR. Na figura, os valores de g() decrescem à medida que os valores de aumentam. Neste caso, dizemos que g é decrescente em IR. Em geral, estabelecemos as seguintes definições: Definição: Uma função real é crescente em um intervalo I se à medida que os valores de aumentam ( I), os valores de f() também aumentam, isto é: Se < então f( ) < f( ) Definição: Uma função real é decrescente em um intervalo I se à medida que os valores de aumentam ( I), os valores de f() diminuem, isto é: Eemplos: Se < então f( ) > f( ) ) f() = é decrescente em ], ] e é crescente em [, [ ) f() = 4 é crescente em ], ] e é decrescente [, [ f() = f() = 4 47

49 Observamos na figura abaio, que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes são positivos, a função é crescente, e que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes são negativos, a função é decrescente. Podemos então descobrir onde uma função derivável f é crescente ou decrescente, verificando o sinal de sua derivada, já que f () fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em (, f()). Onde f () >, a inclinação da reta tangente é positiva e f é crescente; onde f () <, a inclinação da reta tangente é negativa e f é decrescente. Teste da derivada primeira para funções crescentes e decrescentes: Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em I, não necessariamente nos pontos etremos de I a) Se f () > para todo em I, eceto possivelmente nos pontos etremos de I, então f() é crescente em I b) Se f () < para todo em I, eceto possivelmente nos pontos etremos de I, então f() é decrescente em I Eemplos: ) f() = é decrescente em [,] e é crescente em ], ] e [, [ ) f() = 4 + é decrescente em], ] e [, ] e é crescente em [,] e [, [ ) f() = é decrescente em ], [ e em ], [ 4) f() = é crescente em IR 5) f() = é decrescente em ], ] e é crescente em [, [ 6) f() = 4 é decrescente [,[ e ], ] e é crescente em], ] e [, [ 48

50 4. Etremos relativos O esboço do gráfico de f() = + 5 ao lado, mostra que o ponto (, 5) está mais alto do que qualquer outro ponto vizinho do gráfico. Um ponto tal como (, 5) é chamado de ponto de máimo relativo (ou de máimo local) do gráfico de f. Analogamente, o ponto (, ) que está mais baio do que qualquer outro ponto vizinho do gráfico de f é denominado ponto de mínimo relativo (ou de mínimo local) do gráfico de f. Se uma função possui um máimo ou um mínimo relativo em um ponto P, dizemos que possui um etremo relativo (ou etremo local) em P. Os pontos (, 5) e (, ) são eemplos de etremos relativos no sentido de que cada um deles representa um etremo apenas na vizinhança do ponto. Devemos considerar, portanto, que uma função pode admitir vários etremos relativos, isto é, vários mínimos e máimos relativos. Quando conhecemos os intervalos nos quais uma função é crescente ou decrescente, podemos identificar os seus máimos e mínimos relativos. Um máimo relativo ocorre quando a função para de crescer e começa a decrescer. Um mínimo relativo ocorre quando a função para de decrescer e começa a crescer. Sabemos que uma função f() é crescente quando f () > e é decrescente quando f () < então os únicos pontos onde f() pode ter etremos relativos são aqueles onde f () = ou onde não eiste f (). Esses pontos são chamados de pontos críticos. Definição: Um número c pertencente ao domínio de uma função f é chamado de número crítico, se f (c) = ou se f (c) não eiste. O ponto correspondente (c, f(c)) no gráfico de f é chamado de ponto crítico. Para encontrar todos os etremos relativos de uma função f, começamos achando todos os pontos críticos (que são os candidatos a etremos relativos). Cada ponto crítico precisa ser testado para verificar se é realmente um etremo relativo. Esse teste pode ser feito usando a derivada primeira de f. Teste da derivada primeira para etremos relativos Seja c um número crítico de f() a) Se f () > à esquerda de c e f () < à direita de c então (c, f(c)) é um ponto de máimo relativo. b) Se f () < à esquerda de c e f () > à direita de c então (c, f(c)) é um ponto de mínimo relativo 49

51 Eemplos: ) f() = (, 5) é ponto de máimo relativo e (, ) é ponto de mínimo relativo. ) f() = 4 + (, ) e (, ) são pontos de mínimo relativo e (, ) é ponto de máimo relativo. ) f() = Não eistem etremos relativos. 4) f() = Não eistem etremos relativos 5) f() = (, ) é ponto de mínimo relativo. 6) f() = f() = 4 (, 4) é ponto de mínimo relativo e (, 4) ponto de máimo relativo A derivada segunda também pode ser usada para classificar os pontos críticos de uma função como máimos ou mínimos relativos. Para isso, basta aplicar o resultado conhecido como: Teste da derivada segunda para etremos relativos: Suponhamos que f (c) = a) Se f (c) > então f possui um mínimo relativo em (c, f(c)) b) Se f (c) < então f possui um máimo relativo em (c, f(c)) 5

52 Eemplo: f() = + 7 Como a derivada primeira f () = = 6( + )( ) se anula em = e em =, os pontos correspondentes (,) e (, 4) são os pontos críticos de f. Para testar esses pontos, basta determinar a derivada segunda f () = + 6 e calcular seu valor em = e em =. Então, como f ( ) = 8 temos que (,) é um ponto de máimo relativo; como f () = 8, (, 4) é um ponto de mínimo relativo. Embora tenha sido fácil usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos no eemplo anterior, ele apresenta algumas itações. O teste se aplica aos pontos críticos nos quais a derivada primeira é nula, mas não aos pontos em que a derivada primeira não eiste. Além disso, se tanto f (c) como f (c) são nulas, o teste da derivada segunda não permite chegar a nenhuma conclusão. 4. Etremos Absolutos Nos problemas discutidos na seção anterior, os métodos do Cálculo foram usados para determinar máimos e mínimos relativos de funções. Em muitos problemas, no entanto, o objetivo é encontrar o máimo absoluto ou o mínimo absoluto de uma função dentro de certo intervalo de interesse. A noção de etremo absoluto pode ser entendida através do gráfico da função f esboçado a seguir. Observe que a função f representada na figura ao lado, possui um máimo relativo em (p, f(p)) e outro em (r, f(r)); entretanto, f(r) é maior que f(p) e é maior que qualquer f() para no intervalo [a, b]. Dizemos, então, que a função f possui, no intervalo [a, b], um máimo absoluto em (r, f(r)). A função f possui um mínimo relativo em (q, f(q)); entretanto f(b) é menor que f(q) e é menor que qualquer f() para no intervalo [a, b]. Dizemos, então, que a função f possui, no intervalo [a, b], um mínimo absoluto em (b, f(b)). Podemos estabelecer a seguinte definição: Definição: Se f é uma função definida em um intervalo [a, b] e c [a, b] dizemos que: a) f possui um máimo absoluto em (c, f(c)) se, para todo [a, b], f() f(c). Nesse caso, f(c) é o valor máimo absoluto de f em [a, b]. b) f possui um mínimo absoluto em (c, f(c)) se, para todo [a, b], f() f(c). Nesse caso, f(c) é o valor mínimo absoluto de f em [a, b]. c) f possui um etremo absoluto em (c, f(c)), se f possui um máimo absoluto ou um mínimo absoluto em (c, f(c)). 5

53 Podemos provar que se uma função f é contínua em um intervalo fechado I então f tem um máimo absoluto e um mínimo absoluto em algum ponto de I. Além disso, se f é uma função contínua em [a, b], um etremo absoluto de f ocorrerá num etremo relativo em [a, b] ou nas etremidades do intervalo (isto é, em = a ou em = b). Então, para encontrar os etremos absolutos de uma função contínua f em [a, b] devemos: Achar todos os números críticos c de f em ]a, b[ Calcular todos os valores f(c) para os números críticos do passo e determinar f(a) e f(b). Selecionar o maior e o menor dos valores do passo. Esses são, respectivamente, os valores de máimo e mínimo absolutos de f em [a, b]. Eemplos: ) Determine os etremos absolutos de f() = + + em [, ] Solução: Temos que f () = 6 + = ( ). Para ( ) = temos = Calculamos, então, f() =, f() = e f() = 4 Comparando esses resultados, concluímos que f tem um máimo absoluto em (, 4) e um mínimo absoluto em (, ). ) Determine os etremos absolutos de f() = + em [, ] Solução: Nesse caso, f () =. Para = temos =. Entretanto, apenas = pertence ao intervalo [, ]. Calculamos, então, f() =, f() = e f() = Logo, no intervalo [, ], f tem um máimo absoluto em (, ) e um mínimo absoluto em (, ). ) Determine os etremos absolutos de f() = 4 nos intervalos indicados: a) [, ] b) [, ] Solução: a) Temos que f () =. Para = temos =. Então f() = 4, f( ) = e f() = Logo, no intervalo [, ], f tem um máimo absoluto em (, 4) e um mínimo absoluto em (, ) 5

54 b) Pelo item (a), = é o único número crítico. Calculamos f() = 4, f( ) = e f() = Então f tem um máimo absoluto em (, 4) e assume em [, ], o valor mínimo zero duas vezes, ou seja, em = e em =. Isso significa que é possível um mínimo (máimo) absoluto ocorrer em dois ou mais pontos do intervalo. Assim, (, ) e (, ) são mínimos absolutos de f em [, ]. 4.4 Concavidade do gráfico de uma função Vamos apresentar, agora, um método para determinar se a concavidade do gráfico de uma função é para cima ou para baio. Para termos uma ideia do que isso significa, vamos analisar os gráficos esboçados nas figuras abaio. figura figura Na figura, observamos que a inclinação da reta tangente aumenta quando aumenta. Nesse caso, a concavidade do gráfico é para cima. Na figura, a inclinação da reta tangente diminui quando aumenta. Nesse caso, a concavidade do gráfico é para baio. Usando a derivada podemos definir a concavidade do gráfico de uma função da seguinte maneira: Definição: Seja f() uma função derivável em um intervalo I. a) O gráfico de f() tem concavidade (ou é côncavo) para cima em I, se f () é crescente em I. b) O gráfico de f() tem concavidade (ou é côncavo) para baio em I, se f () é decrescente em I. Para saber se a concavidade de um gráfico é para cima ou para baio, ou seja, se f () é crescente ou decrescente, basta aplicar a f () o teste da derivada primeira para funções crescentes e decrescentes apresentado na seção anterior: f () é crescente se sua derivada é positiva; f () é decrescente se sua derivada é negativa. Como a derivada de f () é a segunda derivada de f, isto é, f (), podemos estabelecer o seguinte teorema: Teste da derivada segunda para concavidade de um gráfico: Seja f uma função duas vezes derivável em I. a) O gráfico de f tem concavidade para cima em I, se f () > para todo em I. b) O gráfico de f tem concavidade para baio em I, se f () < para todo em I. 5

55 Eemplos: ) O gráfico de f() = tem concavidade para baio em ], [ e para cima em ], [ ) O gráfico de f() = 4 + tem concavidade para cima em, e, e para baio em, ) O gráfico de f() = tem concavidade para baio em ], [ e para cima em ], [ 4) f() = tem concavidade para baio em ], [ e para cima em ], [ 5) O gráfico de f() = tem concavidade para baio em ], [ e em ], [ Cada ponto do gráfico de uma função onde a concavidade muda é chamado de ponto de infleão. Por eemplo, o ponto (, ) na figura ao lado é um ponto de infleão do gráfico de f() = ( ) ( 5). Definição: Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f é um ponto de infleão se são verificadas as duas condições: a) f é contínua em c. b) a concavidade do gráfico de f muda em (c, f(c)). Eemplos: ) f() = (, ) é ponto de infleão do gráfico de f ) f() = 4 +, 9 e, 9 são pontos de infleão do gráfico de f ) f() = Como o gráfico de f só muda de concavidade em = e f não é contínua em =, não eistem pontos de infleão no gráfico de f. 54

56 4) f() = (, ) é ponto de infleão do gráfico de f 5) f() = Como a concavidade do gráfico de f não muda, não eistem pontos de infleão no gráfico de f. 4.5 Construção de gráficos Para esboçar o gráfico de uma função, precisamos verificar sua continuidade, os intervalos nos quais é crescente ou decrescente, a concavidade e a eistência de assíntotas, etremos relativos e pontos de infleão. Como o estudo dessas características foi realizado em várias seções anteriores, vamos estabelecer um roteiro para o traçado do gráfico de uma função real f. Achar o domínio de f e determinar onde f é contínua. Calcular os ites envolvendo infinito para determinar, se eistirem, as assíntotas horizontais e verticais. Calcular f () e determinar os números críticos (isto é, os valores de tais que f () = ou f () não eiste). Utilizar o teste da derivada primeira para achar os intervalos em que f é crescente (f (c) > ) ou decrescente (f (c) < ). Usar o teste da derivada primeira para encontrar os pontos de máimos e mínimos relativos (se eistirem). 4 Calcular f () e usar o teste da derivada segunda para determinar os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima (f () > ) e onde é côncavo para baio (f () < ). Se f é contínua em c e se f () mudar de sinal em c, determinar o ponto de infleão (c, f (c)). 5 Determinar se eistirem e não depender de muito cálculo, os pontos de interseção com os eios coordenados (e alguns outros pontos fáceis de calcular). 55

57 Eercícios lista Nas questões de a 5, determine os etremos absolutos nos intervalos dados: ) f() = + em [, ] ) f() = em [ 4, ] ) f() = ( + ) em, 4) f() = + 7 em, 5) f() = + em [, ] 6) Estima-se que uma colônia de bactérias tenha t horas após a introdução de uma toina, uma população de p(t) = t + t + 5 (em milhares de indivíduos). Use o Cálculo para determinar o tempo no qual a população está no seu ponto máimo e calcule a população neste ponto. 7) A concentração de um remédio t horas após ter sido injetado no braço de um paciente é dada pela,5t função C(t) =. Para que valor de t a concentração é máima? t,8 8) Certo modelo biológico sugere que a reação R do corpo humano a uma dose de medicamento é dada pela função R() = (k ) onde k é uma constante positiva. Para que valor de a reação é máima? 4t 9) A população (em milhares de indivíduos) de uma colônia de bactérias é dada por f(t) = t t horas após a introdução de uma toina. Determine o instante em que a população é máima e a população nesse instante. ) A eficácia de um remédio t horas após ter sido tomado é dada por E(t) = (9t + t t ) com 7 t 5. Para que valor de t a eficácia é máima? Respostas: ) máimo absoluto em (, 5) e mínimo absoluto em (, 4). ) máimos absolutos em (, ) e (, ) e mínimos absolutos em (, ) e ( 4, ) ) máimo absoluto em (, 4) e mínimo absoluto em (, ) 4) máimo absoluto em (, ) e mínimo absoluto em (, 7) 5) máimo absoluto em (, ) e (, ) e mínimo absoluto em (, 9). 6) t = h; 6. bactérias 7) t =,9 h 8) = k 9) t =,67 h (4 min); 8. bactérias ) t = 56

58 Eercícios lista 4 Nas questões de a 6 faça um esboço do gráfico de f, determinando: a) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente. b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baio e onde tem concavidade voltada para cima. c) os pontos de máimos e mínimos relativos e os pontos de infleão do gráfico de f.. ) f () = ) f () = + ) f () = + 4) f () = 5) f () = 4 4 6) f () = 4 Nas questões 7 a, determine, se eistirem: a) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente; b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baio e onde tem concavidade voltada para cima; c) os pontos de máimos e mínimos relativos e os pontos de infleão do gráfico de f; d) as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Faça um esboço do gráfico de f. 7) Sabe-se que f () = 4 4 f () = ( ) 8 f () = ( ) 8) Sabe-se que f() = f () = ( ) 6 f () = ( ) 9) Sabe-se que f () = f () = ( ) f () = ( ) ) Sabe-se que f () = f () = ( ) 4 f () = ( ) ) Sabe-se que f() = ( ) f '() = ( ) 4 f "() = 4 ( ) ) Sabe-se que f () = f '() = ( ) 4 f "() = ( ) 57

59 Respostas: f() = f() = + f() = + f() = 4 4 f() = f() = f () = f() = ( ) f () = 58